LIMIT FUNGSI Untuk SMA/MA - Umachicharito.weebly
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAi
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAPRAKATAAlhamdulillahhirabillalamin, Puji Syukur kehadirat Allah SWT karena tanpa karuniaNya modul ini dapat terselesaikan tepat waktu. Shalawat serta salam senantiasa kitapanjatkan kepada Nabi Muhammad SAW.Penulisan modul ini berdasarkan tugas yang diberikan oleh Dosen Program Komputermengenai pembuatan modul. Dalam modul Kami yang berjudul “LIMIT FUNGSI” berisitentang pengertian limit fungsi , sifat , teorema dan lain sebagainya yang bertujuan agar parapembaca dapat memahaminya dengan lebih mudah.Terselesaikanya modul ini juga tidak terlepas dari bantuan beberapa pihak. Karena itu,penulis menyampaikan terima kasih kepada dosen pembimbing yaitu Dede Trie K., S.Si.,M.Pd. yang telah membimbing Kami dalam mengerjakan modul ini dengan baik. Denganbimbingan dan arahan tersebut, penulis berkeyakinan bahwa itu dapat mendukung penulisdalam upaya meningkatkan kualitas diri dan karya untuk waktu yang akan datang. Selain itu,penulis juga menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu Kami.Penulis menyadari bahwa modul ini masih mempunyai banyak kekuranganya. Karenaitu, penulis berharapagar pembaca berkenaan menyampaikan kritik dan saran yangmembangun. Dengan segala pengharapan dan keterbukaan, penulis menyampaikan rasaterima kasih dengan setulus-tulusnya. Krirtik dan saran merupakan perhatian agar dapatmenuju kesempurnaan.Akhir kata, penulis berharap buku ini dapat membawa manfaat kepada pembaca.Secara khusus, penulis berharap semoga buku ini dapat menginspirasi generasi bangsa iniagar menjadi generasi yang tanggap dan tangguh terhadap kemajuan zaman.Cirebon, November 2012Penyusun,ii
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MADAFTAR ISIHalaman Judul . iPrakata . iiDaftar Isi . iiiKata-kata Motivasi . ivTujuan Pembelajaran . vPeta Konsep . viLIMIT FUNGSI . 1A. Pengertian Limit Fungsi . 1B. Limit Fungsi Aljabar . 4C. Limit Fungsi di Tak Hingga . 8D. Limit Fungsi Trigonometri . 10E. Aplikasi Limit Dalam Keehidupan sehari-hari . 14Rangkuman . 15Daftar Pustaka. 17petunjuk penggunaan kuis mekker. 18Biodata Kelompok dan Deskripsi Kerja Kelompok . 19Peran Komputer Dalam Pembelajaran Matematika . 20iii
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAKATA-KATA MOTIVASI“Orang bijaksana tidak sesekali duduk meratapi kegagalannya, tapi dengan lapang hatimencari jalan bagaimana memulihkan kembali kerugian yang dideritanya.”“Sabar adalah jalan keluar bagi orang yang tidak bisa menemukan jalan keluar.”“Ambillah waktu untuk berfikir, itu adalah sumber kekuatan.”“Ambillah waktu untuk bermain, itu adalah rahasia dari masa muda yang abadi.”“Ambillah waktu untuk berdoa, itu adalah sumber ketenangan.”“Ambillah waktu untuk belajar, itu adalah sumber kebijaksanaan.”“Ambillah waktu untuk mencintai dan dicintai, itu adalah hak istimewa.”iv
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MATUJUAN PEMBELAJARANSetelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu :1.2.3.4.5.6.Menjelaskan arti dari limit fungsiMenjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.Menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik.Menghitung limit fungsi trigonometri di suatu titik.Menjelaskan limit dari bentuk tak tentu.Menentukan laju perubahan nilai dariv
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAPETA KONSEPLimit Fungsi AljabarLimit Fungsi di Tak HinggaLIMIT FUNGSILimit Fungsi TrigonometriAplikasi Limit Fungsivi
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MALIMIT FUNGSIA. Pengertian LimitLimit merupakan salah satu pengetahuan dasar untuk memahami integral dan diferensial. Limitdapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titikterhadap fungsi tersebut.Perhatikan contoh berikut :Fungsi f (x) 𝑥 2 𝑥 2𝑥 2, untuk x Real.Tabel Ax01,11,51,91,999 2,000 2,001 2,01 2,52,7f (x)12,12,52,92,999 ?3,73,001 3,01 3,5Dari tabel A diatas, dapat disimpulkan bahwa f (x) 𝑥 2 𝑥 2𝑥 2mendekati 3. Jika x mendekati 2, baikdari kanan (limit kanan) maupun dari kiri (limit kiri) maka nilainya mendekati 3.Limit f (x) ketika x mendekati c sama dengan L , dapat ditulislim 𝑓 (𝑥) 𝐿DEFINISI𝑥 𝑐Jika kita dapat membuat nilai f (x) sembarang yang dekat dengan L, dengan cara mengambilnilai x yang dekat dengan c, baik dari kanan maupun dari kiri. Tetapi, x tidak samadengan c.lim 𝑓 𝑥 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑖𝑟𝑖) lim 𝑓 𝑥 (𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛) lim 𝑓 𝑥 𝐿(𝑎𝑑𝑎)𝑥 𝑐 𝑥 𝑐𝑥 𝑐Contoh 11.Tentukan nilai dari lim𝑥 3 4𝑥 3 ?Penyelesaiannya :lim 4𝑥 3 4 . 3 3𝑥 3 12 3 9Jadi, nilai lim𝑥 3 4𝑥 3 91
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MA2.Jika diketahui 𝑓 𝑥 𝑥 3, untuk 𝑥 1 𝑥 1, untuk 𝑥 1Hitunglah (jika ada)a. lim𝑥 1 𝑓 𝑥b. Lim𝑥 1 𝑓 𝑥c. Lim𝑥 1 𝑓 𝑥Penyelesaian :a. lim𝑥 1 𝑓 𝑥 lim𝑥 1 𝑥 3 1 3 4b. Lim𝑥 1 𝑓 𝑥 lim𝑥 1 𝑥 1 -1 3 2c. Dari dua jawaban diatas lim𝑥 1 𝑓 𝑥 Lim𝑥 1 𝑓 𝑥 . Sehingga, menurut definisi limitdiatas kita dapat simpulkan bahwa : lim𝑥 1 𝑓 𝑥 tidak ada 𝑥 3𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 1Gambar AMeskipun terlihat pada gambar A.1 bahwa 𝑓 1 4, tidak berarti lim𝑥 1 𝑓 𝑥 4. Hal inikarena Lim𝑥 1 𝑓 𝑥 2 4.Selain cara diatas, kita dapat menentukkan nilai limit fungsi yang beragam macamnya denganbeberapa metode. Diantaranya metode substitusi, metode faktorisasi dan metode perkalian sekawan.1. Metode SubstitusiMensubstitusikan nilai x pada limit fungsi tersebut.Contoh 2Tentukan lim𝑥 3 2𝑥 4 dan lim𝑥 3 𝑥 2 2𝑥 8 !2
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAPenyelesaian :lim𝑥 3 2𝑥 4 2 . (3) 4 6 4 10lim𝑥 3 𝑥 2 2𝑥 8 (3)2 2 . (3) 8 9 6 – 8 7Jadi, nilai lim𝑥 3 2𝑥 4 10 dan nilai lim𝑥 3 𝑥 2 2𝑥 8 72. Metode FaktorisasiJika suatu limit fungsi berbentuk pecahan dan didalamnya terdapat persamaan kuadrat maupunpersamaan pangkat tinggi maka penyelesaiannya yaitu memfaktorkan persamaan tersebut sehinggamempermudah dalam menentukkan nilai limit fungsi.Ingat !Contoh 3Tentukan lim𝑥 3𝑥 2 2𝑥 3𝑥 3dan lim𝑥 2𝑥 3 8𝑥 2𝑓 𝑥 !Penyelesaian :lim𝑥 3𝑥 2 2𝑥 3𝑥 3untuk x, maka nilai limitnya 32 2.(3) 3Nilai suatu limit fungsi00 03 3tidak boleh 0 karena takterdefinisi. Sehinggaharus menggunakancara lain jika hasilnyademikian.Sehingga, untuk menentukkan nilai limit tersebut yaitu denganmetode faktorisasi.lim𝑥 3𝑥 2 2𝑥 3𝑥 3𝑥 3 8𝑥 2𝑥 3𝑥 3Jadi, nilai lim𝑥 3lim𝑥 2𝑥 3 (𝑥 1) lim𝑥 2 2𝑥 3𝑥 300 lim 𝑥 1 3 1 4𝑥 3 4untuk x 2, maka nilai limitnya 23 82 20 00Karena jika dengan cara substitusi langsung hasilnya 0, maka harus dengan metode faktorisasilim𝑥 2𝑥 3 8𝑥 2 lim𝑥 2Jadi, nilai lim𝑥 2(𝑥 2) (𝑥 2 2𝑥 4)𝑥 2𝑥 3 8𝑥 2 lim (𝑥 2 2𝑥 4) 22 2 . 2 4 12𝑥 2 123. Metode Perkalian SekawanMetode perkalian sekawan digunakan jika limit pecahan tersebut terdapat akar.Contoh 4Tentukan limx 39 x 24 x 2 7dan limx 4t 2t 4!Penyelesaian :limx 39 x 24 x 2 7Maka, limx 3untuk x 3, nilai limitnya 9 x 24 x 2 7 lim16 (x 2 7)x 3 4 x 2 79 324 limx 39 932 7 4 4 x 2 74 160 04 x 2 7x 2 73
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MA lim 4 x 2 7 4 9 7 4 16 4 4 8x 3Jadi, nilai limx 3limx 4t 2t 49 x 24 x 2 7 8untuk t 4, maka nilainya Maka, limx 4t 2t 4t 2 Jadi nilai limx 4t 2 ( t 2)t 2t 4 4 20 04 41t 2 14 211 2 2 41 4Latihan 11.Tentukan nilai dari limit berikut ini :a.2.lim𝑥 2 5𝑥 2b. lim𝑥 2𝑥 4𝑥 2 1c. lim𝑥 3x 2 16 4x2 𝑥 1, untuk 𝑥 1𝑥Diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑥 1, untuk 1 𝑥 25 𝑥 2 , untuk 𝑥 2Tentukan : a.b.c.d.lim 𝑓 (𝑥)e. lim 𝑓 (𝑥)lim 𝑓 (𝑥)f. lim 𝑓 (𝑥)lim 𝑓 𝑥g. Sketsa grafik fungsi 𝑓 𝑥 tersebut !𝑥 1 𝑥 1 𝑥 1𝑥 2𝑥 2lim 𝑓 (𝑥)𝑥 2 B. Limit Fungsi AljabarDalam mengerjakan soal-soal limit fungsi, kita dapat menggunakan beberapa sifat limit fungsi yangdisebut teorema limit guna mempermudah dalam menyelesaikannya limit fungsi aljabar. Teoremateorema berikut disajikan tanpa bukti karena bukti teorema tersebut menggunakan definisi formal, yangdiluar jangkauan modul ini.4
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MATEOREMA LIMIT1.lim 𝑘 𝑘, 𝑘2.lim 𝑥 𝑐3.lim 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑛4.lim 𝑘 𝑓 𝑥 𝑘 lim 𝑓 𝑥5.lim 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 lim 𝑓 𝑥 lim 𝑔 𝑥6.lim 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 lim 𝑓 𝑥 lim 𝑔 𝑥7.lim8.lim 𝑓 𝑥9.lim n 𝑓 𝑥 x cadalah suatu konstanta.x cx cadalah bilangan asli.x cx cx cx cx c𝑓 𝑥x c 𝑔 𝑥x cx clim 𝑓 𝑥 x clim 𝑔 𝑥,x c𝑛x cx cdengan lim 𝑓 𝑥𝑛x cnx clim 𝑓 𝑥 , 𝑛x clim 𝑔 𝑥 0x c,𝑛adalah bilangan asliadalah bilangan asli danlim 𝑓 𝑥 0x cContoh 5Jika diketahui 𝑓 𝑥 𝑥 3 2𝑥 2 1 dan 𝑔 𝑥 5 3𝑥. Tentukan :lim 3 𝑓 𝑥c.b.lim 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥d. lim 3 𝑔 𝑥x 2x 2lim𝑓 𝑥a.x 2 𝑔 𝑥x 2Penyelesaian :a.lim 3 𝑓 𝑥 lim 3(𝑥 3 2𝑥 2 1)x 2x 2 3 . lim (𝑥 3 2𝑥 2 1)x 2 3 . (lim 𝑥 3 lim 2𝑥 2 lim 1)x 2x 2 3 . 23 2 . 2x 22 1 3. 8 8 1 3 . 15 45Jadi, nilai lim 3 𝑥 3 2𝑥 2 1 45x 25
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAb.lim 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 limx 2x 2𝑥 3 2𝑥 2 1 5 3𝑥 lim 𝑥 3 2𝑥 2 1 lim 5 3𝑥x 2x 2 lim 𝑥 3 lim 2𝑥 2 lim 1 lim 5 lim 3𝑥x 2x 23x 2x 2x 22 2 2 . (2) 1 5 3 . (2) 8 8 1 5 6 15 1 14Jadi nilai lim 𝑥 3 2𝑥 2 1 lim 5 3𝑥 14x 2c.lim𝑓 𝑥x 2𝑥 3 2𝑥 2 1 limx 2 𝑔 𝑥5 3𝑥x 2 23 2 . 2 2 15 3. 2 8 8 1 155 6 1 15𝑥 3 2𝑥 2 1Jadi, nilai lim5 3𝑥x 2d. 153lim 3 𝑔 𝑥 lim 5 3𝑥x 2x 2 35 3. 2 3 1 13Jadi, nilai lim 5 3𝑥 1x 2Contoh 6Carilah limh 0𝑓 𝑥 𝑓(𝑥) a.𝑓 𝑥 2𝑥 3b.𝑓 𝑥 3𝑥 2 𝑥, jika diketahui fungsi f(x) di bawah ini !Penyelesaian :a.𝑓 𝑥 2𝑥 3limh 0𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 limh 0𝑓 2 𝑥 3 𝑓 2𝑥 3 6
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MA2𝑥 2 3 2𝑥 3 limh 0 limh 02𝑥 2 3 2𝑥 3 limh 02𝑥 2 3 2𝑥 3 limh 02 limh 0 2 2Jadi, nilai limh 0b.𝑓 𝑥 𝑓 (𝑥) dengan 𝑓 𝑥 2𝑥 3 adalah 2𝑓 𝑥 3𝑥 2 𝑥limh 0𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 limh 0 𝑓 3 𝑥 2 (𝑥 ) 𝑓 3𝑥 2 𝑥 3 limh 0 limh 0 limh 0 limh 0𝑥 2 2𝑥 2 (𝑥 ) 3𝑥 2 𝑥 3𝑥 2 6𝑥 3 2 𝑥 3𝑥 2 𝑥 3 2 6𝑥 3 6𝑥 1 limh 0 3 6𝑥 1 3 . 0 6𝑥 1 6𝑥 1Jadi, nilai limh 0𝑓 𝑥 𝑓 (𝑥) dengan 𝑓 𝑥 3𝑥 2 𝑥 adalah 6𝑥 1Contoh 7Tentukkan limh 0𝑓 3 𝑓(3) , jika diketahui 𝑓 𝑥 5𝑥 3Penyelesaian :limh 0𝑓 3 𝑓 3 limh 05 3 3 5 . 3 3 limh 015 5 3 5 . 3 3 limh 012 5 12 limh 05 limh 0 5 5Jadi, nilai limh 0𝑓 3 𝑓(3) dengan 𝑓 𝑥 5𝑥 3 adalah 57
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MALatihan 21.Tentukan nilai dari limit berikut ini :a.2.3.x 2 9limb. limx 3 c6 56x 2 3x 7x 3x 3Tentukan nilai limh 0𝑓 𝑥 𝑓 (𝑥) a.𝑓 𝑥 2𝑥 2 3𝑥 1b.𝑓 𝑥 6 2𝑥 2c.𝑓 𝑥 𝑥 3 2𝑥 2 1c. limx 2 25x 5 x 5untuk setiap fungsi yang diberikan.Untuk setiap fungsi pada soal nomor 2, tentukan limh 0𝑓 3 𝑓(3) C. Limit Fungsi di Tak Hingga1Misalkan fungsi f ditentukan oleh 𝑓 𝑥 𝑥 2 dengan daerah asalnya Df {x x R, x 0}. Nilai𝑓 𝑥 untuk nilai x yang semakin besar dapat dilihat pada Tabel B berikut.x𝑓 𝑥 1𝑥2x𝑓 𝑥 1𝑥2Berdasarkan Tabel B, terlihat bahwa jika nilai xsemakin besar maka, nilai fungsi 𝑓 𝑥 mendekati 011-1120,25-20,25(nol).50,04-50,04Sehingga dapat 0001-10000,000001. 0- 1 0x 𝑥 2lim 𝑓 𝑥 limx lim 𝑓 𝑥 limx 0x 1 0𝑥2Tabel B1Grafik fungsi 𝑓 𝑥 𝑥 2 diperlihatkan pada Gambar B. Sumbu X disebut1sebagai Asimtot Datar bagi fungsi 𝑓 𝑥 𝑥 2Gambar B8
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MADalam menyelesaikan limit tak hingga yang mempunyai variabel dengan pangkat tinggi, kita dapatmenggunakan sifat-sifat berikut yang disajikan tanpa bukti yang menjelaskan sifat-sifat tersebut. Hal inidikarenakan bukti-buktinya diluar jangkauan modul ini.SIFAT LIMIT TAK HINGGA1. Jika derajatlimx 𝑓 𝑥 derajat 𝑔(𝑥), maka𝑓 𝑥koefisien pangkat tertinggi dari 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)koefisien pangkat tertinggi dari 𝑔(𝑥)2. (i) Jika derajat 𝑓limx x x 𝑥 derajat 𝑔(𝑥) dan koefisien pangkat tertinggi 𝑓 𝑥bernilai negatif, maka𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)3. Jika derajat 𝑓limbernilai positif, maka𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)(ii) Jika derajat 𝑓lim𝑥 derajat 𝑔(𝑥) dan koefisien pangkat tertinggi 𝑓 𝑥𝑥 derajat 𝑔(𝑥), maka𝑓 𝑥 0𝑔(𝑥)Contoh 8Tentukan nilai limit fungsi berikut ini.a.b.lim8 6𝑥 5𝑥 2c. limx 2 𝑥 𝑥 23𝑥 2𝑥 2 1x x 2 4limx x 3 1d. limx 2 𝑥𝑥 1 (𝑥 3) 𝑥Penyelesaian :a.limx 8 6𝑥 5𝑥 22 𝑥 𝑥 2 lim 5𝑥 2x 𝑥 2Jadi, nilai lim8 6𝑥 5𝑥 2x 2 𝑥 𝑥 25 1 5 59
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAb.x 2 4𝑥21limx x 3 1 lim 𝑥 3 lim 𝑥 0x Ingat !x x 2 4Jadi, nilai limx x 3 1 0limc.3𝑥 2𝑥 2 1x 2 𝑥 limx 𝑥Jadi, nilai limlimx x 2 𝑥1 0x 𝑥lim 𝑓 𝑥 lim 3𝑥 2𝑥 2 1x d.2𝑥 21 0x 𝑥lim 𝑓 𝑥 limx 𝑥 2 4𝑥 3 𝑥 1 (𝑥 3) 𝑥 limx 𝑥2 .𝑥 2 4𝑥 3 𝑥 2𝑥 2 4𝑥 3 𝑥 2𝑥 2 4𝑥 3 𝑥 2 limx 𝑥 2 4𝑥 3 𝑥 24𝑥 3 limx 𝑥 2 4𝑥 3 𝑥 2 Jadi nilai limx 41 142 2𝑥 1 (𝑥 3) 𝑥 2Latihan 3Hitunglah limit fungsi berikut ini.a.b.lim𝑥 5lim2x 1 c. limx 2𝑥 2 3x x 3x 54𝑥 2 52xd. lim 3𝑥 2 4 (𝑥 2)x D. Limit Fungsi TrigonometriDalam beberapa kasus, penyelesaian limit fungsi trigonometri hampir sama dengan penyelesaianlimit fungsi aljabar, misalnya dengan metode substitusi langsung atau dengan metode pemfaktoran.Rumus-rumus trigonometri dan teorema limit yang pernah dipelajari pada sub bab diatas, dapat10
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAmembantu untuk menyelesaikan limit-limit fungsi tersebut. Berikut merupakan rumus-rumus limittrigonomteri yang disajikan tanpa bukti karena bukti tersebut termuat diluar jangkauan modul ini.SIFAT LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI1.limsin 𝑥x 0𝑥2.limtan 𝑥x 0 lim𝑥 lim𝑥 1x 0 sin 𝑥𝑥x 0 tan 𝑥 13. Misalkan u adalah fungsi dari x dan jika 𝑥 0 maka 𝑢 0 , sehingga rumus-rumus tersebut dapatdituliskan(i)(ii)limsin 𝑢x 0𝑢limtan 𝑢𝑢x 0 lim𝑢 lim𝑢x 0 sin 𝑢x 0 tan 𝑢 1 1Contoh 9Tentukan nilai limit-limit fungsi trigonometri berikut ini.a. lim cos 2 x sin2 xx 0b. limx 01 cos 2𝑥sin 𝑥Penyelesaian :a.lim cos 2 x sin2 x lim 𝑐𝑜𝑠 𝑥x 02x 02x 02 02x 0 lim 𝑐𝑜𝑠 0 1 lim 𝑠𝑖𝑛 𝑥 lim 𝑠𝑖𝑛 02x 02 1Jadi, nilai limit lim cos 2 x sin2 x 1x 0b.limx 01 cos 2𝑥sin 𝑥 1 cos 2 .(0)sin (0) 1 100 0Karena dengan substitusi langsung diperoleh00, yaitu bentuk tak tentu. Oleh karena itu, harusdiupayakan dengan cara lain sebagai berikut.11
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAlim1 cos 2𝑥sin 𝑥x 02 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 limsin 𝑥x 0Jadi, nilai lim1 cos 2𝑥sin 𝑥x 0 lim 2 sin 𝑥 2 sin 0 2 . 0 0x 0 0Ingat !cos 2𝑥 1 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥Contoh 10 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1Tentukan nilai limit-limit fungsi trigonometri berikut ini.a. lim𝜋x 4b. limsin 2𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥cos 2𝑥𝜋4𝑥 tan 4𝑥x 0 sin 3𝑥Penyelesaian :a.𝜋𝜋Misalkan, y 𝑥 4 , maka x y 4untuk x lim𝜋y 4𝜋, maka u 04𝜋4cos 2 y 𝑦 lim𝜋y y 𝜋2 sin 2y . sincos 2y . 0 sin 2y . 1𝑦0 sin 2y𝑦4– sin 2𝑦 2𝑦.𝑦2𝑦 lim𝜋– sin 2𝑦 2𝑦.2𝑦𝑦y 44sin 𝛼 𝛽 sin 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 cos 𝛼 sin 𝛽𝑦 lim𝜋y cos 𝛼 𝛽 cos 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 sin 𝛼 sin 𝛽𝜋2cos 2y . 0 sin 2y . 14 lim𝜋Ingat !𝑦4 lim𝜋y cos 2y . cos4 lim𝜋y 𝜋2𝑦4 lim𝜋y cos 2y 1 . 2 2Jadi, nilai lim𝜋x b.4cos 2𝑥𝜋4𝑥 2Dengan metode substitusi langsung, maka nilai limtan 4𝑥x 0 sin 3𝑥0 0 , sehingga dengan menggunakancara sebagai berikut.limtan 4𝑥x 0 sin 3𝑥 lim4 tan 4𝑥x 0 34𝑥3𝑥sin 3𝑥12
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MA4tan 4𝑥3𝑥x 04𝑥sin 3𝑥 3 limtan 4𝑥 3 lim44𝑥x 03𝑥. lim sin 3𝑥x 04 3 . 1. 14 3Jadi, nilai limtan 4𝑥x 0 sin 3𝑥4 3Contoh 11Tentukan nilai limit dari limsin 𝑥 sin 𝑥! h 0Penyelesaian :limsin 𝑥 sin 𝑥 h 0 lim2 cos12𝑥 𝑥 sin2 cos1𝑥 2122 cos 𝑥 sin12 12 12 h 0 lim sin h 0 lim𝑥 𝑥 h 0 lim12121222 cos 𝑥 sinh 0 lim cos 𝑥 h 012 .sin1212 1 cos 𝑥 2 0 . 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥Jadi, nilai limsin 𝑥 sin 𝑥 h 0 𝑐𝑜𝑠 𝑥Latihan 3Hitunglah limit fungsi berikut ini.a.lim𝜋x 3𝜋3tan 𝑥 𝜋3𝑥 b. limx 0tan 𝑥 sin 𝑥2x 2c. limx 0sin 3 𝑥 sin 3𝑥 13
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAE. Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-hariDalam kehidupan sehari-hari, manusia tidak pernah sadar bahwa semua yang kita lakukan ituberkaitan dengan matematika. Misalnya seperti proses jual-beli dan lain sebagainya yang erathubungannya dengan perhitungan. Demikian dengan limit fungsi, secara tidak sadar digunakan dalambidang kedokteran. Seseorang yang menderita rabun jauh akan memakai kacamata lensa cekung agardapat melihat dengan normal. Oleh karena itu, ia meminta bantuan seorang dokter. Mula-mula doktertersebut memeriksa dan menguji jarak pandang pasien untuk mengetahui seberapa parah penyakitnya.Setelaha itu, dokter tersebut harus menentukan jarak fokus lensa cekung kacamata dari pasien tersebut.Ternyata, jarak fokus lensa cekung tersebut dapat diperoleh dengan rumus1 1 1 𝑓 𝑠 𝑠′dengan f jarak fokus lesa, s jarak mata ke benda dan s’ titik jau mata penderita.Jadi, dengan menggunakan limit fungsi, penderita rabun jauh dapat tertolong sehingga penderitatersebut dapat melihat dengan normal kembali.Selain itu, limit fungsi juga dapat digunakan untuk menghitung kecepatan sesaat benda yangbergerak. Dimana kecepatan rata-rata pada selang waktu t a sampai t a h adalah𝐾𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑃𝑒𝑟𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑊𝑎𝑘𝑡𝑢Akan dicari kecepatan rata-rata pada selang waktu {a, a h} yang sangat pendek, yang berarti hmendekati nol. Untuk h mendekati nol, kecepatan rata-ratanya disebut dengan kecepatan sesaat, yaitukecepatan v(a) pada saat t a, sebagai limit dari kecepatan rata-rata.𝑣(𝑎) lim 0𝑓 𝑎 𝑓(𝑎 ) Disamping itu, limit fungsi sering digunakan oleh pemerintah dalam menentukkan pajak yang harusdibayar oleh masyarakat. Dalam bidang ekonomi, limit fungsi juga sering digunakan dalam menghitungbiaya rata-rata dan bunga.14
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MARANGKUMAN1. Pengertian limit Fungsilim 𝑓 (𝑥) 𝐿𝑥 𝑐Jika kita dapat membuat nilai f (x) sembarang yang dekat dengan L, dengan caramengambil nilai x yang dekat dengan c, baik dari kanan maupun dari kiri. Tetapi, xtidak sama dengan c.2. Teorema Limit1.lim 𝑘 𝑘, 𝑘 adalah suatu konstanta.2.lim 𝑥 𝑐3.lim 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑛 adalah bilangan asli.4.lim 𝑘 𝑓 𝑥 𝑘 lim 𝑓 𝑥5.lim 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 lim 𝑓 𝑥 lim 𝑔 𝑥6.lim 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 lim 𝑓 𝑥 lim 𝑔 𝑥7.limx cx cx cx cx cx cx cx c𝑓 𝑥x c 𝑔 𝑥x c𝑛8.lim 𝑓 𝑥9.lim n 𝑓 𝑥 x cx cx clim 𝑓 𝑥 c xlim𝑔 𝑥x c, dengan lim 𝑔 𝑥 0 lim 𝑓 𝑥x cnx cx c𝑛, 𝑛 adalah bilangan aslilim 𝑓 𝑥 , 𝑛 adalah bilangan asli dan lim 𝑓 𝑥 0x cx c3. Teorema Limit di Tak HinggaJika derajat 𝑓 𝑥 derajat 𝑔(𝑥), maka𝑓 𝑥koefisien pangkat tertinggi dari 𝑓(𝑥)lim x 𝑔(𝑥)koefisien pangkat tertinggi dari 𝑔(𝑥)Jika derajat 𝑓 𝑥 derajat 𝑔(𝑥) dan koefisien pangkat tertinggi𝑓 𝑥 bernilai positif, maka lim𝑓 𝑥x 𝑔(𝑥)𝑓 𝑥𝑓 𝑥 bernilai negatif, maka limx 𝑔(𝑥) Jika derajat 𝑓 𝑥 derajat 𝑔(𝑥), maka𝑓 𝑥lim 0x 𝑔(𝑥)15
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MA4. Teorema Limit Fungsi Trigonometri1.limsin 𝑥x 0𝑥2.limtan 𝑥3.Misalkan u adalah fungsi dari x dan jika 𝑥 0 maka 𝑢 0 , sehingga rumus-x 0𝑥 lim𝑥 lim𝑥x 0 sin 𝑥x 0 tan 𝑥 1 1rumus tersebut dapat dituliskan(i)lim(ii)limsin 𝑢𝑢x 0x 0tan 𝑢𝑢 lim𝑢 lim𝑢x 0 sin 𝑢x 0 tan 𝑢 1 15. Aplikasi limit fungsia.Bidang Kedokteran: menentukkan kacamata yang cocok untuk rabun jauh.b.Bidang ekonomi: menghitung biaya rata-rata dan bunga.c.Bidang pemerintahan: menentukkan pajak yang harus dibayar olehmasyarakat.16
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MADAFTAR PUSTAKAWirodikromo, S., 2007. MATEMATIKA UNTUK SMA KELAS XI. Jakarta: Erlangga.Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. bse Matematika Untuk SMA dan MA Kelas XIProgram IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan DEPDIKNAS.Sutrima dan Usodo Budi. 2009. bse Wahana MATEMATIKA Untuk SMA/MA Program IlmuPengetahuan Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan DEPDIKNAS.Sutrima dan Usodo Budi. 2009. bse Wahana MATEMATIKA Untuk SMA/MA Program IlmuPengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan DEPDIKNAS.Lestari Sri dan Kurniasih Diah Ayu. 2009. bse MATEMATIKA 2 Untuk SMA/MA ProgramStudi IPS Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan DEPDIKNAS.Retaningsih, Sri, dkk. 2009. bse Matematika XI IPS Untuk SMA/MA 2. Jakarta: PusatPerbukuan m/2010/06/terakhir-limit2.pdf17
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAPETUNJUK penggunaan kuis mekerDalam memaksimalkan dunia teknologi, kami membuat suatu bahan latihan soal-soal tentang limitfungsi secara digital yang kami kemas kedalam CD yang dimana bahan ini untuk memperlengkap modul yangkami buat.Cara penggunaan aplikasi quis maker:1. Bukalah CD yang terkemas dalam buku bahan ajar „limit fungsi”2. Masukan CD kedalam komputer atau laptop.3. Lalu akan terlihat sebuah file berupa flasplayer dan klik file tersebut maka akan terbukalah quis maker.4. Pada saat membuka anda akan diminta untuk memasukan paswoord, lalu masukan password ini “4man”(tanpa tanda kutip)5. Dan kemudian akan secra otomatis terbuka.6. Dalam quis maker tertera 50 soal tentang limit fungsi. Namun yang akan di ujikan hanyalah 30 soaldengan estimasi waktu 90 menit. Soal akan secra otomatis berbeda bila anda membuka ulang kembaliaplikasi ini.7. Soal terdiri dari 2 tipe; tipe 1 piliihan ganda 35 soal dan tipe 2 true n flase 15 soal.8. Pada akhir penilaian, kami telah menambahkan pembahasan pada setiap soal.*** Selamat mencoba dan selamat belajar ***18
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MABIODATA DAN DESKRIPSI KERJA KELOMPOKArdi Luardi lahir di Brebes, 18 Juni 1992. Tinggal di Jl. Lomobok KemurangKulon, Kec. Tanjung Kab. Brebes. Dalam pembuatan modul ini, saya sebagai editordan desainer modul. Adapun kendalanya yaitu sulit menentukkan lokasi untukdijadikan tempat pembuatan modul ini. Selain itu, dalam menentukkan hari untukpenyusunan juga sedikit mengalami kesulitan karena jarak rumah kami itu lumayanjauh.Fagil Rachman Darmawan Putra lahir di Kediri, 18 Mei 1993. Tinggal dijalan Ks.Tubnun GG. Kamsi No.102 Kec. Kejaksan Kel. Kejaksan. Dalam pembuatan modulini, saya lebih terfokus dalam pengerjaan membuat kuis maker dan desain kaver CD.Kendala dalam tugas ini membutuhkan ketelitian akan soal-soal yang akan di buat.Dan inspirasi yang harus luas dalam mendesain sebuah kaver.Maulana Badri Zaman lahir di Cirebon, 16 April 1994. Tinggal di Jl.PrapatanTanjung Puncel, Ds.Karang Wangi Kec.Depok Kab.Cirebon. Dalam pembuatantugas kelompok ini saya sebagai pencari materi, ya walaupun pencari materinya adadua tapi berbeda dalam pembagiannya. Kendalanya dalam pembuatan modul iniyaitu saya tidak mempunyai modem jadi harus bolak-balik warnet, tidak cumawarnet tapi perpustakaan juga di jelajah.Nana Sumarna lahir di Cirebon, 27 April 1993. Tinggal di Jl. Jendral SudirmanDs.Beber Kec.Beber Kab Cirebon. Hobi saya adalah menonton anime Naruto. Dalampembuatan modul ini, saya sebagai pencari materi. Kendala dalam pembuatan modulialah sulit mencariaplikasi limit fungsi sehingga dibutuhkan kerja ekstra untukmencarinya. weewwww19
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAPeran Komputer dalam Pembelajaran Matematika1. Pengertian Dasar KomputerKomputer yang merupakan salah satu hasil dari perkembanganteknologi sudah mulai dikenal sejak abad 19. Pada awalnya komputerdiciptakan dengan tujuan untuk menciptakan mesin perhitungan yangotomatis (Sharp, 1996). Edwar Humby dalam bukunya yang berjudul“Computers” mendefinisikan komputer sebagai “an electronic machinethat processes data under the control of stored programs“. Komputeradalah alat elektronit yang dapat mengelolah data dengan perantaraanprogram dan dapat memberikan/menampilkan hasil pengolahannya (Suryanto dan Rusmali, 1985). Sedangkandalam buku yang berjudul “Computer Annual” mendefinisikan komputer adalah suatu alat elektronik yangmampu melakukan beberapa tugas, yaitu menerima (masukan), memproses input tersebut sesuai denganprogramnya, menyimpan perintah-perintah dan hasil pengolahannya, serta menyediakan output (keluaran)dalam bentuk informasi (Sanusi, 1997).2. Komputer dalam PengajaranPerkembangan tekhnologi pada masa sekarang sangatlah pesat, terutama tekhnologi berbasis komputeryang sudah banyak digandrumi banyak orang dan komputer ini sudah banyak dipergunakan diberbagai sectoratau bidang termaksud bidang pendidikan. Tidak hanya karena kecangihan teknologi tersebut melainkandengan penggunaan komputer dapat mempertinggi keefisiensi suatu pekerjaan yang disebabkan karena adakelebihan atau manfaat dari computer, kelebihan tersebut yakni:-Dapat mengerjakan pekerjaan dengan cepat dan tepat.-Dapat menyimpan data maupun memanggilnya kembali.-Dapat memproses data/informasi dalam cakupan besar.Bahkan dengan adanya perkembangan teknologi khususnya dalam program-program aplikasinya, saat inikomputer semakin memberikan manfaat yang besar di dunia pendidikan, baik itu membantu dalam bidangadministrasi maupun dalam bidang instruksional.Fungsi komputer dalam bidang administrasi berupa: (1) program pengolah kata (Ms word), (2) pengolahangka (spredsheet) misalnya Ms excel, (3) program database (Ms Access. Sedangkan dalam bidanginstruksional pendidikan (Piccioano, 1998) membagi menjadi tiga bagian: (1) komputer sebagai tutor (tutoraplication), (2) komputer sebagai alat (Tool Applications), (3) Komputer sebagai tutee (Tutee Applications)3. Peran Komputer dalam Pembelajaran MatematikaDalam dunia pendidikan atau dalam pembelajarann khususnya pembelajran matematika, komputermemiliki potensi yang besar untuk meningkatkan kualitas pembelajaran. Sebagai mana yang kita ketaui20
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MAbahwasanya didalam mata pembelajaran matematika banyak hal abstrak atau imajinatif yang sulit dipikirkanoleh siswa. Dengan kecanggihan computer saat ini, dalam pembelajaran matematika menggunakan komputertentu saja akan lebih menyederhanakan jalan pikir siswa dalam memahami matematika. Dengan demikianproses pembelajaran matematika dapat dilakukan bila guru dituntut dapat memberdayakan komputer. Selain ituprogram-program sederhana yang terkandung dalam computer, dapat dipelajari dan digunakan siswa dalampenanaman dan penguatan konsep, membuat pemodelan matematika danpula untuk menyusun strategi dalammemecahkan masalah. Tetapi tidak hanya itu saja dan masih banyak lagi pemanfaatan computer bagipembelajaran matematika.Saat ini sudah cukup banyak sekolah, dari SD sampai SMA, yang memiliki komputer. Akan tetapi belumdimanfaatkan dalam pembelajaran, namun baru digunakan sebagai alat bantu dalam menyelesaikan urusanadministrasi atau mengfungsikan komputer sebagai mesintik. Padahal banyak hal yang dapat dilakukan gurudengan komputer dalam pembelajaran matematika. Dan hal ini tentu saja menuntut kriativitas guru khususnyaguru matematika untuk menafaatkan atau mengoptimalkan kegunaan komputer dalam pembelajaranmatematika.Komputer juga memberikan kesempatan kepada siswa secara lebih luas dalam menginvestigasimatematika daripada kalkulator. Hal ini karenakan kemampuan memori komputer yang jauh lebih besar dankemampuan menampilkan gambar dalam monitor yang lebih sempurn sehingga sangat mendukung untukmemcu kreativitas siswa.4. Keunggulan penggunaan komputer sebagai media pembelajaran matematikaSeperti yang sudah dijelaskan sedikit di sub bab sebelumnya bahwasnya dalam matematik banyak hal-halyang begitu abstrak untuk dijelasakan secara lisan. Namun bila dijelaskan secara dalam bentuk gambar yangsecara fakta maka siswa akan cenderung lebih memahami. Pada kenyataan atau rata-rata dalam pembelajaranmatematika guru minim akan media sehingga di analogikan dalam kehidupan. Akan tetapi tidak ada yangkurang disadari oleh guru bahwasanya media pembelajaran yang menggunakan media tersebut kurang efektifkarena siswa akan dituntun berefikir akan tetapi siswa akan lebih cenderung berfikir apakah yang ia fikirkanbena atau salah, dan apkah sama dengan yang diharapkan oleh guru.Dan karena olah itu guru dituntutlah untuk lebih menggunakan media yang lebih mudah dipahami olehsiswa. Komputer merupkan alat yang tercanggih didabat ini, dan pula kita bisa merasakan akan manfaatkomputet tersebut. Dalam pembelajaran meatematika komuter bisa digunkan sebagai media yang sangatkompleks yang diman didalamnya telah dilengkapi aplikasi-aplikasi yang menunjang dalam pembelajaran. Dantak hanya itu dengan menggunakan alat media komputer waktu mengajar akan lebih efisien dibandingkandengan tanpa media, dikarenakan rata-rata waktu mengajar habis untuk menulis di depan papan tulis dansifatnya tidak permanen, bila menggunakan koputer kita dapat cukup membuat bahan satu bahan ajar dan bisadigunakan berulang-ulang kali tanpa lagi harus menulis dipapan tulis.21
LIMIT FUNGSI untuk SMA/MA22
mengenai pembuatan modul. Dalam modul Kami yang berjudul "LIMIT FUNGSI" berisi tentang pengertian limit fungsi , sifat , teorema dan lain sebagainya yang bertujuan agar para pembaca dapat memahaminya dengan lebih mudah. Terselesaikanya modul ini juga tidak terlepas dari bantuan beberapa pihak. Karena itu,
controller, sma cluster controller, sma com gateway, sma inverter manager, sma bluetooth repeater, sma connection unit, sma ct meter, sma dc-combiner, sma energy meter, sma rapid shutdown system, sma ready rack, sma webconnect, cloud connect advanced, ts4-r, gateway, grid-connect-box, mc-box, na-box, smartformer, sma energy system – business .
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah 1.2 Kompetensi Dasar Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan tri-gonometri 1.3 Indikator 1.Menjelaskan pengertian limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi
1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Konsep turunan fungsi sangat berguna membantu memecahkan masalah ekonomi, namun demikian konsep turunan fungsi didasarkan atas konsep limit fungsi.
Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi. 5. Menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar. 6. Membedakan cara menentukan limit fungsi aljabar dengan cerdas. 7. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. 8. Mampu bekerjasama dalam kelompok belajar dan peduli kepada teman
3.7.2 Menjelaskan eksistensi limit fungsi aljabar di suatu titik secara intuitif. Pertemuan ke-2 3.7.3 Menjelaskan sifat-sifat limit fungsi aljabar. 4.7.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat limit fungsi aljabar. Pertemuan ke-3 3.7.4 Menentukan nilai limit fungsi dengan strategi subtitusi langsung.
Service: 42A 42 42B 42A 42 42B 42A 42 Operator: SMA SMA SMA SMA SMA SMA SMA SMA Piccadilly Gardens, Piccadilly Gardens (Stop J) Depart: 10:04 10:14 10:24 10:34 10:44 10:54 11:04 11:14 Manchester Royal Infirmary, Royal Infirmary 10:18 10:28 10:38 10:48 10:58 11:08 11:18 11:28
1 Information on this Document SMA America, LLC 10 SPW-WebconPB-US-IA-en-11 Installation Manual Nomenclature Abbreviations Complete designation Designation in this document Photovoltaics PV SMA America Production, LLC SMA SMA Solar Technology Canada Inc. SMA SMA Speedwire Speedwire SMA Cluster Controller Cluster Controller
A. Limit Fungsi Aljabar A.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Pada Titik Tertentu Pada penyelesaian limit fungsi harus menghidari nilai-nilai tak tentu, diantaranya adalah , , 0, , 0 0 a Berikut beberapa teorema penyelesaian limit fungsi aljabar Contoh Soal : 1. lim 5 5 2 x 2. b b x 5 lim 3. lim (3 2) 3 2 2 .
