Limit Fungsi Aljabar
LIMIT FUNGSIALJABARKELAS XISMA/MA.PENYUSUN : ROHMANMATEMATIKASEMESTER GENAP
Konsep Limit Fungsi Aljabar Sifat-Sifat Limit Fungsi Aljabar Menentukan Limit Fungsi Aljabar pada Suatu Titik Menentukan Limit Fungsi Aljabar di Tak Tentu LIMIT FUNGSI ALJABARPenyusun: Rohman
FungsiMateri ungsiRangeDomainLimit FungsiAljabarDefinisi Limit FungsiAljabar Secara Intuitifdan EksistensinyaSifat-sifat Limit FungsiAljabarNilai Limit suatuFungsi AljabarLimit Fungsi Aljabarpada π₯ lim π(π₯) πΏLimit Fungsi Aljabarpada Suatu Titik π₯ πlim π(π₯) πΏπ₯ π₯ πKata Kunci Limit fungsiLimit fungsi berhingga* Limit fungsi tak hingga* Limit fungsi aljabar1
LIMIT FUNGSI ALJABARSMA KELAS XI / SEMESTER GENAPKompetensi Dasar3.7 Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi rasional) secara intuitif serta sifatsifatnya, serta eksistensinya.4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi aljabar.Indikator Pencapaian KompetensiPertemuan ke-13.7.1Mendefiniskan pengertian limit fungsi aljabar di suatu titik secara intuitif.3.7.2Menjelaskan eksistensi limit fungsi aljabar di suatu titik secara intuitif.Pertemuan ke-23.7.3Menjelaskan sifat-sifat limit fungsi aljabar.4.7.1Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat limit fungsi aljabar.Pertemuan ke-33.7.4Menentukan nilai limit fungsi dengan strategi subtitusi langsung.3.7.5Menentukan nilai limit fungsi dengan strategi pemfaktoran.3.7.6Menentukan nilai limit fungsi dengan strategi perkalian sekawan.4.7.2Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan strategi subtitusi langsung.4.7.3Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan strategi pemfaktoran.4.7.4Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan strategi perkalian sekawan.Pertemuan 43.7.7 Menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga.4.7.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga.Alokasi Waktu8 x 45 Menit (4 Kali Pertemuan)
LIMIT FUNGSI ALJABARDalam kehidupan sehari-hari, berbagai permasalahan yang kita hadapi dapat melahirkanberbagai konsep matematika. Dengan ditemukan konsep umum matematika maka kita mampumenyelesikan kembali permasalahan yang serupa. Sebagai contoh, pengamatan yang dilakukanpada respon tubuh yang sedang alergi terhadap suatu zat dengan tingkat dosis obat antibiotic.Berdasarkan data yang diperoleh, memungkinkan ditemukan suatu model batas dosis pemakaianantibiotic tersebut. Dengan demikian, masalah alergi yang serupa dapat teratasi bila terjadi lagi.Percobaan yang kita lakukan adalah sebuah konsep pendekatan terhadap solusi permasalahantersebut. Jadi, konsep dapat kita peroleh dengan mengamati, mencoba, menganalisis data, danmenarik kesimpulan. Perhatikan ilustrasi berikut !Gambar 1. Tol Trans rang memandang di kejauhanjalan raya yang lurus. Dia melihat kendaraanyang melintas bergerak semakin jauh danukuran kendaraan juga tampak semakinkecil. Ini menandakan bahwa kita mempunyaibatas, melainkan banyak hal seperti ambangbatas pendengaran, batas kemampuanmemikulbeban,bataskemampuanmasyarakat membeli barang tertentu, dan lainsebagainya.Jadi, kita akan memulai pelajaran ini dengan mengkaji istilah βbatasβ terlebih dahulu.Kasus-kasus apa saja dalam kehidupan sehari-hari yang mempunyai keterbatasan ?Mari kita kaji lebih jauh Gambar 1 di atas. Misalkan kita lukis kembali badan jalan tersebutlebih sederhana menjadi sebuah sketsa sebagaimana tampak pada Gambar 2 berikut .Pada Gambar 2, tampak badan jalansemakin sempit untuk jarak pandang semakinjauh. Perhatikan, jarak bahu jalan dari kiri dankanan menyempit menuju tengah jalan. Adabatas ukuran lebar jalan sesuai dengan ersebut.tersebut,kitamembicarakan kata βbatasβ atau βlimitβGambar 2. Sketsa badan jalanADefinisi dan Eksistensi Limit Fungsi Secara IntuitifUntuk memperjelas kata βbatasβ atau βlimitβ pada ilustrasi jalan raya sebelumnya, kita akanmencoba mencari pengertian atau konsep limit tersebut dengan mengamati permasalahan berikut.Masalah 1Jika ada pertanyaan : Bilangan bulat manakah yang terdekat ke bilangan 3? Tentu sajadengan mudah kita menjawab yaitu bilangan 2 atau 4, bukan ? Tetapi, jika pertanyaannyadiubah menjadi : Bilangan real manakah yang terdekat ke bilangan 3? Tentu tak berhinggabanyaknya bilangan real yang dekat ke bilangan 3, tetapi bilangan manakah yang terdekatke 3 ?3
Permasalahan di atas dapat kita kaji melalui garis bilangan berikut.Gambar 3. Ilustrasi limit sebagai pendekatan nilaiPada garis bilangan pertama, misalkan jawaban akan pertanyaan tersebut adalah 2,75 atau3,25, tetapi itu bukan jawaban yang paling tepat untuk petanyaan tersebut. Pada garis bilangankedua, diperoleh bilangan terdekat adalah 2,99 atau 3,01. Namun jawaban tersebut juga masihkurang tepat karena pada bilangan ke tiga tampak bilangan 2,9999 atau 3,0001 adalah jawabanyang tepat terhadap pertanyaan di atas ? Tentu tidak, karena masih banyak lagi bilangan yang lainyang dekat ke angka 3. Jadi, apakah pengertian dekat pada masalah ini ?Pada garis bilangan, dapat dilihat sekelompok bilangan real mendekati bilangan 3 dari arahkiri dan sekelompok bilangan dari arah kanan. Namun hanya ada satu bilangan yang terdekat ke3 dari kiri dan dari kanan. Jika dimisalkan x sebagai variabel yang dapat menggantikan bilanganyang mendekati 3 tersebut maka x akan disebut mendekati 3 (dituliskan π₯ 3). Jika x adalah suatubilangan yang mendekati 3 dari kiri maka dituliskan π₯ 3 dan sebaliknya jika x adalah bilanganyang mendekati 3 dari kanan maka dituliskan π₯ 3 .Istilah limit dalam matematika memiliki arti yang hampir sama dengan istilah mendekati,sehingga nilai limit bisa dikatakan sebagai nilai pendekatan. Limit fungsi polinom dapatmenjelaskan pengaruh variablel bebas suatu fungsi yang mendekati titik tertentu terhadap fungsipolinom tersebut. Limit fungsi polinom dapat dijelaskan dengan pendekatan intuitif seperti dibawah ini.Situasi 1Diketahui fungsi f polinom berderajat 1 (linear), π π π ditentukan oleh π (π₯ ) 3π₯ 2.Apakah π(π₯) mendekati bilangan tertentu untuk setiap nilai variabel π₯ yang mendekati 2?. Situasiini dapat di perjelas melalui tabel 1.Tabel 1. Nilai pendekatan π(π₯) untuk setiap nilaiπ₯ mendekati 2π₯1,3 1,5 1,7 1,9 1,99 1,999 . . . π . . . 2,0001 2,001 2,01 2,10 2,25π(π₯)1,9Dari2,5tabel4,4 3,1 3,97 3,997 . . . π . . . ati 2, maka nilai π(π₯) mendekati 4 dannilai f(2) ada, yakni 4.Secara grafik juga dapat dilihat padaGambar 4. Pada gambar tampak bahwa ketika xmendekati 2 dari kiri dandari kanan,grafik π (π₯ ) 3π₯ 2 menuju ke titik yang samayaitu mendekati f(x) 4.Jadi, fungsi π(π₯) memiliki limit untuksetiap nilai variabel x mendekati 2 atau ditulis :lim (3π₯ 2) ada.π₯ 2Gambar 4. Grafik fungsi π(π₯) 3π₯ 2pada saat x mendekati 2 dari kiri dan kanan
Situasi 2π₯ 2 9Diketahui fungsi g rasional ditentukan oleh π(π₯ ) π₯ 3 , π₯ 3. Berdasarkan bentuk aljabartersebut, jelas fungsi g(x) tidak terdefinisi di untuk x bernilai 3. Bagaimana nilai limit g(x) disekitar 3 ?Tabel 2. Nilai pendekatan π(π₯) untuk setiap nilai π₯ mendekati 3Nilai pendekatan π(π₯) saat π₯ mendekati 3 dari kiri( x 3)Nilai pendekatan π(π₯) saat π₯ mendekati 3 dari kanan( x 3)π₯2,82,92,99π₯ 9 1,16 0,59 0,0599 0,00599900,006001π₯ 3 0,2 0,1 0,01 16,016,16,222,999. 3 .3,0013,013,13,20,0601 0,611,24TIDAK TERDEFINISI2π₯ 9Berdasarkan tabel 2, π(π₯) 6 untuk π₯ 3 dari kiri, ditulis π₯ 3lim ( π₯ 3 ) 6.2 9π(π₯) 6 untuk π₯ 3 dari kanan, ditulis lim (π₯π₯ 3) 6.π₯ 3Dari tabel 2, nampak bahwaπ₯2 9lim () 6π₯ 3 π₯ 3Secara grafik dapat dilihat pada Gambar 5.π₯ 2 9Pada gambar tampak bahwa grafik π(π₯ ) π₯ 3 , π₯ 3, garis dari kiri x 3 dan garis dari kanan x 3 menuju(mendekati) sebuah titik yang sama yaitu mendekatig(x) 6.π₯ 2 9Jadi lim ( π₯ 3 ) ada, meskipun 3 π·π danπ₯ 3π(3) tidak terdefinisi. Hal ini sah, karena limit fungsidi suatu titik tidak mensyaratkan nilai fungsi di titiktersebut harus ada.π₯2 9Gambar 5. Grafik fungsi π(π₯) ,π₯ 3π₯ 3pada saat x mendekati 3 dari kiri dan kananSituasi 32Diketahui fungsi h yang ditentukan oleh β(π₯) {π₯ 1, π₯ 1. Jelas bahwa nilai h (1) ada, namunπ₯ 1, π₯ 1apakah lim β(π₯) ada?. Melalui bantuan tabel, akan ditunjukan limit fungsi h di sekitar 1.π₯ 1Tabel 3. Nilai pendekatan β(π₯) untuk setiap nilai π₯ mendekati 1Nilai pendekatan β(π₯) saat π₯ mendekati 1 dari kiri( x 1)β(π₯ ) π₯2 1π₯β(π₯)Nilai pendekatan β(π₯) saat π₯ mendekati 1 dari kanan( x 1)π (π₯ ) π₯ 1. 1 .0,70,80,90,991,0011,011,1.-0,51 -0,36 -0,19 -0,0199 . . .2,0012,012,1Berdasarkan tabel, nampak : β(π₯) 1 untuk π₯ 1 dari kiri, ditulis π₯ 1lim β(π₯) 0β(π₯) 2 untuk π₯ 1 dari kanan, ditulis lim β(π₯) 2π₯ 1Ternyata untuk setiap nilai x mendekati 11,22,2ditemukan nilai h(x) yang berbeda, dari kirih(x) mendekati 0 dan dari kanan h(x)mendekati 2. lim β(π₯) lim β(π₯),π₯ 1π₯ 1berakibat lim β(π₯) tidak ada.π₯ 1π₯ 1, π₯ 1Jadi, β(π₯ ) { 2π₯ 1, π₯ 1tidak memiliki limit.5
π₯ 1, π₯ 1π₯ 2 1, π₯ 1pada saat x mendekati 1 dari kiri dan kananGambar 6. Grafik fungsi β(π₯) {Pengertian limit fungsi polinom secara intuitif dituliskan sebagai berikut:Misalkan π adalah fungsi variabel π₯ dan πΏ adalahbilangan real maka:lim π(π₯) πΏπ₯ π(artinya jika π₯ mendekati π, maka π (π₯ ) akanmendekati πΏ).Catatan : i) a tidak perlu ada di π·πii) jika π π·π , maka π(π) tidak perlu adaLATIHAN SOAL1. Lengkapilah masing-masing pernyataan di bawah ini!a. Jika π₯ mendekati β 2, maka nilai 2π₯ 5 mendekati .b. Notasi lim π(π₯) πΏ dibaca .π₯ 3c. Notasi . dibaca limit π(π₯) untuk π₯ mendekati 2 dari kanan.3π₯ 5, π₯ 22. Diberikan fungsi β(π₯ ) {π₯ 2, π₯ 2Selidiki apakah β(π₯) mempunyai limit untuk π₯ mendekati β 2?3. Seekor lebah diamati sedang hinggap di tanah pada sebuah lapangan. Pada keadaan dan intervaltertentu, misalkan lebah tersebut terbang mengikuti fungsi berikut :ππππ 0 π‘ 1ππππ 1 π‘ 2ππππ 2 π‘ 35π‘ 2 10π‘,β (π₯ ) {5, 5π‘ 15coba kamu tunjukkan grafik lintasan terbang lebah tersebut kemudian analisislah gerak lebahpada waktu t 1 dan t 2 !BSifat-Sifat Limit Fungsi Secara Intuitif1) Sifat 1 (Limit fungsi konstan)Diketahui fungsi konstan f, g, dan ditentukan oleh π (π₯ ) 2, π(π₯ ) 1, β(π₯ ) 10.Bagaimana nilai limit fungsi konstan ?Nilai π(π₯ ) 2 untuk sebaran x sekitar 1π₯0 0,2 0,5 0,9 0,99 0,999 . . .1.π (π₯ ) 2.2.Nilai π(π₯ ) 1 untuk sebaran x sekitar 3π₯0 1,2 2,5 2,9 2,99 2,999 . . .3. 1.-1π(π₯) 12-12-122-12-1-12-1.1,001 1,01 1,12223,001 3,01 3,1-1-11,51,82244,5-1-1Nilai β(π₯) 10 untuk sebaran x sekitar -2π₯β(π₯) 10 310 2,99 2,51010 2,110 2,01 . . .10. 2. 1,99 1,7 1,5 1,210.10101010 1,019 11010
Berdasarkan definisi fungsi konstan dan representasigrafiknya, untuk sebaran nilai x dekat dengansebarang bilangan, f(x) mendekati nilai konstannya,(i)lim 2 2,f(x) cπ₯ 1lim ( 1) 1(ii),π₯ 3(iii)lim 10 10.π₯ 2Jadi,lim π π , dengan π dan π bilangan real.Sebaran xπ₯ πSebaran x(Sifat 1)2) Sifat 2Diketahui fungsi f(x) x dan x mendekati 3, 5, dan β 5. Lengkapilah tabel berikut!Nilai limit untuk f(x) untuk sebaran nilai x di sekitar 3π₯2,3 2,5 2,7 2,9 2,99 2,999 . . . 3 . . . 3,001 3,01 3,1 3,5 3,8π(π₯) 2,3 2,5 2,7 2,9 2,99 2,999 . . . 3 . . . 3,001 3,01 3,1 3,5 3,84Nilai limit untuk f(x) untuk sebaran nilai x di sekitar 5π₯4,3 4,5 4,7 4,9 4,99 4,999 . . . 5 . . . 5,001 5,01 5,1 6,5 6,8π(π₯) 4,3 4,5 4,7 4,9 4,99 4,999 . . . 5 . . . 5,001 5,01 5,1 6,5 6,89Nilai limit untuk f(x) untuk sebaran nilai x di sekitar -5 4,8 4,9 5,1 5,01 5,001 . . . 5π₯π(π₯) 4,8 4,9 5,1 5,01 5,001 . . . 5Berdasarkan.9 4,999 4,99 4,9 4,7 4,5 4,999 4,99 4,9 4,7 4,5perhitungannumerik, diperolehi).4f(x)lim π₯ 3.π₯ 3ii)f(c)lim π₯ 5.π₯ 5iii)lim π₯ 5.f(x)π₯ 5Secara induktif, untuk setiapnilai x mendekati bilangan c,maka nilai f(x) mendekatif(c) c, ditulis lim π₯ π.cSebaran nilai xSebaran nilai xπ₯ π(Sifat 2)3) Sifat 3Diketahui lim π₯ 3 dan fungsi π (π₯ ) 2π₯.π₯ 3Perhitungan numerik f(x) untuk nilai x disekitar 3π₯2,5 2,7 2,9 2,99 2,999 . . . 3 . . . 3,001 3,01 3,1 3,5 3,8π (π₯ ) π₯2,5 2,7 2,9 2,99 2,999 . . . 3 . . . 3,001 3,01 3,1 3,5 3,8()π π₯ 2π₯5 5,4 5,8 5,98 5.998 . . . 6 . . . 6,002 6,02 6,2 7 7,6Nampak bahwa nilai limit 2.f(x) 2x adalah dua kali lipat dari limit f(x) x.lim 2. π (π₯ ) 2. lim π(π₯)π₯ 3π₯ 3 2. lim π₯π₯ 3 2.3 6.Sehingga, secara induktif dapat dikatakan lim π. π(π₯) π. lim π(π₯), π β (Sifat 3)π₯ ππ₯ π7
4) Sifat 4Diketahui fungsi π(π₯ ) π₯ 2 , π(π₯ ) 2π₯, serta sebaran nilai x di sekitar 1 yang akanditampilkan melalui tabel berikut.π₯0,2 0,5 0,9 0,99 0,999 . . . 1 . . . 1,001 1,01 1,1 1,5 862,996π(π₯) π₯ 20,004π(π₯) 2π₯π(π₯) 3,0043,043,45,256,851Nampak bahwa (i) lim π(π₯) lim π₯ 2 1,π₯ 1π₯ 1(ii) lim π(π₯ ) lim 2π₯ 2,π₯ 1π₯ 1(iii) lim (π(π₯ ) π(π₯ )) lim (π₯ 2 2π₯) 3.π₯ 1π₯ 1Sehingga dari fakta tersebut, ditulis lim (π(π₯ ) π(π₯ )) lim (π₯ 2 2π₯)π₯ 1 π₯ 1lim π₯ 2 lim 2π₯π₯ 1π₯ 1 lim π(π₯) lim π(π₯)π₯ 1π₯ 1Secara induktif dapat dituliskan lim (π(π₯ ) π(π₯ )) lim π(π₯) lim π(π₯) (Sifat 4).π₯ ππ₯ ππ₯ π5) Sifat 5Bagaimana sifat limit penjumlahan dengan π(π₯ ) negatif atau π(π₯ )?lim [π (π₯ ) ( π(π₯ ))] lim π(π₯) lim ( π(π₯)) (sifat 4)π₯ ππ₯ ππ₯ πlim [π (π₯ ) π(π₯ )] lim π(π₯) ( 1) lim π(π₯) (sifat 3)π₯ ππ₯ ππ₯ π lim π(π₯) lim π(π₯).π₯ ππ₯ πJadi, lim [π(π₯ ) π(π₯ )] lim π(π₯) lim π(π₯) (Sifat 5)π₯ ππ₯ ππ₯ π6) Sifat 6Diketahui fungsi π(π₯ ) π₯, π(π₯ ) 2π₯ 1, serta sebaran nilai x di sekitar 2 yang ditampilkanmelalui tabel berikut.π₯1,71,81,9 1,99 1,999 . . . 2. . . 2,001 2,012,12,22,3π(π₯) π₯1,71,81,9 1,99 1,999.2.2,001 2,012,12,22,3π(π₯) 2π₯ ). 211,8812,88Nampak bahwa (i) lim π (π₯ ) lim π₯ 2,π₯ 2π₯ 2(ii) lim π(π₯ ) lim (2π₯ 1) 5,π₯ 2π₯ 2(iii) lim (π(π₯ ). π(π₯ )) lim π₯(2π₯ 1) 10.π₯ 2π₯ 2Sehingga dari fakta tersebut, ditulis lim (π(π₯ ). π(π₯ )) lim π₯(2π₯ 1)π₯ 2π₯ 2 lim π₯ . lim (2π₯ 1)π₯ 2π₯ 2 lim π(π₯) . lim π(π₯)π₯ 2π₯ 2Secara induktif dapat dituliskan lim (π(π₯ ). π(π₯ )) lim π(π₯) . lim π(π₯) (Sifat 6).π₯ ππ₯ ππ₯ π7) Sifat 7Diketahui fungsi π(π₯ ) 4π₯ 2, π(π₯ ) 2π₯ 1, serta sebaran nilai x di sekitar 1 yangditampilkan melalui tabel berikut.
π₯0,70,80,9 0,99 0,999 . . . 1. . . 1,001 1,011,11,21,3π(π₯) 4π₯ 24,85,25,65,965,996.6.6.0046.046.46.87.2π(π₯) π₯ π₯)Nampak bahwa (i) lim π (π₯ ) lim (4π₯ 2) 6,π₯ 1π₯ 1(ii) lim π(π₯ ) lim (π₯ 1) 2,π₯ 1π₯ 1π(π₯)4π₯ 2(iii) lim (π(π₯)) lim ( π₯ 1 ) 3.π₯ 1π₯ 1Sehingga dari fakta tersebut, ditulis lim (π₯ 1π(π₯)4π₯ 2) lim (π₯ 1)π(π₯)π₯ 1lim (4π₯ 2) π₯ 1lim (π₯ 1)π₯ 1lim π(π₯) π₯ 1.lim π(π₯)π₯ 1Secara induktif dapat dituliskan lim (π₯ πlim π(π₯)π(π₯)) π₯ π, lim π(π₯) 0π(π₯)lim π(π₯)π₯ ππ₯ π(Sifat 7).8) Sifat 8lim [π (π₯ )]π lim [π(π₯ ). π (π₯ ). π(π₯ ) π(π₯)]π₯ ππ₯ πn lim π (π₯ ). lim π(π₯ ). lim π(π₯ ) lim π(π₯) (Sifat 6)π₯ ππ₯ ππ₯ ππ₯ πnπ [ lim π (π₯ )] .π₯ πJadi, lim [π(π₯π₯ π)]ππ [ lim π (π₯ )] .π₯ π9) Sifat 9πDiketahui lim [π(π₯ )]π [ lim π (π₯ )] ,π₯ πjika diplih π π₯ π1πmaka1π1πlim [π (π₯ )] [ lim π(π₯ )] ]π₯ ππ₯ ππ lim π(π₯ ) π lim π (π₯ ).π₯ ππ₯ πJadi, lim π π(π₯ ) π lim π(π₯ ).π₯ ππ₯ πLATIHAN SOAL1.Klasifikasikanlah masing-masing pernyataan berikut benar/salah:a. lim 4 4π₯ 7b. Jika lim π(π₯ ) 16 maka lim 2 π (π₯ ) 4π₯ 3π₯ 3c. Jika lim π(π₯) 3 maka lim [π(π₯)]2 6π₯ 5π₯ 5d. Jika lim β(π₯) 5 maka lim [π. β(π₯)] 7ππ₯ 7π₯ 79
2.Berdasarkan sifat-sifat limitnya, tentukanlah hasil dari:a.b.c.lim 4π₯ 2 2π₯ 1π₯ 1lim (2 π₯ )(π₯ 3)π₯ 5lim5π₯ 6π₯ 3 2π₯ 11d.lim (π₯ )3π₯ 21e.lim (π₯ 2 5)2π₯ 2Menentukan Nilai Limit Fungsi AljabarCPada bagian ini, kita akan menentukan limit dengan menggunakan pendekatan numerik,memanfaatkan faktorisasi, dan perkalian sekawan. Coba kita pelajari permasalahan yang dihadapioleh grup diskusi berikut.Lina dan Wati adalah teman satu kelompok belajar di kelasnya. Suatu hari mereka mendapattugas dari guru untuk menggambar beberapa grafik fungsi dengan mencari sebanyak mungkintitik-titik yang dilalui fungsi tersebut. Pada saat mereka menentukan beberapa nilai di daerahasalnya, mereka mendapatkan kesulitan untuk menentukan nilai pada fungsi-fungsi berikut.π₯ 4 11. Untuk π (π₯ ) 2 , mereka sulit mendapatkan nilai fungsi untuk π₯ 1 dan π₯ 1 karenaπ₯ 10jika disubstitusi nilai 1 atau 1 ke fungsi, nilai π(1) dan π( 1) berbentuk .2. Untuk π (π₯ ) π₯1 π₯ 4 10, mereka sulit mendapatkan nilai fungsi untuk π₯ 0 karena jikax x2 411nilai 0 disubstitusi maka mereka memperoleh π(0) berbentuk 0 0.Hal tersebut merupakan permasalahan bentuk tak tentu suatu limit. Misalkan f suatu fungsidengan π: π π dan πΏ, π bilangan real, lim π (π₯ ) πΏ jika dan hanya jika lim π (π₯ ) L π₯ ππ₯ πlim π(π₯ ).π₯ πNilai πΏ yang kita maksud adalah bentuk tentu limit. Jadi, jika kita substitusikan nilai π ke0 fungsi π(π₯) sehingga π(π) adalah bentuk-bentuk tak tentu seperti 0 , , , 00 , , dan lainlain maka kita harus mencari bentuk tentu dari limit fungsi dengan langkah-langkah berikut.1. Substitusikan π₯ π ke fungsi sehingga diperoleh π (π ) πΏ, (πΏ adalah nilai tentu).2. Jika π (π ) bentuk tak tentu maka kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut denganmemilih strategi yaitu mencari beberapa titik pendekatan (numerik), memfaktorkan, perkaliansekawan, dan lain-lain.Perhatikan beberapa contoh soal dan penyelesaian berikut.Contoh 1.Tentukanlah nilai limπ₯ 2 3π₯ 2π₯ 2π₯ 2 4!Alternatif Penyelesaian:Cara 1 (Numerik)Jikaπ¦ π₯ 2 3π₯ 2π₯ 2 4maka pendekatan nilai fungsi pada saat π₯ mendekati 2 ditunjukkan pada tabelberikut.Tabel 1. Nilai pendekatan π(π₯) π₯ 2 3π₯ 2π₯ 2 4pada saat π₯ mendekati 2π₯1,51,999 2 2,001 2,01π¦0,143 0,189 0,231 0,248 0,250 ? 0,250 0,252 0,266 0,302 0,3331,71,91,992,12,32,5Dengan melihat tabel di atas, jika π₯ mendekati 2, maka π¦ π(π₯) akan mendekati 0,25.
Cara 2 (Faktorisasi)0π₯ 2 3π₯ 20π₯ 2 4Perhatikan bahwa π(2) berbentuk sehingga π(π₯) (π₯ 2)(π₯ 1)sehingga:(π₯ 2)(π₯ 2)π₯ 2 3π₯ 2limπ₯ 2π₯ 2 4perlu kita ubah menjadi π (π₯ ) (π₯ 2)(π₯ 1) lim (π₯ 2)(π₯ 2)π₯ 2(π₯ 1) lim (π₯ 2) karena π₯ 2π₯ 21 4 0,25.Contoh 2.Tentukanlah nilai lim π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5π₯ 2π₯ 2Alternatif Penyelesaian :Cara 1 (Numerik) π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5Misalkan π¦ maka pendekatan nilai fungsi pada saat π₯ mendekatiπ₯ 22 ditunjukkan pada tabel berikut.Tabel 2.Nilai pendekatan π(π₯) π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5π₯ 2pada saat π₯ mendekati 2π₯-2,3-2,1-2,01-2,001 -2 -1,999-1,99-1,9-1,8-1,7π¦-2,530-2,501-2,499-2,5 ? -2,5-2,501-2,528-2,599-2,763Dengan melihat tabel di atas, jika nilai π₯ mendekati 2 maka π¦ π(π₯) akan mendekati 2,5.Cara 2 (Perkalian sekawan)Ingat kembali bentuk sekawan dari bentuk akar pada pelajaran eksponen di Bab I, π₯ π0sekawan dengan π₯ π. Perhatikan bahwa π(2) berbentuk 0 sehingga π (π₯ ) π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5π₯ 2dapat diubah dengan mengalikan bentuk sekawan dari π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5 yaitu: π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5 π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5 π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5lim lim π₯ 2π₯ 2π₯ 2π₯ 2 π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 52(π₯ π₯ 1) (2π₯ 5) limπ₯ 2 (π₯ 2)( π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5)π₯2 π₯ 6 limπ₯ 2 (π₯ 2)( π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5)(π₯ 2)(π₯ 3) limπ₯ 2 (π₯ 2)( π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5) limπ₯ 2 (π₯ 3)( π₯ 2 π₯ 1 2π₯ 5)karenaπ₯ 2( 2 3)( ( 2)2 ( 2) 1 2( 2) 5)52 2,5. Contoh 3Berikut kita akan menyelesaikan permasalahan yang dihadapi oleh Lina dan Wati denganmenentukan nilai limit fungsi tersebut pada pendekatan 1 dan 1 pada contoh ini.π₯ 4 1Tentukanlah lim π₯2 1 dan limπ₯ 1π₯ 4 1π₯ 1 π₯ 2 1!11
0Perhatikan nilai fungsi pada absis 1 dan -1 mempunyai nilai yang berbentuk . Nilai fungsi0tersebut adalah bentuk tak tentu sehingga perlu dicari bentuk tentu limit fungsi tersebut padasaat π₯ mendekati 1 dan 1. Perhatikan strategi/cara berikut.Alternatif Penyelesaian:Cara 1 (Numerik)x4 1Misalkany f(x) x2 1. Pendekatan nilai fungsi pada saat x mendekati 1 dan β 1 ditunjukkanpada tabel berikut:π₯ 4 1Tabel 3. Nilai pendekatan π(π₯ ) π₯2 1 pada saat π₯ mendekati 1π₯0,70,80,90,990,999 1 1,0011,011,11,21,3π¦1,491,641,811,982,00 ? 2,002,022,212,442,69Tabel 4. Nilai pendekatan π (π₯ ) π₯ 4 1π₯ 2 1pada saat π₯ mendekati 1π₯-1,3-1,2-1,1-1,01-1,001 -1 -0,999-0,99-0,9-0,8-0,7π¦2,692,442,212,022,00 ? 2,001,981,811,641,49Dengan melihat tabel-tabel di atas, jika nilaiπ₯ mendekati 1 maka π¦ π(π₯) akan mendekati 2dan jika nilai π₯ mendekati β 1 maka π¦ π(π₯) akan mendekati 2.Cara 2 (Faktorisasi)π₯ 4 10Perhatikan bahwa π (1) 0 , π (π₯ ) π₯2 1 dapat diubah menjadi π (π₯ ) π₯ 4 1sehingga: lim π₯2 1 limπ₯ 1(π₯ 2 1)(π₯ 1)(π₯ 1)(π₯ 1)(π₯ 1)π₯ 1(π₯ 2 1)(π₯ 1)(π₯ 1)(π₯ 1)(π₯ 1)karena π₯ 1 dan π₯ 1 lim (π₯ 2 1)π₯ 1 12 1 2limπ₯ 1π₯ 4 1 limπ₯ 2 1, dan(π₯ 2 1)(π₯ 1)(π₯ 1)(π₯ 1)(π₯ 1)π₯ 1karena π₯ 1 dan π₯ 1 lim (π₯ 2 1)π₯ 1 ( 1)2 1 2.Contoh 4.Tentukanlah lim π₯1 π₯ 0 π₯ 41π₯ π₯ 2 4!Alternatif Penyelesaian :Cara 1 (Numerik)Misalkan π¦ π₯1 π₯ 4 1π₯ π₯ 2 4maka pendekatan nilai fungsi pada saat π₯ mendekati 0ditunjukkan pada tabel berikut:Tabel 5. Nilai pendekatan π(π₯) 1π₯ π₯ 4 1π₯ π₯ 2 4pada saat π₯ mendekati 0π₯-0,3-0,2-0,1-0,01-0,001 0 0,0010,010,10,20,3π¦-0,08-0,08-0,07-0,07-0,06 ? -0,06-0,06-0,06-0,05-0,04Dengan melihat tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati 0 maka π¦ π(π₯) akan semakinmendekati β 0,06.
Cara 2 (Perkalian sekawan)Fungsi π (π₯) 1π₯ π₯ 41π₯ π₯ 2 4perlu diubah menjadi π(π₯) 1π₯ 0 π₯ 4lim π₯ mempunyai nilai tidak tentu di π₯ 0 sehingga fungsi π₯ 2 4 π₯ 4π₯ (π₯ 2 4)(π₯ 4)1π₯ π₯ 2 4 lim,π₯ 0 π₯ 2 4 π₯ 4π₯ (π₯ 2 4)(π₯ 4)1 lim (π₯ 0 (π₯ 2 4)(π₯ 4) (limπ₯ 0 (π₯ 21 4)(π₯ 4))( π₯ 2 4 π₯ 4π₯) π₯ 2 4 π₯ 4)π₯ 0π₯) (lim1 (limπ₯ 0 (π₯ 2 4)(π₯ 4) (lim1 (lim1) (lim π₯ 2 4 π₯ 4 π₯ 2 4 π₯ 4π₯ 0 (π₯ 2 4)(π₯ 4)π₯ 0 (π₯ 2 4)(π₯ 4).π₯π₯ 0) (limπ₯ 2 π₯π₯π₯ 0) (limπ₯ 0. π₯ 2 4 π₯ 4)1 π₯ 2 4 π₯ 4π₯ 1 π₯ 2 4 π₯ 4))1 1 ( )( )441 16.Contoh 5.1Tentukanlah limπ₯ 1 1 π₯2 π₯ 7 π₯2 π₯ 9π₯ 2 1Alternatif Penyelesaian :Sederhanakan fungsi,lim ( π₯ 2 π₯ 9 π₯ 2 π₯ 7π₯ 1 π₯ 2 1). π₯ 2 π₯ 7. π₯ 2 π₯ 9Sederhanakan fungsi, π₯ 2 π₯ 9 π₯ 2 π₯ 7 π₯ 2 π₯ 9 π₯ 2 π₯ 7.π₯ 1 (π₯ 2 1). π₯ 2 π₯ 7. π₯ 2 π₯ 9 π₯ 2 π₯ 9 π₯ 2 π₯ 7 2(π₯ 1) lim ( )( ) 2π₯ 1 π₯ 1 π₯ 1 . π₯ π₯ 7. π₯ 2 π₯ 9( π₯2 π₯ 9 π₯ 2 π₯ 7) 2 lim ( ) 2π₯ 1 π₯ 1 . π₯ π₯ 7. π₯2 π₯ 9( π₯ 2 π₯ 9 π₯ 2 π₯ 7) 2 (2) 9 9( 9 9) 1 .54limLATIHAN SOAL1.Tentukanlah nilai dari:a.b.c.lim 4π₯ 3 5π₯ 2 3π₯ 2π₯ 12.Tentukanlah nilai dari:lim [π₯ 34 π₯ 2 79 π₯ 2]π₯ 2 5π₯ 6lim π₯2 2π₯ 8π₯ 2lim4 π₯π₯ 4 2 π₯13
d.3.limπ₯ 2π₯ 2 π₯ 7 3Seorang dokter menangani pasies yang mengalami serangan jantung. Sayangnya pasientidak tertolong. Dokter hendak membuat laporan diagnose medis terkait kematianpasiennya tersebut. Dalam hal ini dokter menganalisis denyut jantung pasien sesaatsebelum tiba-tiba berhenti mendadak dan meninggal, yang dinyatakan dalam suatu fungsiπ (π₯ ) π₯ 2 190π₯ 1000π₯ 100(π΅ππ).Dengan menggunakan konsep limit, berapakah denyutjantung pasien tersebut jika diketahui denyut jantung manusia normal adalah sekitar 200BPS (π₯ 200) !(ket : BPS beat per second/denyut per detik)4.Sebuah bidang logam dipanaskan di bagian tengah dan memuai sehingga mengalamipertambahan luas sebagai fungsi terhadap waktu yaitu dengan fungsi π(π₯ ) 0,25π‘ 2 0,5π‘ (ππ2 ). Tentukan kecepatan perubahan luas bidang tersebut pada saat t 5 menit !Limit Fungsi Aljabar di Tak HinggaDSebuah kereta cepat melaju mengikuti fungsi posisi π dengan waktu π‘ dalam sekon dan jarak π dalam meterπ (π‘ ) 75π‘ 2 3π‘ 1Kereta mengalami percepatan hingga mencapai kecepatan maksimum pada π‘ sekon. Jikakereta tidak berhenti dalam waktu yang lama, tentukan kecepatan maksimum kereta!Pada soal di atas kita diminta menentukan nilai dari fungsi π (π‘) dimana nilai π‘ mendekatitak hingga. Untuk menyelesaikan masalah tersebut terlebih dahulu kita pahami konsep limit fungsidi tak hingga t.Dalam sub materi sebelum kita telah mempelajari bagaimana menyelesaikan limit fungsialjabar untuk π₯ mendekati π (ditulis π₯ π) dengan π adalah konstanta yang nilainya tertentu.Dalam sub materi ini kita akan mempelajari limit fungsi aljabar untuk π₯ mendekati tak hingga.Jika fungsi π(π₯) mendekati πΏ1 , ketika π₯ mendekati positif tak hingga, kita tulislim f ( x) L1 . Serupa dengan itu, jika fungsi π(π₯) mendekati πΏ2 , ketikaπ₯ mendekati negatif takx hingga, kita tulis lim f ( x) L2x Teorema11 0 dan lim π 0, dengan π π΄ππ₯ π₯π₯ π₯limCatatan: A himpunan bilangan asli {π, π, π, π, }Misalkan kita diminta untuk menghitung soal limit berikut ini:111. lim (3 ) lim 3 lim 3 0 3π₯ π₯ π₯ π₯π₯lim (π₯ 1) 1 π₯ 1 π₯ 2. lim (π π’ππ π‘ππ‘π’π π π₯ )π₯ π₯ 3lim (π₯ 3) 3 π₯
Untuk soal nomor 1 kita berhasil menentukan limit fungsinya dengan substitusi. Tetapi untuk soal nomor 2 kita tidak berhasil karena muncul bentuk yang merupakan bentuk tak tentu. Untuk kasus π₯ selain bentuk , sering juga muncul kasus . Seperti penyelesaian kasus limit yang telah dipelajari sebelumnya, untuk menyelesaikan bentuk tak tentu dan perludilakukan manipulasi aljabar sebelum menggunakan teorema yaitu sebagai berikut: 1. Menyelesaikan limit mendekati tak hingga bentuk Dalam menyelesaikan limit mendekati tak hingga bentuk dapat diselesaikan menjadi 2cara, yaitu cara biasa dan cara singkat. Untuk jelasnya adalah sebagai berikut: a. Cara biasa yaitu jika π₯ kita substitusi langsung maka akan muncul bentuk , strategi untuk menyelesaikan adalah kalikan pembilang maupun penyebutnya dengan1eksponen yang sama, π₯π dengan π₯ π adalah eksponen dari suku tertinggi penyebut.Contoh :5π₯ 2 2π₯ 7 2 7 lim 2 2 π₯ 2π₯ 3π₯ 4 4 15π₯ 22π₯7 2 25π₯ 2 2π₯ 7 (π₯2 )π₯2π₯π₯lim 1 lim 2π₯2 3π₯ 4π₯ 2π₯ 2 3π₯ 4π₯ (π₯ 2 ) π₯2 π₯2π₯2 lim27π₯3π₯245 π₯ 2 π₯ π₯25 0 02 0 05 2 b. Langkah-langkah penyelesaian bentuk dengan cara singkat adalah sebagai berikut:Langkah 1: Sederhanakan fungsi dalam limit. Cukup dengan menulis suku tertinggipembilang dan penyebutnya saja.Langkah 2: Sederhanakan eksponen x pada pembilang dan penyebut.Langkah 3: hitung nilai limit dengan menggunakan teorema11lim π 0 dan lim π 0.π₯ π₯π₯ π₯Contoh:4π₯ 10 1.000π₯ 44π₯ 10lim limπ₯ π₯ 6π₯ 106π₯ 10 54 2 6 32. Menyelesaikan limit mendekati tak hingga bentuk Kasus yang sering dijumpai untuk kasus lim π(π₯ ) π(π₯ ) adalah salah satu f(x)π₯ atau g(x) atau keduanya f(x) dan g(x) merupakan fungsi di bawah tanda akar kuadrat (" β). Langkah utama mengubah bentuk ke bentuk agar limitnya bisadiselesaikan adalah dengan menggunakan bentuk kawan, yang memanfaatkan perkalianistimewa (π π)(π π) π2 π 2 . Dengan menggunakan bentuk kawan tercapai duatujuan sekaligus, yaitu meniadakan tanda akar kuadrat pada pembilang sehingga kita bisamenyederhanakan suku-suku sejenis pada pembilang sekaligus mengubah bentuk menjadi . Cara menyelesaikan lim π (π₯ ) π(π₯ ) adalah sebagai berikut:π₯ π(π₯) π(π₯)Langkah 1: Kalikan f(x)-g(x) dalam limit dengan π(π₯) π(π₯) , denganπ (π₯ ) π(π₯ ) adalah bentuk kawan dari π(π₯ ) π(π₯ ).Langkah 2: Hilangkan tanda akar kuadrat dari pembilang, kemudian sederhanakanpembilang dengan menggabungkan suku-suku sejenis.15
Langkah 3: Selesaikan bentuk pada langkah 2 dengan cara biasa (metode 1) atau carasingkat (metode 2). Cara singkat dianjurkan untuk menyelesaikan soalpilihan ganda secara cepat.Permasalahan:lim [2π₯ 1 4π₯ 2 6π₯ 5]π₯ Langkah 1lim [(2π₯ 1) 4π₯ 2 6π₯ 5] π₯ lim[(2π₯ 1) 4π₯ 2 6π₯ 5][(2π₯ 1) 4π₯ 2 6π₯ 5](2π₯ 1)2 ( 4π₯ 2 6π₯ 5)2[(2π₯ 1) 4π₯ 2 6π₯ 5]Langkah 22(2π₯ 1)2 ( 4π₯ 2 6π₯ 5)(4π₯ 2 4π₯ 1) (4π₯ 2 6π₯ 5)lim limπ₯ [(2π₯ 1) 4π₯ 2 6π₯ 5]π₯ [(2π₯ 1) 4π₯ 2 6π₯ 5] 4π₯ 1 6π₯ 5 limπ₯ (2π₯ 1) 4π₯ 2 6π₯ 52π₯ 6 limπ₯ (2π₯ 1) 4π₯ 2 6π₯ 5Langkah 3Suku tertinggi penyebut adalah 2π₯, sehingga kita kalikan pembilang dan penyebut dengan11atau 2π₯ π₯Metode 1 (cara biasa)Metode 2 (cara singkat)Cara singkat, dimana hanya menuliskanMembagi tiap suku pada pembilang dansuku tertinggi pembilang dan penyebut,1menggabungkan suku-suku sejenis, danpenyebut dengan π₯akhirnya menyederhanakan eksponen x.2π₯ 62π₯ 6lim lim (2π₯ (2π₯ 1) 4π₯ 2 6π₯ 5π₯ 2π₯ 1) 4π₯ 6π₯ 52π₯ 6 2π₯π₯ π₯ lim limπ₯ 2π₯ 1 4π₯2 6 5π₯ 2π₯ 4π₯ 2π₯ π₯π₯2 π₯2 π₯22π₯62 π₯ limπ₯ 2π₯ 2π₯ limπ₯ 2π₯165 lim2 π₯ 4 π₯2 π₯2π₯ 4π₯22 02 4 π₯ 2 0 4 0 0221 2 2 4 22 41 23. Aplikasi limit fungsi aljabar di π Memperkirakan jumlah penduduk pada waktu tertentu dapat digunakan suatufungsi dengan perhitungan menggunakan konsep limit fungsi seperti yang pernahditemukan H. Von Foerster pada tahun 1960. Ia menemukan βdoomsday modelβ yangmerupakan fungsi untuk memperkirakan jumlah populasi manusia dengan menggunakankonsep limit.Contoh:Jumlah penduduk di sebuah kota kecil t tahun dari sekarang ditaksir dan bisadinyatakan oleh fungsi berikut10.000π 30.000 (π‘ 2)2Berapa perkiraan jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangatlama di masa depan?Jawab:Dalam jangka waktu yang sangat lama dari sekarang, bisa kita anggap π‘ .Dengan demikian jumlah penduduk dalam jangka waktu lama adalah:10.000π lim [30.000 ]π₯ (π‘ 2)2
10.00010.000π 30.000 2 30.000 30.000Jadi, jumlah penduduk kota dalam jangka waktu yang sangat lama adalah 30.000 jiwa.LATIHAN SOAL1. Tentukan nilai dari limit berikut :a. lim [π₯ 3π₯ 2 2π₯ 89π₯ 2 16]b. lim [3π₯ 2 9π₯ 2 2π₯ 5]π₯ 2.Sebuah kereta cepat melaju mengikutifungsi posisi π dengan waktu π‘ dalam sekondan jarak π dalam meter75π‘ 2 3π (π‘ ) π‘ 1Kereta mengalami percepatan hinggamencapai kecepatan maksimum pada π‘sekon. Jika kereta tidak berhenti dalamwaktu yang lama, tentukan kecepatanmaksimum kereta tersebut !DAFTAR PUSTAKANoormandiri, B.K. 2017. Matematika untuk SMA/MA Kelompok Wajib. Jakarta : PT ErlanggaManullang, Sudianto, dkk. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI. Jakarta :Kemdikbudhtt
3.7.2 Menjelaskan eksistensi limit fungsi aljabar di suatu titik secara intuitif. Pertemuan ke-2 3.7.3 Menjelaskan sifat-sifat limit fungsi aljabar. 4.7.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat limit fungsi aljabar. Pertemuan ke-3 3.7.4 Menentukan nilai limit fungsi dengan strategi subtitusi langsung.
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah 1.2 Kompetensi Dasar Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan tri-gonometri 1.3 Indikator 1.Menjelaskan pengertian limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi
1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Konsep turunan fungsi sangat berguna membantu memecahkan masalah ekonomi, namun demikian konsep turunan fungsi didasarkan atas konsep limit fungsi.
Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi. 5. Menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar. 6. Membedakan cara menentukan limit fungsi aljabar dengan cerdas. 7. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. 8. Mampu bekerjasama dalam kelompok belajar dan peduli kepada teman
A. Limit Fungsi Aljabar A.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Pada Titik Tertentu Pada penyelesaian limit fungsi harus menghidari nilai-nilai tak tentu, diantaranya adalah , , 0, , 0 0 a Berikut beberapa teorema penyelesaian limit fungsi aljabar Contoh Soal : 1. lim 5 5 2 x 2. b b x 5 lim 3. lim (3 2) 3 2 2 .
linear dan sistem pertidaksamaan linear βprogram linear βsuku banyak βMatriks βbarisan dan deret Siswa memiliki kemampuan mengaplikasika n konsep kalkulus dalam masalah kehidupan sehari-hari pada topik:-limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri-turunan fungsi aljabar dan turunan fungsi trigon
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri. Menentukan invers suatu fungsi TUJUAN PEMBELAJARAN : 1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut 2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan. 3.
bidang Aljabar pada Program Studi S1 Matematika, S1 Ilmu Aktuaria, S2 Matematika dan S3 Matematika antara lain: Program Studi Mata Kuliah S1 Matematika Teori Bilangan, Aljabar Linear, Aplikasi Aljabar Linear, Matematika Diskret, Struktur Aljabar I , Struktur Aljabar
he American Revolution simulation is designed to teach students about this important period of history by inviting them to relive that event . Over the course of five days, they will recreate some of the experiences of the people who were beginning a new nation . By taking the perspective of a historical character living through the event, students will begin to see that history is so much .
