WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS
WISKUNDE VOOR HETHOGER TECHNISCH ONDERWIJSdeel 1L O T H A R PA P U L A2e druk
Meer informatie over deze en andere uitgaven kunt u verkrijgen bij:MeerinformatieBIMKlantenserviceMediaB.V. over deze en andere uitgaven kunt u verkrijgen 20014Den HaagHaag2500 EADen2500EA Den304Haag67 8077tel.: (070)37898tel.:(070) 378 98 iceOriginally published in the German language by Vieweg Teubner, 65189 Wiesbaden, Germany, asOriginallypublishedin the GermanlanguageVieweg Teubner, 65189Germany, asLothar Papula:Mathematikfür IngenieureundbyNaturwissenschaftlerBand Wiesbaden,1, 12. AuflageLotharPapula: MathematikfürFachmedienIngenieure undNaturwissenschaftlerBand 1, 12. Auflage Vieweg Teubner SpringerWiesbadenGmbH Vieweg TeubnerWiesbaden GmbHSpringerFachmedien Springeris part ofFachmedienSpringer Science BusinessMediaSpringer Fachmedien is part of Springer Science Business Media Nederlandse vertaling 2011 BIMSdu Uitgevers,DenHaagMedia, DenHaag eversMediaAcademicServiceis een 2011imprintvanSdubv.Academic Service is een imprint van Sdu Uitgevers bv.1e druk, mei 1993 (11 oplagen)1e druk, mei19932011(11oplagen)2e1e oplageaugustus2011augustus2e druk, augustus2e oplage2011augustus 2013Vertaling: R.M.D. Bersen, E. BogersVertaling:R.M.D. Bersen,SchoonhovenE. BogersZetwerk: p:Carlito’sSchoonhovenDesign, AmsterdamOmslagontwerp: Carlito’s Design, AmsterdamISBN 978 90 395 2647 7ISBN978 90 395 2647 7NUR 123/918NUR 123/918Alle rechten voorbehouden. Alle intellectuele eigendomsrechten, zoals auteurs‑ en databankrechten, ten aanzienvanuitgaveworden uitdrukkelijkvoorbehouden.Deze rechtenberustenbij enSduUitgevers bv entende auteur.Alledezerechtenvoorbehouden.Alle ankrechten,aanzienMedia bvbvenendedeauteur.van deze uitgave worden uitdrukkelijk voorbehouden. Deze rechten berusten bij BIMSdu Uitgeversauteur.Behoudens de in of krachtens de Auteurswet gestelde uitzonderingen, mag niets uit deze uitgave worden verveel‑voudigd, opgeslagenin een geautomatiseerdgegevensbestandof openbaargemaaktin uitgaveenige vormof openigeBehoudensde in of krachtensde Auteurswet gesteldeuitzonderingen,mag nietsuit nisch,door fotokopieën,opnamenof enige n eengeautomatiseerdgegevensbestandof openbaargemaaktin enigevormof op enigeschriftelijkede uitgever.wijze,hetzij toestemmingelektronisch, vanmechanisch,door fotokopieën, opnamen of enige andere manier, zonder voorafgaandeschriftelijke toestemming van de uitgever.Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel16h Auteurswet,dientvanmende daarvoor wettelijkverschuldigdevergoedingenvoldoen aande StichtingRe‑Voorzover het makenreprografischeverveelvoudigingenuit dezeuitgave istetoegestaanop grondvan artikelprorecht(Postbus Voor het overnemenvanaangedeelte(n)uit deze16h Auteurswet,daarvoorwettelijkverschuldigde vergoedingente voldoende StichtingRe‑uitgavebloemlezingen,readersen andere compilatiewerken(artikel16hetAuteurswet)zich te uitwendenprorechtin(Postbus3051, 2130KB Hoofddorp,www.reprorecht.nl).Voorovernemendientvan mengedeelte(n)dezetot de StichtingPRO ie,Postbusdient3060,2130Hoofd‑uitgavein bloemlezingen,readersen andereencompilatiewerken(artikel16 Auteurswet)menzichKBte wendendorp,Voor hetovernemeneen gedeelte vanOrganisatie,deze uitgavePostbusten behoevetot de www.cedar.nl/pro).Stichting PRO (StichtingPublicatie‑en vanReproductierechten3060, van2130commerciëleKB Hoofd‑doeleindendient men zichVoorte wendentot de uitgever.dorp,www.cedar.nl/pro).het overnemenvan een gedeelte van deze uitgave ten behoeve van commerciëledoeleinden dient men zich te wenden tot de uitgever.Hoewel aan de totstandkoming van deze uitgave de uiterste zorg is besteed, kan voor de afwezigheid van eventu‑ele(druk)foutenen onvolledighedenniet uitgavewordendeingestaanaanvaardenauteur(s),en uitgeverHoewelaan de totstandkomingvan dezeuiterste enzorgis besteed,dekanvoor deredacteur(en)afwezigheid vaneventu‑deswegegeen aansprakelijkheidvoornietde gevolgenvan eventueelvoorkomendefouten enonvolledigheden.ele(druk)foutenen onvolledighedenworden ingestaanen aanvaardende auteur(s),redacteur(en)en uitgeverdeswege geen aansprakelijkheid voor de gevolgen van eventueel voorkomende fouten en onvolledigheden.All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted inanyform orby any means,mechanical,withoutpublisher’sAll rightsreserved.No partelectronic,of this publicationmayphotocopying,be reproduced,recordingstored inora otherwise,retrieval system,orthetransmittedinpriorformconsent.anyor by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the publisher’sprior consent.While every effort has been made to ensure the reliability of the information presented in this publication, dhereinnor anteeshasbeenbeenmademadeensurethereliabilityof theinformationpresentedin thispublication,While everyefforthastotoensurereliabilityof theinformationpresentedin thispublication,omissionsorneithertheir guaranteesconsequences.BIM adatacontainedcontainedhereinhereinnornor acceptsaccepts responsibilityresponsibility for errors orUitgeversneitherconseguences.omissions or their consequences.
VoorwoordDe delen 1 en 2 van Wiskunde voor het Hoger Technisch Onderwijs vormen een compactewiskundemethode voor het hoger technisch onderwijs.Keuze van de stof in deel 1De ervaringen van de afgelopen jaren leren dat studenten nog altijd een zeer uiteenlopendeen doorgaans onvoldoende basiskennis van de wiskunde bezitten. Vooral op het gebied vande algebra zijn er veel hiaten. De redenen hiervoor zijn onder andere: d e veranderde wijze waarop het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs wordt onder‑wezen; de verminderde interesse voor het vak wiskunde als examenvak in de hogere klassen vanhet voortgezet onderwijs.Een naadloze overgang van het voortgezet onderwijs naar het hoger onderwijs is daaromzonder extra hulp voor het vak wiskunde vaak erg moeilijk. Dit eerste deel van Wiskundevoor het Hoger Technisch Onderwijs biedt deze benodigde hulp door bepaalde gebiedenvan de elementaire wiskunde te behandelen, en slaat op die manier een brug tussen hetvoortgezet en het hoger onderwijs. Deze opzet heeft zich in de voorgaande jaren bewezen.In dit eerste deel komen de volgende onderwerpen aan de orde: a lgemene grondslagen (onder andere vergelijkingen en ongelijkheden, stelsels van line‑aire vergelijkingen, het binomium van Newton); vectoralgebra (eerst in het platte vlak en daarna in de driedimensionale ruimte); functies en krommen (als fundament voor de differentiaal‑ en integraalrekening); differentiaalrekening (met talrijke voorbeelden uit natuurwetenschap en techniek); integraalrekening; oneindige reeksen en Taylorreeksen; complexe getallen en functies.Benadering van de stofDe keuze van de leerstof is gebaseerd op de volgende overwegingen: h oewel wiskundige methoden in de technisch-wetenschappelijk disciplines een belang‑rijke rol spelen, zijn het in de eerste plaats (onmisbare) hulpmiddelen; vanwege veranderingen in het voortgezet en hoger onderwijs de toelatingseisen en dedaarmee gepaard gaande hiaten in de kennis, mag de student niet ‘overvoerd’ worden.Daarom wordt de wiskunde op een eenvoudige, aanschouwelijke en gemakkelijk te be‑grijpen manier gepresenteerd. Begrippen, relaties, stellingen en formules worden verdui‑delijkt door talloze voorbeelden uit natuurwetenschap en techniek, en aan de hand van eengroot aantal illustraties.
viVoorwoordDe oefenopgaven aan het eind van elk hoofdstuk (gerangschikt naar paragraaf) vormeneen belangrijk bestanddeel van deze methode. De oplossingen, vaak van uitvoerig com‑mentaar voorzien, zijn opgenomen in de bijlage en stellen studenten in staat hun uitwer‑kingen te controleren.De illustraties zijn verder verbeterd en maken de voorbeelden nog duidelijker. Dit geldtvooral voor de vele extra voorbeelden in het hoofdstuk over machtreeksen.Notatie en typografieOnderdelen die centraal staan, zoals definities, stellingen, formules, samenvattingen envoorbeelden zijn op een speciale manier weergegeven: d efinities, stellingen, formules, tabellen en samenvattingen zijn omkaderd en van eengrijze achtergrond voorzien; begin en einde van een voorbeeld worden aangegeven met een blokje Bij afbeeldingen van vlakken en ruimtelijke lichamen zijn verschillende grijstinten ge‑bruikt om een duidelijke indruk te geven.Over het gebruik van wiskunde-softwareZowel in het hoger onderwijs als in de praktijk wordt steeds vaker software zoals Matlab,Maple, Mathcad of Mathematica ingezet voor de wiskundige oplossing van technischwetenschappelijke problemen. Dergelijke programma’s kunnen voor studenten een nuttigen zinvol hulpmiddel zijn, bijvoorbeeld als controle achteraf van met de hand gemaakteoplossingen van de oefenopgaven. De meeste opgaven in dit leerboek kunnen op deze ma‑nier probleemloos worden opgelost.Wijzigingen ten opzichte van de vorige drukDeze nieuwe druk is geheel herzien en uitgebreid. Nieuw in dit deel is het hoofdstuk overcomplexe getallen en functies, dit bevond zich eerst in deel 2.Den Haag, voorjaar 2011De uitgever
Inhoud1 Algemene grondbegrippen 11.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 11.1.1 Definitie en beschrijving van een verzameling 11.1.2 Operaties op verzamelingen 31.2 De verzameling van de reële getallen R 51.2.1 De reële getallen en hun eigenschappen 51.2.2 Ordening van getallen, ongelijkheid, absolute waarde 61.2.3 Deelverzamelingen en intervallen 71.3 Vergelijkingen 81.3.1 Lineaire vergelijkingen 91.3.2 Tweedegraads vergelijkingen 91.3.3 Vergelijkingen van de derde en hogere graad 101.3.4 Wortelvergelijkingen 121.3.5 Modulusvergelijkingen 131.4 Ongelijkheden 181.5 Stelsels lineaire vergelijkingen 211.5.1 Een voorbeeld als inleiding 211.5.2 De eliminatiemethode van Gauss 241.5.3 Een voorbeeld van een toepassing: de berekening van een elektrischnetwerk 331.6 Het binomium van Newton 341.7 Opgaven 382 Vectoralgebra 2.1 Basisbegrippen 2.1.1 Definitie van een vector 2.1.2 Gelijkheid van vectoren 2.1.3 Parallelle, anti-parallelle en collineaire vectoren 2.1.4 Vectoroperaties 2.2 Rekenen met vectoren in het platte vlak 2.2.1 Het ontbinden van een vector in componenten 2.2.2 Vectoroperaties 2.2.3 Het inwendig product van twee vectoren 2.2.4 Lineair onafhankelijke vectoren 2.2.5 Een voorbeeld van een toepassing: de resultante van een in een vlakwerkend krachtensysteem 2.3 Rekenen met vectoren in de 3-dimensionale ruimte 2.3.1 Het ontbinden van een vector in componenten 2.3.2 Vectoroperaties 2.3.3 Het inwendig product van twee vectoren 2.3.4 Het uitwendig product (of uitproduct) van twee vectoren 4343434445465151555863656768717584
viii2.42.5Inhoud2.3.5 Blokproduct 2.3.6 Lineair onafhankelijke vectoren Toepassingen in de meetkunde 2.4.1 De vectorvoorstelling van een lijn 2.4.2 Vectorvoorstelling van een vlak Opgaven 3 Functies en krommen 3.1 Definitie en voorstelling van een functie 3.1.1 Definitie van een functie 3.1.2 Voorstelling van een functie 3.2 Eigenschappen van functies 3.2.1 Nulpunten 3.2.2 Symmetrie 3.2.3 Monotonie 3.2.4 Periodiciteit 3.2.5 Inverse functies 3.3 Coördinatentransformaties 3.3.1 Een voorbeeld als inleiding 3.3.2 Translatie van een cartesisch coördinatenstelsel 3.3.3 De transformatie van cartesische coördinaten in poolcoördinaten 3.4 Limiet en continuïteit van een functie 3.4.1 Rijen reële getallen 3.4.2 Limiet van een functie 3.4.3 Continuïteit van een functie 3.4.4 Discontinuïteiten (gaten, polen, sprongen) 3.5 Polynoomfuncties (veeltermen) 3.5.1 Definitie van een polynoomfunctie 3.5.2 Constante en lineaire functies 3.5.3 Tweedegraads functies 3.5.4 Polynoomfuncties van een hogere graad 3.5.5 Het Hornerschema en het berekenen van de nulpunten vaneen polynoom 3.5.6 Interpolatie met polynomen 3.5.7 Een toepassingsvoorbeeld: buigingslijn (elastische lijn) van een balk 3.6 Gebroken rationale functies 3.6.1 Definitie van een gebroken rationale functie 3.6.2 Nulpunten, polen, ‘gaten’ in het domein 3.6.3 Het asymptotisch gedrag van een rationale functie als x oneindiggroot wordt 3.6.4 Een toepassing: de capaciteit van een bolcondensator 3.7 Machtsfuncties en wortelfuncties 3.7.1 Machtsfuncties met gehele exponenten 3.7.2 Wortelfuncties 3.7.3 Machtsfuncties met rationale exponenten 3.7.4 Toepassingsvoorbeeld: de versnelling van een elektron in eenelektrisch veld 3204209212213213215217219
ixInhoud3.83.93.103.113.123.133.14Vergelijkingen van kegelsneden 3.8.1 Weergave van een kegelsnede door een algebraïsche vergelijkingvan de tweede graad met constante coëfficiënten 3.8.2 De cirkel 3.8.3 De ellips 3.8.4 De hyperbool 3.8.5 De parabool 3.8.6 Voorbeelden van kegelsneden Goniometrische functies 3.9.1 Basisbegrippen 3.9.2 Sinus‑ en cosinusfunctie 3.9.3 Tangens‑ en cotangensfunctie 3.9.4 Belangrijke relaties tussen de goniometrische functies 3.9.5 Toepassingen Cyclometrische functies 3.10.1 Het inverteren van de goniometrische functies 3.10.2 De functie arcsinus 3.10.3 De functie arccosinus 3.10.4 De functies arctangens en arccotangens 3.10.5 Goniometrische vergelijkingen Exponentiële functies 3.11.1 Basisbegrippen 3.11.2 Definitie en eigenschappen van exponentiële functies 3.11.3 Speciale functietypen die vaak toegepast worden Logaritmische functies 3.12.1 Basisbegrippen 3.12.2 Definitie en eigenschappen van logaritmische functies 3.12.3 Exponentiële en logaritmische vergelijkingen Hyperbolische functies en inverse hyperbolische functies 3.13.1 Hyperbolische functies 3.13.2 Areafuncties Opgaven 4 Differentiaalrekening 4.1 Differentieerbaarheid van een functie 4.1.1 Het probleem van de raaklijn aan een kromme 4.1.2 De afgeleide van een functie 4.1.3 De afgeleiden van de elementaire functies 4.2 Regels voor het differentiëren 4.2.1 De factorregel 4.2.2 De somregel 4.2.3 De productregel 4.2.4 De quotiëntregel 4.2.5 De kettingregel 4.2.6 Combinatie van meerdere regels voor het differentiëren 4.2.7 Logaritmisch differentiëren 07308311314314315316318319325326
xInhoud4.34.2.8 De afgeleide van een inverse functie 3284.2.9 Het differentiëren van impliciete functies 3294.2.10 De differentiaal van een functie 3314.2.11 Hogere afgeleiden 3334.2.12 De afgeleide van een functie (kromme) in parametervoorstelling 3344.2.13 De afgeleide van een in poolcoördinaten gegeven functie (kromme) 3374.2.14 Eenvoudige voorbeelden van toepassingen in de natuurkunde en detechniek 342Toepassingen van de differentiaalrekening 3464.3.1 Raaklijnen en normalen 3464.3.2 Linearisering van een functie 3484.3.3 Monotonie en kromming van een grafiek (kromme) 3514.3.4 Karakteristieke punten van een kromme 3604.3.5 Extreembepalingen 3724.3.6 Onderzoek van krommen 3774.3.7 Het oplossen van een vergelijking met de benaderingsmethode vanNewton-Raphson 3834.4Opgaven 3915 Integraalrekening 3995.1 Integreren als inverse operatie van differentiëren 3995.2 Het bepalen van een oppervlakte: de bepaalde integraal 4025.2.1 Het probleem van het bepalen van een oppervlakte (een voorbeeld) 4035.2.2 De bepaalde integraal 4065.3 De onbepaalde integraal en de oppervlaktefunctie 4125.4 De hoofdstelling van de differentiaal‑ en integraalrekening 4155.5 Stamintegralen 4185.6 Het berekenen van een bepaalde integraal met een primitieve functie 4205.7 Elementaire integratieregels 4235.8 Integratiemethoden 4265.8.1 De substitutiemethode 4265.8.2 Partiële integratie 4345.8.3 Integreren van gebroken rationale functies door middel vanbreuksplitsing 4405.8.4 Numerieke integratiemethoden 4465.9 Oneigenlijke integralen 4575.9.1 Oneindig integratie-interval 4585.9.2 Integrand met oneindige functiewaarde (pool) 4615.10 Toepassingen 4655.10.1 Eenvoudige voorbeelden uit de natuurkunde en de techniek 4655.10.2 Oppervlakte 4705.10.3 Volume van een omwentelingslichaam 4805.10.4 Booglengte van een vlakke kromme 4865.10.5 Oppervlakte van een omwentelingslichaam(omwentelingsoppervlakken) 4885.10.6 Arbeid en energie 493
Inhoud5.10.7 Lineaire en kwadratische gemiddelden 5.10.8 Het zwaartepunt van homogene vlakken en lichamen 5.10.9 Massatraagheidsmomenten 5.11 Opgaven xi4985035155256 Oneindige reeksen, machtreeksen en Taylorreeksen 6.1 Oneindige reeksen 6.1.1 Een voorbeeld als inleiding 6.1.2 Basisbegrippen 6.1.3 Convergentiecriteria 6.1.4 Eigenschappen van convergente resp. absoluut convergente reeksen 6.2 Machtreeksen 6.2.1 Definitie van een machtreeks 6.2.2 Convergentiegedrag van een machtreeks 6.2.3 Eigenschappen van machtreeksen 6.3 Taylorreeksen 6.3.1 Een voorbeeld als inleiding 6.3.2 Machtreeksontwikkeling van een functie 6.3.3 Toepassingen 6.3.4 Een voorbeeld van een toepassing: vrije val waarbij rekening wordtgehouden met de luchtweerstand 6.4 Opgaven 5895917 Complexe getallen en functies 7.1 Definitie en weergave van een complex getal 7.1.1 Definitie van een complex getal 7.1.2 Het complexe vlak 7.1.3 Verdere basisbegrippen 7.1.4 Voorstelling van een complex getal 7.2 Complex rekenen 7.2.1 De vier basisbewerkingen voor complexe getallen 7.2.2 Machtsverheffen 7.2.3 Worteltrekken 7.2.4 De natuurlijke logaritme 7.3 Toepassingen van de complexe rekenwijze 7.3.1 Symbolische voorstelling van trillingen in een wijzerdiagram 7.3.2 Symbolische berekening van een wisselstroomkring 7.4 Plaatskrommen in het complexe vlak 7.4.1 Een inleidend voorbeeld 7.4.2 De baan van een parameterafhankelijke complexe grootheid 7.4.3 Toepassingsvoorbeelden: eenvoudige netwerkfuncties 7.4.4 Inversie van een plaatskromme 7.5 Opgaven 6658660667Register 673535535535537542551553553554559560560562571
xiiAppendix A: Oplossingen van de opgavenBeschikbaar via www.academicservice.nlA.1 Algemene grondbegrippen A.2 Vectoralgebra A.3 Functies en krommen A.4 Differentiaalrekening A.5 Integraalrekening A.6 Oneindige reeksen, machtreeksen en Taylorreeksen A.7 Complexe getallen en functies Inhouda1a7a17a32a40a57a69
1 Algemene grondbegrippen1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer1.1.1 Definitie en beschrijving van een verzamelingDefinitie: Een verzameling is een geheel van aparte onderdelen, die men elementennoemt.We kunnen een verzameling beschrijven door haar eigenschappen op te noemen:M {x x heeft de eigenschappen E1, E2, ., En} (1-1)Een andere mogelijkheid is het opnoemen van de elementen:M {a1, a2, ., an} Eindige verzameling (1-2)M {a, b, c, .} Oneindige verzameling (1-3)a1, a2, ., an resp. a, b, c, . zijn de elementen van de verzameling. De volgorde waarin deafzonderlijke elementen worden genoemd, speelt hierbij geen rol. De elementen verschillen telkens paarsgewijs van elkaar, zodat elk element dus slechts eenmaal kan voorkomen. Voorbeelden(1) M1 {x x is een reëel getal en is wortel van de vergelijking x2 1} {– 1, 1}(2) M2 {x x is een natuurlijk getal waarvoor geldt – 2 x 4} {1, 2, 3, 4}(3) M3 {x x is een geheel getal waarvoor geldt x2 16}.Deze verzameling bestaat uit de getallen – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3. We kunnen dezeverzameling dus als volgt beschrijven:M3 {– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3}(4) De verzameling van natuurlijke getallen:N {1, 2, 3, .} Als een element a tot een verzameling A behoort, dan schrijven we:a A : a is een element van
Dit eerste deel van Wiskunde voor het Hoger Technisch Onderwijs biedt deze benodigde hulp door bepaalde gebieden van de elementaire wiskunde te behandelen, en slaat op die manier een brug tussen het voortgezet en het hoger onderwijs. Deze opzet heeft zich in de voorgaande jaren bewezen.
De serie Wiskunde voor het hoger onderwijs De nieuwe serie Wiskunde voor het hoger onderwijs is opgebouwd uit de delen A en B. Deel A is bestemd voor de overgang van havo/mbo naar het hbo en bevat elementaire wiskundige kennis en vaardigheden die nodig zijn om met succes aan een studie op het hbo te beginnen. Deel B biedt, naast een uitbreiding .
het totaal aantal hoger onderwijsdiploma’s, dan zien we een lichte daling van 20,5 % in 2001-2002 tot 19% in 2008-2009. De conclusie luidt dus dat het aantal STEM gediplomeerden in het hoger onderwijs het laatste decennium toeneemt. De stijging van het aantal STEM gediplomeerden in het hoger onderwijs is een
Peiling wiskunde 2018 s.o. 1A 2 wiskundige docent wiskunde in het hoger onderwijs serviceonderwijs wiskunde in economische en biomedische bacheloropleidingen vakdidactiek wiskunde in lerarenopleiding voor masters betrokken bij de peiling feedback bij het opstellen van de toetsen deelgenomen aan het resonantiegesprek met leerlingen,
HOGER ONDERWIJS Het hoger onderwijs omvat het ‘hoger beroepsonderwijs (hbo)’ en het ‘wetenschappelijk onderwijs (wo)’. Aan een universiteit staat de wetenschap centraal, aan een hbo-school worden studenten voor een hoger beroep opgeleid. Om tot een universiteit toegelaten te worden, moet men een vwo-diploma hebben, voor
Voor je ligt het Examenreglement voor het schooljaar 2018-2019 voor het vmbo. Het eindexamen voor het vmbo begint in het derde leerjaar. Het eindexamen bestaat uit een schoolexamen (SE), een rekentoets en een centraal examen (CE). In dit document vind je het examenreglement dat onze Scholengroep hanteert bij het afnemen van het eindexamen.
Wiskunde voor bedrijfseconomen is bestemd voor gebruik bij het vak wiskunde in het universitair economisch onderwijs. Dit boek brengt de economiestudent niet alleen wiskunde bij als basiskennis, maar laat ook toepassingen zien. Onderwerpen als consumentengedrag, voorraadmanagement, optimalisatie portfolioselectie worden vanuit een
voor taal (Inspectie van het Onderwijs, 2007b) en één voor rekenen-wiskunde. Het voorliggende rapport betreft het onderzoek naar rekenen-wiskunde. De drie centrale vragen van het onderzoeksprogramma voor 2007 zijn als volgt geformuleerd: 1. Hoe presteren Nederlandse scholen voor basisonderwijs, voortgezet onderwijs
Russian words in English. Version 4.0 December 2011 English-Russian phrases for trips to Belarus (Russia) compiled by Andrei Burdenkov, a certified Minsk guide a@minskguide.travel 2 Common Russian phrases. Numerals Russian phrase Say it in Russian English translation 0 – ноль nol' zero 1 – один Odin one 2 – два Dva two 3 – три Tri three
