Valeurs En De Fonctions - Home ICM

ACTA ARITHMETICALXXVIII.4 (1997)Valeurs en s 1 de fonctions LparMichel Pestour (Grenoble)0. Introduction. Soit k un corps de nombre, totalement réel, de degréd 2, d’anneau des entiers Ok . Soit K une extension abélienne de degré nde k de conducteur C. On note : kC l’ensemble des éléments α de k qui sont totalement positifs et congrus à 1 modulo C, IC le groupe des idéaux fractionnaires de k qui sont premiers avec C, PC le sous-groupe de IC formé des idéaux principaux de la forme αOkavec α kC .D’après la théorie du corps de classes la restriction ω de l’applicationd’Artin à IC est surjective et son noyau est PC NkK (C) où NkK (C) désigne lesous-groupe des normes des idéaux fractionnaires de K. (NkK (C) {NkK (B)où B est un idéal fractionnaire de K premier avec COK }.) On a doncIC /PC NkK (C) ' Gal(K/k). Soit alors χe un caractère de Gal(K/k) G.χe induit un caractère χ χe ω sur IC :ω̃/ Gal(K/k)IC V sV V/ IC /PC NkK (C) V VV Vχ̃χ V V VV V²V C(où s désigne la surjection canonique et ωe s ω) qui permet de définir lafonctionXχ(a)LC (s, χ) pour Re s 1N (a)sa idéal entier de ka premier à C(où l’on a posé N (a) NQk (a)).Notons que l’on peut prolonger le caractère χ à l’ensemble des idéauxnon nuls de k en posant pour tout idéal P premier de Ok : χ(P ) 0 si le groupe d’inertie IP de P n’est pas inclus dans le noyauKer χ de χ,[367]

368M. Pestour χ(P ) χe(σ) si IP Ker χ où σ est un élément de Gal(K/k) dontla restriction au corps K(χ) {x K : σ(x) x, σ Ker χ} estl’automorphisme de Frobenius (P, K(χ)/k), ce qui permet de poserXL(s, χ) a idéal entiernon nul de kOn a alors YL(s, χ) LC (s, χ)χ(a)NQk (a)sP idéal entierpremier de ktel que P Cpour Re s 1.11 χ(P )/N (P )s pour Re s 1et on sait que L(s, χ) se prolonge en une fonction entière si χ est distinct ducaractère trivial .En particulier, Y1L(1, χ) LC (1, χ).1 χ(P )/N (P )P idéal entierpremier de ktel que P CLe problème de l’évaluation de L(1, χ) fut étudié initialement par Kronecker qui détermina une expression du second terme du développement deLaurent au voisinage de s 1 de la fonction ζk d’un corps de nombres kquadratique imaginaire expression dans laquelle la fonction ln η(z) avecπiz/12η(z) e Y(1 e2πinz )(z C, Im z 0)n 1joue un rôle fondamental. De la formule obtenue, appelée formule limite deKronecker , résulte aisément l’expression de L(1, χ) (cf. [Si] par exemple).Le cas où k est un corps quadratique réel fut étudié en 1917 (près d’undemi-siècle plus tard) par Hecke, l’existence d’unités de k d’ordre infini rendant le problème plus délicat, la fonction ln η(z) intervenant toujours maisde façon moins satisfaisante. Ce cas fut repris par Meyer en 1957 dans untravail dont certaines remarques ont été interprétées en termes de fractionscontinues par Zagier en 1975 (cf. [Z]). Dans son travail, la formule limite deKronecker obtenue par Zagier s’exprime à l’aide de valeurs particulières dela fonction \ 11F (x) ln(1 e xt ) dt (x 0) (cf. [Z], p. 164). t1 et0

Valeurs en s 1 de fonctions L369En 1980, Novikov mena une étude analogue (cf. [N]) en introduisant lafonction\ ln(1 tx e2πiα )1%(x, α, β) 0e 2πiβ tdt(x 0, β 6 Z)et obtint une formule limite de Kronecker s’exprimant à l’aide de certainesvaleurs relativement compliquées, prises par cette fonction %, valeurs quirendent l’expression obtenue difficile à expliciter (cf. [N], théorème 2, p. 167).Entre-temps, Shintani en 1977 avait obtenu une formule limite de Kronecker où un rôle fondamental était joué par le logarithme de la fonctiongamma double de Barnes (cf. [S1], théorème 1, p. 184).Dans ce Ptravail on reprend, en l’adaptant au cas de LC (s, χ) avec χ 6 1(la relation σ G χe(σ) 0 jouant un rôle essentiel), un travail (cf. [C]) oùColmez exprime la fonction zêta d’un corps de nombre comme la transforméede Mellin en d variables d’une fonction rationnelle en ez , à l’aide d’unevariante effective de la méthode de Shintani. On obtient ainsi une formulegénérale valable pour d quelconque. On donne ensuite, dans le cas où d 2,deux expressions de L(1, χ) qui sont à rapprocher de celles obtenues dans[N] et [Z]. La bibliographie donne des références d’articles présentant desrésultats reliés aux nôtres ou utilisés dans le détail des calculs.1. Décomposition de Shintani. Variante effective de Colmez Soient Ok le groupe multiplicatif des unités de Ok (Ok ' { 1} Zd 1 )et UC le sous-groupe de Ok formé des unités de k totalement positives etcongrues à 1 modulo C. Soit τ1 , . . . , τd les d plongements de k dans R. L’applicationτ : k Rd ,x 7 (τ1 (x), . . . , τd (x)),permet d’identifier k avec une Q-sous-algèbre de Rd .Colmez a prouvé dans [C] l’existence de ε1 , . . . , εd 1 UC vérifiant :(i) le groupe multiplicatif V engendré par ε1 , . . . , εd 1 est discret et librede rang d 1,(ii) si pour σ Sd 1 (groupe symétrique d’ordre d 1) on posef1,σ 1etfi,σ i 1Yεσ(j) i 2, . . . , d 1,j 1alors σ det(f1,σ , . . . , fd,σ ) a le même signe que la signature ε(σ) de lapermutation σ, pour tout σ Sd 1 .

370M. PestourDe plus, si l’on pose pour toute partie J non vide de {1, . . . , d} et pourtout σ Sd 1nXoCσ,J λj fj,σ avec λj R j J ,j Jalorsa(R )d /V Cσ,J(σ,J) Soù S désigne un système de représentants fixé de l’ensemble des couples(σ, J) muni de la relation d’équivalence : (σ, J) (σ 0 , J 0 ) si et seulement s’ilexiste v V tel que Cσ,J vCσ0 ,J 0 .Notons alors, pour tout idéal a de Ok ,Dσ,J,a Dσ,J (1 Ca 1 )avecnoXDσ,J y Cσ,J : y xj cfj,σ avec 0 xj 1 j Jj J(c étant le générateur positif de l’idéal C Z). Dσ,J,a est un ensemble fini.Posons de plus, pour z (R )d ,Y1Fy,σ,J (z) e Tr(yz) c Tr(fj,σ z)1 ej JetFaq ,σ (z) XXFy,σ,J (z)0 y DJ Sσσ,J,aqoù Sσ0 désigne l’ensemble des parties J de {1, . . . , d} telles que (σ, J) S etPdTr(x) j 1 τj (x) pour x k. Alors, si hC Card IC /PC et si a1 , . . . , ahCdésigne un système de représentants de IC /PC on a si Re s 1,hCXχ(aq )11LC (s, χ) ··s [U : V ] Γ (s)dN(a)qCq 1X\Faq ,σ (z)σ Sd 1 (R )ddY(zis 1 dzi ).i 1À partir de cette expression, pour déterminer la valeur en 1 de LC (s, χ) onexplicite un prolongement holomorphe à {s C : Re s 1 1/d} de lafonction h définie parhCXχ(aq )11··h(s) sN (aq ) [UC : V ] Γ (s)dq 1XX\σ Sd 1 y Dσ,aq (R )dFy,σ (z)dY(zis 1 dzi )i 1pour Re s 1 (où l’on a posé, pour alléger les notations, Dσ,aq Dσ,aq ,{1,.,d}et Fy,σ Fy,σ,{1,.,d} ).

Valeurs en s 1 de fonctions L371En reprenant le travail effectué par Colmez dans [C] (lemme 3.3, pp. 377–378) on obtient pour Re s 1 1/d et s 6 1,111·(1)h(s) ·f (s)d[UC : V ] Γ (s) d(s 1)avechCXχ(aq )f (s) N (aq )sq 1dX XX \σ Sd 1 y Dσ,aq i 1 (R )ddd Y Y Φi,y,σd(s 1)s 1(u)ujuidui uij 1i 1j6 ioù, si l’on poseLi (y, u) (y1 u1 . . . yi 1 ui 1 yi yi 1 ui 1 . . . yd ud )ui(avec u (u1 , . . . , ud ) Rd et yi τi (y) pour i 1, . . . , d et y Ok ), Φi,y,σest définie parΦi,y,σ (u) Li (y,u) ed Yj 1 uiLi (fj,σ , u)·ψi (u1 , . . . , ui 1 , 1, ui 1 , . . . , ud )1 e cLi (fj,σ ,u) Li (fj,σ , u)pour i 1, . . . , d, ψ1 , . . . , ψd étant des fonctions C sur (R )d \{0} vérifiantPd(i) i 1 ψi (u) 1 u (R )d \ {0},(ii) ψi (u) 0 s’il existe j 6 i tel que uj 2ui ,(iii) ψi (λu) ψi (u) pour tous λ 0, u (R )d \ {0} et i 1, . . . , d.Les fonctions Φi,y,σ présentent l’avantage d’être C sur (R )d et àdécroissance rapide à l’infini.En notant alors que si χ 6 1, 0XK σσf (1) hC si χ 1, N (C) Dkσ Sd 1avecKσ dX\i 1 (R )d 1d ψi (u1 , . . . , ui 1 , 1, ui 1 , . . . , ud ) d YuduQdjicd j 1 Li (fj,σ , u)j 1j6 i(Dk désignant la valeur absolue du discriminant du corps k) et en utilisantPhCla relation q 1χ(aq ) 0 si χ 6 1, on obtienth(1) f 0 (1)d[UC : V ]

372M. Pestouroù, en notant pi (u) u1 . . . ui 1 udi ui 1 . . . ud si u (u1 , . . . , ud ),0f (1) hCXχ(aq ) ln N (aq ) Xq 1 N (aq )\dX Xσ Sd 1 y Dσ,aq i 1 (R )dhCXχ(aq ) XN (aq )q 1\dX Xσ Sd 1 y Dσ,aq i 1 (R )ddY Φi,y,σ(u)duj uij 1dY Φi,y,σ(u) ln pi (u)duj . uij 1On a de plushCXχ(aq ) XN (aq )q 1\dX Xσ Sd 1 y Dσ,aq i 1 (R )ddY Φi,y,σ(u) ln(u1 . . . udi . . . ud )duj uij 1hCXχ(aq ) XN (aq )q 1dX XhCXXχ(aq )ln N (aq )N (aq )q 1dX X d\σ Sd 1 y Dσ,aq i 1 (R )det \σ Sd 1 y Dσ,aq i 1 (R )d Φi,y,σ(u) ln ui du1 . . . dud uidY Φi,y,σ(u)duj uij 1hCXXχ(aq )ln N (aq )Kσ Card(Dσ,aq )N (aq )q 1σ Sd 1 hChXiχ(aq ) ln N (aq ) ·q 1dR(V ) N (C) Dk(en notant R(V ) le régulateur de V ).En récapitulant, on en déduit une première expression de LC (1, χ) :Théorème 1.LC (1, χ) hCXXχ(aq )1·N (aq ) [UC : V ]q 1σ Sd 1XX\0J Sσy Dσ,J,aq(R )dFy,σ,J (u)dYdujj 1J6 {1,.,d} hCXχ(aq )(ln N (aq ))R(V ) [UC : V ]N (C) Dkq 1hCX1χ(aq ) X [UC : V ] q 1 N (aq )dX X\σ Sd 1 y Dσ,aq i 1 (R )ddY Φi,y,σ(u) ln uiduj . uij 1

Valeurs en s 1 de fonctions L373On reprend ensuite à l’envers la transformation de Colmez permettantde passer des fonctions Fy,σ aux fonctions Φi,y,σ (cf. [C], pp. 377–378) enPhCexploitant à nouveau la relation q 1χ(aq ) 0. On fait successivementune intégration par parties, puis un changement de variables permettantd’éliminer les fonctions ψi . On obtient alors, en posant fk,σ (τk (f1,σ ), . . . , τk (fd,σ )) k 1, . . . , d, et en désignant par Γσ Γσ (f1,σ, . . . , fd,σ) le cône ouvert formé des points dz (z1 , . . . , zd ) (R ) tels que pour tout k 1, . . . , d, ε(σ) det(f1,σ, . . . , fk 1,σ, z, fk 1,σ, . . . , fd,σ) 0,une seconde expression de LC (1, χ).Théorème 2.LC (1, χ) hCXq 1Xχ(aq )[UC : V ]N (aq )Xσ Sd 1\XFy,σ,J (u)0y Dσ,J,aq (R )dJ SσJ6 {1,.,d}dYdukk 1hCXχ(aq )(ln N (aq ))R(V ) [U:V]N(C)DkCq 1X ε(σ)1 [UC : V ]cd σσ Sd 1\ΓσhCXχ(aq )N (aq )q 1X(x1 ,.,xd ) D̂σ,aqdYe xj zjdzj1 e zjj 1b σ,a désignant l’ensemble des d-uplets (x1 , . . . , xd ) ]0, 1]d tel que(DPd qj 1 xj cfj,σ Dσ,aq ).2. Le cas d 2. Dans le cas d 2, Sd 1 {Id} et la somme sur lesparties J de {1, . . . , d} distinctes de {1, . . . , d}, intervenant dans l’expressiondu théorème 2, est réduite à J {1} modulo la relation d’équivalence (de sorte que l’on peut supprimer l’indice σ).On choisit en outre un système particulier de représentants de IC /PCformé d’idéaux premiers de P1 , . . . , PhC dont la norme est un nombre premier. Un tel système de représentants existe d’après un théorème de Tcheb {1},Pbotareff, ce qui permet de décrire explicitement les ensembles finis Dqb P pour tout q 1, . . . , hC . De façon plus précise, on introduit uneet Dqbase (e1 , eq2 ) de CPq 1 telle que pour tout q 1, . . . , hC , cf1 e1 et cf2 uPq e1 vPq eq2 . On obtient alors :Lemme 1. Pour tout q 1, . . . , hC ,D{1},Pq {1},

374M. PestourbP Dq x1 ]0, 1]2 :x2 muPqm1x1 x1 (m) θ , x2 x2 (m) , m 1, . . . , vPq ,v PqcvPqen posant θ(x) E(x) x 1 1 {x} pour x R et vPq N (Pq )c2 .N (C) DkD’où l’on déduit :Théorème 3.LC (1, χ)hChCXXχ(Pq )ζ(2, 1/c)χ(Pq )(ln N (Pq ))R(V ) 2N (Pq )c [UC : V ] q 1 N (C) Dk [UC : V ]q 11 [UC : V ]\hCXΓa q 1χ(Pq ) N (C) Dk vPqXbPq(x1 ,x2 ) De x1 z1 e x2 z2dz1 dz2(1 e z1 )(1 e z2 )hChCXXχ(Pq )ζ(2, 1/c)χ(Pq )(ln N (Pq ))R(V ) 2N (Pq )c [UC : V ] q 1 N (C) Dk [UC : V ]q 11 [UC : V ]N (C) Dk\ΓavqPqhCXχ(Pq ) X e x1 (m)z1 e (m/vPq )z2dz1 dz2vPq m 1 (1 e z1 )(1 e z2 )q 1où ζ(x, b) désigne la fonction zêta d’Hurwitz et Γa {(z1 , z2 ) R :(1/a)z1 z2 az1 } si ε1 (1/a, a).Posons alors, pour s 1, . . . , vPq 1,\ Hs (x) ln(1 ζqs e xt )suPq01 ζqe tdt (x 0) où ζq e2πi/vPq .Théorème 4.hCXχ(Pq ) ln N (Pq ) ln a LC (1, χ) :][UVDk N (C)Cq 1 1 [UC : V ] Dk N (C)hCXq 1vPq 1χ(Pq )Xs 1\ e 2πis/cln(1 ζqs e az ) ln(1 ζqs e z/a )u Pq s01 ζqe zdz