BAB 3 Fungsi Nonlinear 3.1. Fungsi Kuadratik ( Fungsi .

BAB 3Fungsi NonlinearSebagian dari model ekonomi linear yang ada sesungguhnya merupakanpenyederhanaan dari hungan – hubungan yang non-linear, merupakan linearisasidari model non-linear.3.1. Fungsi Kuadratik ( Fungsi Kuadrat )Fungsi kuadrat merupakan merupakan fungsi polinom berderajat dua bentukumum persamaan fungsi kuadrat adalah :y a bx cx 2 atau y cx 2 bx a dimana c 0 .Contoh fungsi kuadrat dalam bentuk grafik di gambarkan sebagai berikut :yy x2x3.1.1Penyelesaian Persamaan KuadratikPenyelesaian persamaan kuadratik merukan pencarian akar-akar daripersamaan kuadrat.1

Contoh : Tentukan penyelesaian fungsi kuadrat berikut1.5 x 2 80 02.2q 2 85q 200 0Penyelesaian1.5 x 2 80 08052x 16x2 x 2 16x 42.2q 2 85q 200 0(2q 5)(q 40) 0q 3.1.25atau q 402Persamaan Simultan KuadratikTentukan titik keseimbangan pasar (equilibrium) dari funsi permintaan danpenawaran berikut:P 200q-1 & P 30 2qPenyelesaian:Equlibrium terjadi bila permintaan penawaran200q-1 30 2q: q-1200 30q 2q20 2q2 30q – 2000 (2q-10) (q 20)q 10/2 5atau q -202

3.2. Fungsi kubikFungsi kubik adalah fungsi polynomial berderajat 3. Bentuk umumpersamaan fungsi kubik adalah y a bx cx2 dx3 dengan d 0 . Contoh kurvafungsi kubikyy x3xContoh soalPenerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukan oleh persamaanR 0,1q 2 20q ,sedangkanbiayatotalyangdikeluarkanC 025q 3 3q 2 7q 20 . Hitunglah profit perusahaan jika dihasilkan jikaterjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.PenyelesaianProfit ( ) diperoleh dari R C ( 0,1q 2 20q ) (0,25q 3 3q 2 7q 20) 0,25q 3 2,9q 2 13q 20sehingga3

q 20 maka 0,25(20 3 ) 2,9(20 2 ) 13(20) 20 600artinya ketika q 20 perusahaan mengalami kerugian.q 10 maka 0,25(10 3 ) 2,9(10 2 ) 13(10) 20 150artinya ketika q 10 perusahaan mengalami untung.3.3. Fungsi EksponensialFungsi eksponesial atau eksponesial banyak digunakan untuk mengukurtingkat pertumbuhan (growh rates) pada permasalahan ekonomi seperti tingkatsuku bunga, nilai investasi dan pertumbuhan penduduk. Bentuk umumn fungsieksponesial adalah y A x dengan kostanta dan A 1. Sedangan fungsi eksponasialnatural yaituy exdengan e 2,7182818.Fungsi eksponensial juga berkaitan erat dengan logaritma natural, jika fungieksponen y e x makaln y ln e xln y x ln eln y x e log eln y ngkatpertumbuhan penduduk. Rumus yang digunakan untuk menghitung tingkatpertumbuhan peduduk adalahy Ae rtsehingga4

ye rtA ye rtA dimanay jumlah penduduk yang akan datangA penduduk sekarang atau saat inie 2, 7182818r annual rate atau tingkat pertumbuhan penduduk tahunan ( % )t waktu ( tahun)Contoh Soala. Populasi penduduk pada suatu negara berkembang memiliki tingkatpertumbuhan penduduk sebesar 3% pertahun. Jika diketahui populasi saatini adalah 4,5 juta, tentukan prediksi jumlah penduduk 15 tahunmendatang.Penyelesaiany Ae rty15 4,5.e 0, 003 .15y15 7,057 (dalamjuta)b. Ramalan pertumbuhan perekonomian pertahun adalah 2,5%. Jika GrossNational Product (GNP) atau Produk nasional bruto sebesar 56, tentukanramalan GNP 21 bulan mendatang.Penyelesaiant 21 bulan 1,75 tahuny Aerty 56 . e 0,025 . 1,75 58,504 (dalam )c. menumbuhkan populasi hewan liar 10 tahun mendatang menjadi 9005

spesies. Berapa jumlah hewan liar yang dibutuhkan saat ini untukmencapai tujuan manager tersebut. Jika diketahui tingkat pertumbuhanpertahun 8,5%.A ye –rtA 900 e 0,085(10) 384,67 385 spesiesTingkat pertumbuhan (Rate of Grouth) dapat ditentukan melalui persamaan ydengan menggunakan logaritma naturaly Ae rty e rtAyln ln e rtAyln rt ln eAyln rt e log eAyln rtA1 y ln rt A sehinga dapat ditentikan juga persamaan waktu yaitu1 y t ln r A Contoh soal : Dalam waktu 13 tahun populasi penduduk dari suatu negara naik secarakontinu dari 8,5 juta menjadi 11,9 juta. Tentukan tingkat pertumbuhanpenduduknya.Penyelesaian :r In ()6

In () In ( 1,45122) 6,62483 2,483%3.4. Latihan Soal1. Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut x 2 5 x 6 0 .2. lahAC 40 x 1 10 x .x merupakan output. Berakah x agar biaya rata-rata 40.3. Biaya total produksi dari PT. TC 6 2q 2q 2 .Ketika q 2 , apakah TC mencapai 150?.4. Populasi penduduk India saat ini berjumlah 32 juta dan terus bertambah padatingkat pertumbuhan sebesar 3,5%. Berapakah jumlah populasi pendudukIndia dalam waktu 20 tahun jika tingkat pertumbuhan ini berlanjut?5. Stok sumber daya R menyusut terus pada tingkat 8,5% setiap tahun. Berapabanyak yang akan tersisa dalam 30 tahun jika stok saat ini 725.000 unit?6. Seorang ahli stastistik memperkirakan bahwa populasi suatu negara Ntumbuh terus menerus dan dapat ditentukan oleh fungsi berikutN 3.620.000e0,02tDimana t adalah jumlah tahun setelah tahun 2000. Beraapa tingkatpertumbuhan populasi? Akankah populasi mencapai 10 juta pada tahun 2050.7. Dalam ekonomi industri maju, populasi diamati tumbuh dengan stabil dari 50menjadi 55 juta selama 20 tahun terakhir. Berapa tingkat pertumbuhanpertahunnya.8. Cadangan mineral M diamati menurun dari 830 juta ton menjadi 675 tonselama 25 tahun terakhir. Dengan asumsi penurunan ini telah berlanjut,hitung tingkat penurunan tahunan dan kemudian prediksi cadangan apa yangakan tersisa dalam 10 tahun mendatang.7

9. Dengan asumsi bahwa stok minyak akan terus terkuras pada tingkat yangsama (sebanding dengan jumlah yang tersisa), jumlah minyak yang tersisadiladang minyak (B), diukur dalam barel minyak, telah diperkirakan sebagaiB 2.430.000.000e-0,09tDimana t adalah jumlah tahun setelah tahun 2000. Berapa proporsi stokminyak yang diekstraksi setiap tahun? Berapa banyak minyak yang akan tetappada tahun 2020?8

Fungsi kuadrat merupakan merupakan fungsi polinom berderajat dua bentuk umum persamaan fungsi kuadrat adalah : y a bx cx2 atau y cx2 bx a dimana cz0. Contoh fungsi kuadrat dalam bentuk grafik di gambarkan sebagai berikut : y y x2 x 3.1.1 Penyelesaian Persamaan Kuadratik Penyelesaian persamaan kuadratik merukan pencarian akar-akar dari persamaan .