BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Kompetensi Dasar
BAB 4LIMIT FUNGSIStandar KompetensiMenggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalahKompetensi Dasar1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsialjabarKonsep turunan fungsi sangat berguna membantu memecahkan masalahekonomi, namun demikian konsep turunan fungsi didasarkan atas konsep limitfungsi. Demikian pula sifat-sifat turunan fungsi didasarkan atas sifat-sifat limitfungsi. Oleh karena itu agar dapat memahami konsep turunan fungsi dengan baik,diperlukan pemahaman limit fungsi beserta sifat-sifatnya.A. Pengertian Limit Fungsi1. Limit f(x) untuk x cx2 x 2Tinjau sebuah fungsi f(x) , apakah fungsi f tersebut sama denganx 1fungsi g(x) x -2 ? Daerah asal dari fungsi g adalah semua bilangan real,sedangkan daerah asal fungsi f adalah bilangan real tetapi x 1. Dengandemikian g(x) f(x) sebab daerah asal dan daerah hasilnya tidak sama. Nilaifungsi g untuk x 1 adalah g(1) 1 -2 -1, sedangkan nilai f untuk x 1 tidak12 1 20terdefinisi sebab f(1) merupakan bentuk tak tentu.1 10Pertanyaan selanjutnya, apakah untuk x sekitar 1 nilai f itu ada? Denganmenggunakan kalkulator, coba kita cari nilai-nilai f untuk nilai-nilai x yang dekatdengan 1, seperti 0,9, 0,95, 0,99 juga 1,1, 1,05, dan 1,01 seperti terlihat dalamtabel 4.1.Tabel 4.1xx2 x 2x 053,051,13,1Gambar 4.11
Ternyata nilai f untuk sekitar x 1 mendekati 3 baik untuk didekati dari kiri(bilangan kurang dari 1) maupun dari kanan (bilangan lebih dari 1).Nilai f (x) untuk x sekitar 1 disebut nilai limit f(x) untuk x menuju 1 ditulisx2 x 2lim f ( x) lim 3x 1x 1x 1Nilai atau bilangan real x sekitar 1 maksudnya bilangan-bilangan x yangselisihnya dengan 1 sangat kecil (mendekati 0).Latihan 1Apabila ada, carilah nilai limit berikut ini.1. lim 3x 12. lim 2 xx 23. lim 4 x 6x 24. lim x 2x 25. lim x 3x 36. lim x 4x 57. lim xx 1x2 x 68. limx 3x 32. Limit Fungsi di Takhingga dan Limit Fungsi Bernilai TakhinggaPerhatikan fungsi f(x) 1,x 0xy42-4-224x-2-4Gambar 4.22
Untuk nilai-nilai x 0, ternyata nilai f makin kecil mendekati 0, tetapi tidakmenyentuh 0Tabel 4.2x1xxx 0 0,00010,0010,010,10,51241020501001.00010.000 x ?x 0-10.000 x - 0,0001?Berdasarkan Gambar 4. 2 dan Tabel 4.2, dapat disimpulkan untuk x maka11nilai f(x) 0, demikian pula x - nilai f(x) 0.xxDengan demikian dapat ditetapkan11(1) lim 0(2) lim 0x xx x11(3) lim (4) lim x 0 xx 0 x(1) dan (2) adalah nilai limit fungsi di takhingga, sedangkan (3) dan (4) disebutlimit fungsi bernilai takhingga ( atau - ).11Dari fakta lim 0 dapat diturunkan bahwa untuk k bilangan asli lim k 0x xx xBukti:3
k111 lim k lim ( ) k lim ( ) 0 k 0x xx xx x Contoh 4.1Tentukan nilai limx 2x 2x2 1Jawab:2x 2terlihat seperti pada Gambar 4.3.x2 1Untuk menghitung nilai limit tersebut, bagilah pembilang dan penyebut oleh x 2,2x 222x 222lim 2 lim 2 x lim 2x xx x 1x 11 011 2 xx2 x2Grafik f(x) 4y31-4-202x4-1-2Gambar 4. 3Contoh 4.2Periksa apakah nilai limx 11ada ?x 1Jawab:Grafik dari f(x) 1terlihat seperti pada Gambar 4.4x 14
y108642-4-2-22x4-4-6-8-10Gambar 4.41 - ,x 1 x 11Bila x 1 , maka (x - 1) 0 , dan lim .x 1 x 1Bila x 1-, maka (x - 1) 0-, dan lim Karena nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan, maka limx 11tidakx 1ada.Latihan 2Periksa apakah nilai limit berikut ada ?x 31. limx 1 2 xx 32. lim 2x x 2x 2 3x 23. limx x 2 24. limx 1 ( x 1) 3x2x 2 ( x 2) 25. limB. Sifat-sifat Limit FungsiBila n bilangan asli, k suatu konstanta, serta f dan g fungsi yang memilikilimit di x c, maka(1) lim k kx c(2) lim x cx c5
(3) lim kf ( x ) k lim f ( x )x cx c(4) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x )x cx cx c(5) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x )x cx cx c(6) lim f ( x ).g( x )] lim f ( x ).lim g( x )x c(7) limx cx cx cf(x)f ( x ) lim x c, lim g( x ) 0g( x ) lim g( x ) x cx c(8) lim [ f ( x )] [ lim f ( x )] nnx c(9) limx cx cnf ( x ) n lim f ( x )x cContoh 4.3Tentukan lim 4 x 2x 3Jawab:lim 4 x 2 4 lim x 2 4 [lim x]2 4 [3]2 36x 3x 3x 3(3)(8)(2)Contoh 4.4Tentukan lim (2 x 3 4 x)x 2Jawab:lim (2 x 3 4 x) lim 2 x 3 lim 4 x 2 lim x 3 4 lim x 2(lim x) 3 4 lim xx 2x 2(5)x 2x 2x 2(3)(8) 2.(2)3 – 4.2 8(2)Contoh 4.5Tentukan limx 1x 210 x 22xJawab:6x 2
(9)lim 10 x 210 x 2lim x 1 x 12xlim 2 xx 1(7)(5)lim 10 lim x 2lim 10 x 2x 12 lim x x 1(3)x 1x 12 .1(2)(1) 1110 1 4,510 (lim x) 2 x 122(8)(2)Teorema SubsitusiIngat kembali fungsi sukubanyak f yang memiliki bentukf ( x) a n x n a n 1 x n 1 . a1 x a 0Juga fungsi rasional dengan pembilang dan penyebutnya berupa fungsisukubanyak dengan bentuka x n an 1 x n 1 . a1 x a0f ( x) n mbm x bm 1 x m 1 . b1 x b0Jika f suatu fungsi sukubanyak atau fungsi rasional, maka lim f ( x ) f ( c )x cUntuk f fungsi rasional syaratnya adalah nilai fungsi penyebut tidak nol untuk x c.Contoh 4.6Hitunglah lim( 2 x 2 3 )x 2Jawab:Karena f(x) 2x3 – 3 adalah suatu fungsi sukubanyak, makalim 2 x 2 3 f(2) 2.22 -3 5x 27
Contoh 4.77 x 3 x 2 5 x 40Carilah limx 23x 2 x 10Jawab:7 x 3 x 2 5 x 407(2) 3 (2) 2 5.2 40 101lim 2 f(2) 22x 2423.2 2 103x x 10Contoh 4.8x2 x 2x 2x 2Karena untuk x 2 nilai fungsi pembilang dan penyebut sama dengan 0, makaTeorema Subsitusi tidak berlaku. Bentuk 0/0 disebut bentuk tak tentu, dan untukmencari nilai limitnya dilakukan penyederhanaan aljabar dengan faktorisasiseperti berikut.x2 x 2( x 2)(x 1)lim lim lim ( x 1) 3x 2x 2x 2x 2x 2Pembilang dan penyebut dapat dibagi (x-2) sebab untuk x 2 , x -2 0Carilah limContoh 4.92 x 2 3x 10x x 2 5 x 2Carilah limJawab:3 10 x x 2 pembilang dan penyebut dibagi x2.5 21 2x xBerdasarkan teorema utama limit diperoleh3 10112 2lim 2 3 lim 10 lim 2x x x xx x x 2 0 0 2limx 115 21 0 0lim 1 5 lim 2 lim 21 2x x xx xx x2 x 2 3x 10lim 2 limx x 5 x 2x Contoh 4.10Carilah limx 2 2x 1x2 3Jawab:limx 1x 2 0 2 limx 31x2 31 2x2x 12 8
Pembilang dan penyebut dibagi x dan ingat di dalam tanda akar harus dibagi x 2,x2karena x Contoh 4.11Carilah lim ( 2 x 2 3x 2 x 2 5 )x Jawab:lim ( 2 x 2 3x 2 x 2 5 ) x lim ( 2 x 2 3x 2 x 2 5 ) 2 x 2 3x 2 x 2 5 2 x 2 3x 2 x 2 53x 5(2 x 2 3x) (2 x 2 5)) lim (lim (2x 22x 2 x 3x 2 x 2 52 x 3x 2 x 5x 3 lim (x 2 5x35 2 2xx) 3 02 0 2 0 32 2 3 24Latihan 3Carilah nilai limit berikut ini.1. lim 3x 5x 3 4y2 8y 2. lim y 2y 4 13x 2 7 x 10x2 x 24. limx 2x 1x 2x2 1x 2 14 51 x 2lim5.x 3x 2 4 x 21Untuk soal nomor 6 sampai dengan 8 diketahui lim f ( x) 3 dan 4. lim g ( x) 13. limx ax aCarilah nilai limit berikut.6. limx af 2 ( x) g 2 ( x)7. lim 3 g ( x)[ f ( x) 3]x a8. lim f ( x) 3g ( x) x aUntuk soal nomor 9 dan 10. carilah limx 2f ( x) f (2)apabila lim f ( x) 3x ax 29
9. f(x) 3x2 2x 1310. f(x) 2xHitunglahx2x ( x 5)( 3 x )11. limx 2 3x 2x x3 113. limx2 x 3x x2 19y3 114. lim 2y y 2 y 212. lim15. lim ( x 2 2 x x)x 10
Prakata bab 7Konsep limit fungsi diciptakan para matematikawan untuk dapat mendefinisikankonsep turunan fungsi dengan baik. Dengan demikian sifat-sifat turunan fungsipun dengan sendirinya didasarkan atas sifat-sifat limit fungsi. Oleh karena itu agardapat memahami konsep turunan fungsi dengan baik, diperlukan pemahamanlimit fungsi beserta sifat-sifatnya.Soal Apersepsix 2 3x 4, apakah nilai f(4) ada?x 42. Diketahui deret 2 1 ½ ¼ ., tentukan julah deret tersebut untuk n 1. Diketahui f(x) Perdalam konsepmu1. Apakah syaratnya agar lim f ( x ) ada?x 1m2. Diketahui f(x) ax, tentukan lim f ( x )x bx na. jika m nb. jika m nc. jika m nRangkuman1. lim f ( x ) L artinya nilai f(x) di sekitar c adalah Lx ck1 1 2. (1) lim 0(2) lim 0x xx k 3. Sifat-sifat limit fungsiBila n bilangan asli, k suatu konstanta, serta f dan g fungsi yang memilikilimit di x c, maka(1) lim k kx c(2) lim x cx c(3) lim kf ( x ) k lim f ( x )x cx c(4) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x )x cx cx c(5) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x )x cx cx c(6) lim f ( x ).g( x )] lim f ( x ).lim g( x )x cx cx c11
f(x)f ( x ) lim x c, lim g( x ) 0g( x ) lim g( x ) x c(7) limx cx c(8) lim [ f ( x )] [ lim f ( x )] nnx c(9) limx cnx cf ( x ) n lim f ( x )x c4. Limit fungsi Trigonometri dengan satuan ukuran sudut radian(1). lim sin t sin c(2). lim cos t cos ct ct c(3). lim tan t tan c(4). lim cot t cot c(5). lim sect secc(6). lim csc t csc ct ct csin t 1ttan t(9). lim 1t 0t(7). limt 0t ct ct 1t 0 sin tt(10). lim 1t 0 tan t(8). limPrakata bab 8Turunan fungsi merupakan sebagai bagian dari topik hitung diferensial, yangdidasrkan atas gagasan (ide) laju perubahan yang dikembangkan sekitarpermulaan abad ketujuh belas. Newton matematikawan Inggris dan Leibnizmatematikawan Jerman merupakan orang –orang yang paling berjasa dalammengembangkan ide dan metoda hitung diferensial. Limit fungsi yangmelandasi konsep turunan baru dikembangkan dalam abad kesembilanbelas.Soal apersepsi1. Tentukan gradien persamaan garis yang melalui titik (x 1,y1) dan (x2,y2).f( x h) f( x)2. Diketahui f(x) x2, tentukan limh 0h23. Tentukan x dari f(x) x 4x 5 agar f(x) bernilai minimum.Perdalam Konsepmu1. Manakah pernyataan yang benar di bawah ini.a. Jika h(x) f(x) g(x), maka h’(x) f ’(x) g’(x)b. Jika h(x) f(x) g(x), maka h’(x) f ’(x) g’(x)c. Jika h(x) (fog)(x) maka h’(x) (f ’og’)(x)2. Operasi manakah yang terkait dengan aturan rantai?3. Apa bedanya f naik pada interval a x b dan f tidak turun pada interval a x b?4. Jelaskan jenis-jenis titik ekstrim!12
Rangkumanf ( x h) f ( x ).h2. Turunan dari f(x) axn adalah f ’(x) an x n-1 untuk n bilangan rasional.3. Sifat-sifat turunan fungsiBila g(x) dan h(x) fungsi-fungsi yang memiliki turunan dan k konstanta,berlaku:(1) Jika f(x) k g(x) maka f ’(x) k g’(x)(2) Jika f(x) u(x) v(x) maka f ’ (x) u’(x) v’(x)(3) Jika f(x) u(x) - v(x) maka f ’ (x) u’(x) - v’(x)(4) Jika f(x) u(x).v(x) maka f ’ (x) u’(x)v(x) u(x)v(x)u ' ( x )v ( x ) u ( x )v ' ( x )u ( x)(5) Jika f(x) maka f ’ (x) v( x)[v( x)] 2dy4. Jika y f(x) turunan dari f ditulis f ’(x) oleh Leibniz dilambangkan dengandx5. Turunan fungsi Trigonometri(1) Jika f(x) sin x maka f ’(x) cos x(2) Jika f(x) cos x maka f ’(x) -sin x1(3) Jika f(x) tan x maka f ’(x) cos 2 x6. Aturan Rantai(1) Jika h(x) (f(g(x)) maka h ’(x) f ’(g(x)) g(x) ataudy dy du (2) Jika y f(u) dan u g(x), makadx du dx1. Turunan dari fungsi f ditulis f ’ dengan definisi f ’(x) limh 07. Turunan dan grafik fungsi(1) Grafik f naik pada interval yang memenuhi f ’(x) 0(2) Grafik f turun pada interval yang memenuhi f ’(x) 0(3) Grafik f mencapai stasioner pada x yang memenuhi f ’(x) 0(4) Grafik f cekung ke atas pada interval yang memenuhi f ”(x) 0(5) Grafik f cekung ke bawah turun pada interval yang memenuhi f ”(x) 0(6) Titik (a,f(a)) merupakan titik balik maksimum bila f ’(a) 0 dan f ”(a) 0(7) Titik (a,f(a)) merupakan titik balik minimum bila f ’(a) 0 dan f ”(a) 0(8) Titik (a,f(a)) merupakan titik belok bila f ”(a) 013
1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Konsep turunan fungsi sangat berguna membantu memecahkan masalah ekonomi, namun demikian konsep turunan fungsi didasarkan atas konsep limit fungsi.
umum bab vi ketentuan penutup standar kompetensi lulusan standar isi standar proses standar penilaian standar dosen & tenaga kependi standar sarana & prasarana standar pengelolaan standar pendanaan & pembiayaan standar hasil .
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah 1.2 Kompetensi Dasar Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan tri-gonometri 1.3 Indikator 1.Menjelaskan pengertian limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi
Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi. 5. Menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar. 6. Membedakan cara menentukan limit fungsi aljabar dengan cerdas. 7. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. 8. Mampu bekerjasama dalam kelompok belajar dan peduli kepada teman
3.7.2 Menjelaskan eksistensi limit fungsi aljabar di suatu titik secara intuitif. Pertemuan ke-2 3.7.3 Menjelaskan sifat-sifat limit fungsi aljabar. 4.7.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat limit fungsi aljabar. Pertemuan ke-3 3.7.4 Menentukan nilai limit fungsi dengan strategi subtitusi langsung.
Fungsi kuadrat merupakan merupakan fungsi polinom berderajat dua bentuk umum persamaan fungsi kuadrat adalah : y a bx cx2 atau y cx2 bx a dimana cz0. Contoh fungsi kuadrat dalam bentuk grafik di gambarkan sebagai berikut : y y x2 x 3.1.1 Penyelesaian Persamaan Kuadratik Penyelesaian persamaan kuadratik merukan pencarian akar-akar dari persamaan .
A. Limit Fungsi Aljabar A.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Pada Titik Tertentu Pada penyelesaian limit fungsi harus menghidari nilai-nilai tak tentu, diantaranya adalah , , 0, , 0 0 a Berikut beberapa teorema penyelesaian limit fungsi aljabar Contoh Soal : 1. lim 5 5 2 x 2. b b x 5 lim 3. lim (3 2) 3 2 2 .
Fungsi kuadrat tersebut merupakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y f(x) ax 2 bx c, dan grafik fungsi kuadrat dise but parabola. Langkah -langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana: Langkah 1: Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik -titik yang
STM32 and ultra‑low‑power. 4 9 product series – more than 40 product lines . proliferation of hardware IPs and higher‑level programming languages greatly facilitates the work of developers. High‑ performance Cortex‑M STM32 F7 Ultra‑ low‑power Mainstream Cortex‑M3 STM32 F2 STM32 L1 STM32 F1 Cortex‑M STM32 F4 STM32 L4 STM32 F3 Cortex‑M M STM32 L0 STM32 F0 STM32 H7 ST .
