MODUL MEDAN ELEKTROMAGNETIK II
MODULMEDAN ELEKTROMAGNETIK IIDi susun oleh:Dr. H. Jaja Kustidja, M.Sc.JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUANUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA20201
2
BAB IPENJALARAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIKBab I ini berisi sub pokok bahasan:1.1 Persamaan Gelombang Secara Umum1.2. Terjadinya Gelombang Elektromagnet1.2 Kecepatan gelombang EM dalam Vakum1.3 Solusi Persamaan Gelombang Datar Serba Sama Pada Medium Udara/Vakum1.4 Impedansi Intrinsik Dalam Udara/Vakum1.5 Ikhtisar1.1 PERSAMAAN GELOMBANG SECARA UMUMPemahaman yang baik terhadap propagasi gelombang EM sangat didukungolehpemahaman terhadap gelombang secara umum. Gelombang merupakan fungsi ruang danwaktu.Gerak gelombang terjadi jika terjadi gangguan pada suatu titik A pada waktu t0,berhubungan dengan apa yang terjadi pada titik B, pada waktut t0. Persamaangelombang adalah persamaan diferensial parsial orde kedua. Dalam satu dimensi,persamaan gelombang skalar berbentuk: 2𝐸 2𝐸2 𝑢(1.1) 𝑡 2 𝑧 2Dimana u adalah kecepatan gelombang, dan solusi persamaan (1.1) adalah:𝐸 𝑓 (𝑧 𝑢𝑡)(1.2a)𝐸 g(𝑧 𝑢𝑡)(1.2b)𝐸 𝑓 (𝑧 𝑢𝑡) g(𝑧 𝑢𝑡)(1.2c)Atau:Dimana f menyatakan fungsi dari z ut dan g fungsi dari z-ut.Contoh: sin 𝑘(𝑧 𝑢𝑡) ; cos 𝑘(𝑧 𝑢𝑡) dan 𝑒 𝑗𝑘(𝑧 𝑢𝑡) , dimana k adalah konstanta.Jika kita asumsikan gerak harmonik (sinusoidal) bergantung waktu 𝑒 𝑗𝜔𝑡 , persamaan(1.1) menjadi:𝑑 2 𝐸𝑠 𝛽 2 𝐸𝑠 0𝑑𝑧 2(1.3)3
Dimana 𝛽 𝜔/𝑢 dan 𝐸𝑠 adalah bentuk fasor dari E. Solusi persamaan (1.3) yangmungkin adalah:𝐸 𝐴𝑒 𝑗(𝜔𝑡 𝛽𝑧)(1.4a)𝐸 𝐵𝑒 𝑗(𝜔𝑡 𝛽𝑧)(1.4b)Dan𝐸 𝐴𝑒 𝑗(𝜔𝑡 𝛽𝑧) 𝐵𝑒 𝑗(𝜔𝑡 𝛽𝑧)(1.4c)Dimana A dan B adalah konstanta riil.Sekarang, kita ambil solusi dalam persamaan (1.4a).Dengan mengambilbagianimajiner dari persamaan ini, maka kita peroleh:(1.5)𝐸 𝐴 sin(𝜔𝑡 𝛽𝑧)yang merupakangelombang sinus yang dipilih untuk penyederhanaan; gelombangcosinus akan dihasilkan kita kita mengambil bagian riil persamaan (1.4a).Berikut ini adalah karakteristik gelombang dalam persmaan (1.5):1. Harmonik terhadap waktu, karena diasumsikan kebergantungan waktu 𝑒 𝑗𝜔𝑡pada persamaan (1.5)2. A adalah amplitudo gelombang dan memiliki satuan yang sama dengan E.3. (𝜔𝑡 𝛽𝑧) adalah fase gelombang (dalam radian), bergantung terhadap waktut dan variabel ruang z.4. 𝜔 adalah frekuensi sudut (dalam radian/sekon); β adalah konstanta fase ataubilangan gelombang (dalam radian/m)Karena E berubah-ubah terhadap waktu t dan variabel z, kita dapat memplot E sebagaifungsi t dengan mempertahankan z konstan dan demikian juga sebaliknya. PlotE(z,t konstan) diperlihatkan pada gambar 1.1a dan E(t,z konstan) pada gambar 1.1b.Dari gambar 1.1a kita dapat melihat bahwa gelombang berulang terhadap λ (panjanggelombang) dengan satuan meter. Sedangkan dari gambar 1.1b kita perhatikangelombang berulang terhadap T (periode) dengan satuan sekon. Karena diperlukan waktuT untuk gelombang menjalar dalam jarak λ pada laju u, maka:𝜆 𝑢𝑇(1.6a)Namun karena T 1/f, dimana f adalah frekuensi gelombang (jumlah putaran per sekon)dengan satuan hertz. Dengan demikian:4
Gambar 1.1 Plot 𝐸 (𝑧, 𝑡) 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 𝛽𝑡); (a) dengan t konstan,(b) dengan z konstan.Dengan adanya hubungan antara panjang gelombang dan frekuensi tersebut, maka kitadapat megidentifikasi posisi stasiun band radio dalam frekuensi atau panjang gelombang(meskipun biasanya dalam frekuensi).Karena diketahui :DanMaka dari persamaan (1.6) dan (1.7) diperoleh:5
Persamaan (1.8) menunjukkan bahwa setiap menempuh satu panjang gelombang makagelombang akan mengalami perubahan fase sebesar 2π radian.Persamaan (1.5) menyatakan gelombang yang menjalar dengan kecepatan u dalam arah z. Untuk membuktikan hal tersebut, ambil titik P pada gelombang. Sketsa persamaan(1.5) pada waktu 𝑡 0, 𝑇/4 dan 𝑇/2 diperlihatkan pada gambar 1.2. Dari gambartersebut nampak bahwa ketika waktu gelombang bertambah, maka titik P akan bergerakke arah z. Titik P adalah dengan fase konstan, oleh sebab itu 𝜔𝑡 𝛽𝑧 konstan.Atau:Yaitu sama dengan persmaan (1.7b). Persamaan (1.9) menunjukkan bahwa gelombangberpropagasi dengan kecepatan u dalam arah z. Sedangkan 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 𝛽𝑡) dalampersmaan (10.4b) menjalar dengan kecepatan u dalam arah –z.Gambar 1.2. Plot 𝐸 (𝑧, 𝑡) 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 𝛽𝑡) pada waktu (a) t 0, (b) 𝑡 𝑇/4 ,(c) 𝑡 𝑇/2; P bergerak sepanjang arah z dengan kecepatan u.6
Dari uraian di atas, dapat dibuat ringkasan sebagai berikut:1. Gelombang adalah fungsi waktu dan ruang.2. Meskipun kita pilih sembarang t 0 sebagai acuan, gelombang tidak bermuladan berakhir.3. Tanda negatif dalam (𝜔𝑡 𝛽𝑡) menyatakan gelombang berpropagasi dalamarah z (penjalaran ke depan atau gelombang dalam arah positif) sedangkantanda positif mengindikasikan gelombang berpropagasi dalam arah -z(mundur atau gelombang dalam arah negatif)4. Karena sin( 𝜓) sin 𝜓, sedangkan cos( 𝜓) 𝑐𝑜𝑠𝜓, maka:Dimana: 𝝍 ωt βz.Dengan menggunakan persamaan (1.10) maka setiap saatgelombang harrmonik dapat direpresentasikan dalam bentuk sinus atau cosines.1.2 Terjadinya Gelombang ElektromagnetGelombang Elektromagnet adalah gelombang yang terjadi akibat perubahan medanmagnet dan perubahan medan listrik terhadap waktu, yang menjalar ke segala arah. Halini terjadi akibat adanya perubahan salah satu medan baik listrik maupun magnetterhadap waktu.Sejumlah besar frekuensi divisualisasikan dalam urutan angka yang disebut sebagaispectrum. Tabel 1.1 memperlihatkan spektrum EM yang terjadi pada harga frekuensitertentu. Frekuensi yang dimanfaatkan untuk komunikasi radio terjadi di dekat ujungbawah spektrum EM. Semakin tinggi frekuensi, maka energi EM akan semakinberbahaya terhadap manusia. Misalnya oven gelombang mikro yang akan sangatberbahaya jika tidak terlindungi dengan baik. Semakin tinggi frekuensi, maka semakinsulitpemanfaatan energi EM untuk komunikasi sampai kemudian tidak dapatdimanfaatkan sama sekali. Dengan perkembangan teknologi komunikasi, batasmaksimum frekuensi yang dapat dimanfaatkannyapun semakin tinggi. Saat ini,7
komunikasi satelit memanfaatkan frekuensi sampai mendekati 14 GHz. Ini tentu sajamasih jauh di bawah frekuensi gelombang cahaya. Namun jika dibungkus dengan seratoptik maka cahaya itu sendiri dapat dimanfaatkan untuk komunikasi radio.Tabel 1.1 Spektrum ElektromagnetikFenomenaElektromagnetikSinar kosmikSinar GammaSinar-XRadiasi UltravioletCahaya TampakRadiasi InframerahGelombang MikroGelombang RadioContoh KegunaanJangkauan FrekuensiFisika, AstronomiTerapi kankerPemeriksaan sinar-XSterilisasiPenglihatan manusiaFotografiRadar, relay gelombangmikro, komunikasi satelitTV (UHF)TV (VHF), radio FMGelombang pendek radioRadio AM 1014 GHz1010-1013 GHz108-109 GHz106-108 GHz105-106 GHz103-104 GHz3-300 GHz470-806 MHz54-216 MHz3-26 MHz535-1605 MHzUntuk menjelaskan proses terjadinya gelombang EM kita tinjau hukum-hukumMaxwell untuk D dan B pada Tabel 1.2.Tabel 1.2. Empat perangkat Persamaan MaxwellBentuk DifferensialBentuk IntegralCatatanBentuk umum dari hukumCoulombyangdikenaldengan nama hukum Gaussyangmenghubungkanmedanlistrikdengansumbernya berupa muatantitik.Hukum Gauss untuk medanmagnet. Tidak ada muatanmagnetik yang terisolasi(tidak ada sumber monopolmagnet), garis medanmagnet selalu kontinu tidakberawal dan tidak berakhir.8
Hukum Faraday: Sebuahmedan listrik dihasilkanmelalui perubahan medanmagnetSebuahmedanmagnetdihasilkan oleh arus listrikatau melalui perubahanmedanlistrik.Bagianpertama ini ditemukan olehOersted dan persamaanmatematisnyadinyatakandengan hukum Ampere.Sedangkan bagian keduaadalah aspek baru yangdiprediksi Maxwell.Menurut Maxwell, jika medan listrik dapat dihasilkan melalui perubahan medan magnet,maka perubahan medan listrik dapat menghasilkan medan magnet. Ini adalah hipotesisMaxwell, yang didasari gagasan mengenai sifat simetri dalam alam. Ternyatapengaruhnya pada sebagian kasus sangat kecil sehingga tidak terdeteksi dalameksperimenJika perubahan medan magnet dapat menghasilkan medan listrik, maka medan listrikyang dihasilkan itu juga akan berubah-ubah. Perubahan medan listrik ini kembalimenghasilkan medan magnet yang juga berubah-ubah dan kembali menghasilkan medanlistrik dan seterusnya. Ternyata hasil akhir dari perubahan medan yang salingberinteraksi ini menghasilkan gelombang medan listrik dan medan magnet yang yangdapat merambat melalui ruang.Misalkan kita memiliki 2 batang konduktor yang kita gunakan sebagai antena, sepertipada Gambar 1.3. Kedua batang ini dihubungkan oleh sebuah saklar ke kutub yangberlawanan pada sebuah baterai. Segera setelah saklar ditutup, batang atas bermuatan positif dan batang bawah bermuatan negatif dan medan listrik E pun akan terbentuk.Jika muatan bergerak, artinya arus mengalir pada arah yang ditunjukkan tanda panah.Dengan demikian di sekitar antena akan muncul medan magnet yang mengelilingi kawat sehingga B masuk bidang gambar pada sebelah kanan dan keluar bidang gambar di9
sebelah kiri. Dalam kasus statik medan tersebut akan bergerak jauh ke luar ke tempatyang tak bisa ditentukan. .S .B keluarXXXXXXEXXXXXXB masuk(b)(a)Gambar 1.3. Medan magnet dan medan listrik oleh adanya arus DCSekarang saklar dihubungkan dengan generator ac, seperti diperlihatkan pada Gambar1.4. Mula-mula terjadi seperti halnya jika dihubungkan dengan baterei. Namun karenaarus ac kemudian berubah arah, maka medan magnet juga memiliki arah yangberlawananan. Garis-garis yang lama akan melipat dan menyambung dengan garis-garisbaru sehingga terbentuk loop. Dalam hal ini, perubahan medan magnet menghasilkanmedan listrik, dan perubahan medan listrik menyebabkan medan magnet. Kombinasiperubahan medan listrik dan magnet ini saling membangun, sehingga tidak bergantunglagi pada muatan pada antena.-.xArah gerak x .x .xGambar 1.4 Terjadinya gelombang EM oleh antenna yang dialiri arus ac.10
Medan di dekat antena disebut medan dekat sedangkan medan yang jauh dari antenadisebut medan radiasi. Garis-garis medan yang berbentuk loop terus terus menerusbergerak, dimana nialai E dan B pada medan radiasi ini berbanding terbalik terhadapjarak (Catatan: untuk medan listrik statik dalam hukum Coulomb, E berbanding terbalikdengan jarak kuadrat).Medan E dan B di setiap titik selalu saling tegak lurus dan tegak lurus arah perambatan.Sedangkan kuat medan berubah dari maksimum di satu titik menuju nol, lalu menujumaksimum di arah yang lain. Kedua medan sefase, artinya berfase nol pada titik yangsama dan mencapai maksimum juga pada titik yang sama.Jika ggl berubah secara sinusoidal, maka kuat medan listrik dan magnet pada medanradiasi juga berubah secara sinusoidal, seperti gambar 1.5. Perhatikan E dan B selalutegak lurus dan tegak lurus terhadap arah gerak, sehingga disebut gelombangelektromagnetik. Gelombang EM ini selalu merupakan gelombang medan, bukan materiseperti pada gelombang tali. Karena terdiri atas medan, maka gelombang EM dapatmerambat dalam vakum.yEBxArah gerakzBEGamabar 1.5. Gelombang EM tiga dimensiDapat disimpulkan, kedua persamaan Maxwell ke 3 dan ke 4 mempunyai konsekuensijika ada perubahan medan terhadap waktubaik E maupun H maka akan terjadiperambatan gelombang EM.1.3 Kecepatan gelombang EM dalam Vakum11
Dari ke 4 persamaan Maxwell: E (1.1) H 0(1.2) H E 0 t(1.3) E H J 0 t(1.4) 0dan ditambahkan dengan persamaan rapat arus dalam medan listrik, yaitu: 𝐽 𝜎𝐸 sertaidentitas vektor untuk operasi curl di bawah ini: ( A) ( . A) 2 A(1.5)Maka dapat diperoleh solusi persamaan gelombang EM, sehingga kemudian dapat jugadihitung kecepatan gelombang EM tersebut.Dengan menerapkan operasi curl (1.5) pada persamaan Maxwell (1.4), diperoleh: ( H ) o ( E ) t H ( H ) 2 H o o t t 2 H0 2 H o o 2 t 2H 2 H o o 2 0 t(1.6)Demikian juga untuk (1.3): ( E ) o ( xH ) t E ( E) 2 E o o t t 2E0 E o o 2 t212
2E E o o 2 0 t2(1.7)Jika kita bandingkan persamaan gelombang secara umum: 2 1 2 F 2 2 F 0v t (1.8) menyatakan bahwa gelombang F menjalar dengan kecepatan v ke segala arah, dengan 2 adalah operator Laplacian.Untuk kasus khusus misalnya gelombang menjalar ke satu arah misal pada sumbu-z,maka persamaan (1.7) menjadi: 2 2EE o o 2 0 z 2 t(1.9)yang analog dengan persamaan (1.8) yang menjalar ke arah sumbu-z, yaitu: 2 1 2 2 F 2 2 F 0v t z (1.10)dengan v adalah kecepatan menjalar gelombang .Jika gelombang merambat dalam vakum, dengan membandingkan persamaan (1.9)dengan (1.10) diperoleh:1 o ov2Sehingga: v (1.11)1 o o 3 x10 8 ms 1(1.12)Nampak bahwa gelombang EM di vakum mempunyai kecepatan v 3 x10 8 ms 1 yangsama dengan kecepatan cahaya. Kita tahu cahaya adalah salah satu contoh gelombangEM.Catatan: Laplacian untuk masing-masing Koordinat: 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2(Kartesian)(1.13)13
2 1 1 2 2r r r r r 2 2 z 2 2 1 2 1 1 2(Bola)r sin r 2 sin 2 2r 2 r r r 2 sin (Silinder)(1.14)(1.15)Perhitungan di atas adalah dengan cara di atas dari persmaan (1.5) sampai (1.12) adalahperhitungan dengan menggunakan vektor, yang cukup rumit. Ada cara lain yaituperhitungan skalar yang lebih sederhana sebagai berikut:Mula-mula kita pilih medan listrik hanya memiliki komponen arah x, sehingga:𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧𝐸𝑥00 𝐸 𝑧𝑥 𝑎𝑥(1.16)Dan kita pilih medan magnet hanya memiliki komponen arah y, sehingga persamaan(1.3) dapat disederhanakan menjadi: 𝐸𝑥 𝑧 𝐻𝑦 µ0 𝑡(1.17)Dengan cara yang sama:𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝐻 𝑎𝑧 𝑥 𝑦 𝑧0𝐻𝑦0 𝐻𝑦 𝑧𝑎𝑥(1.18)Maka persamaan (1.4) dapat disederhanakan menjadi: 𝐻𝑦 𝑧 𝜀0 𝐸𝑥(1.19) 𝑡Dengan memilih solusi persmaan diferensial tersebut adalah:𝐸𝑥 𝐸𝑥𝑜 𝑒 𝑗(𝜔𝑡 𝑘𝑧) dan𝐻𝑥 𝐻𝑦𝑜 𝑒 𝑗(𝜔𝑡 𝑘𝑧)Maka: 𝐸𝑥 𝑧 𝑗𝑘𝐸𝑥 ; 𝐻𝑦 𝑧 𝐸𝑥 𝑗𝑘𝐻𝑦 ; 𝑡 𝑗𝜔𝐸𝑥 𝐻𝑦 𝑡 𝑗𝜔𝐻𝑦Dan secara umum: 𝑧 𝑗𝑘 ; 𝑡 𝑗𝜔(1.20)14
Dengan demikian persamaan (1.17) menjadi:𝑗𝑘𝐸𝑥 𝑗𝜔𝜇𝐻𝑦Dan persamaan (1.19) menjadi:𝑗𝑘𝐻𝑦 𝑗𝜔𝜇𝜀𝐸𝑥(1.21)(1.22)Persamaan (1.21) dan (1.22) kita jadikan matriks untuk dicari determinannya:Sehingga: 𝑗𝑘 𝑗𝜔𝜇𝜀𝑗𝜔 0𝑗𝑘Determinan dari matriks tersebut adalah: 𝑘 2 𝜔2 𝜇0 𝜀0 0(1.23)Dengan demikian: 𝑘 𝜔 𝜇0 𝜀0(1.24)Atau: 𝑣 𝜔𝑘 1 𝜇0 𝜀0(1.25)Sama dengan persmaan (1.12)1.3 Solusi Persamaan Gelombang Datar Serba Sama Pada Medium Udara/VakumTinjau kembali persamaan (1.12) yaitu gelombang EM yang menjalar pada arah simbu-z 2 1 2 2 E 2 2 E 0v t z (1.16)Medan E harganya berubah terhadap posisi (dalam hal ini z) dan terhadap waktu t. Ataudikatakan bahwa E adalah fungsi 2 (dua) variabel: E(z,t). Dengan menggunakanpemisahan variabel, maka dapat dituliskan :E ( z, t ) Z ( z )T (t )(1.17)Artinya E merupakan perkalian antara 2 (dua) fungsi yaitu fungsi posisi dam fungsiwaktu.Dengan demikian persamaan (1.16) dapat dituliskan sebagai: 2 1 2 2 E ( z , t ) 2 2 E ( z , t ) 0v t z (1.18) 2 1 2 2 Z ( z )T (t ) 2 2 Z ( z )T (t ) 0v t z (1.19)15
21 2T (t ) 2 Z ( z ) Z ( z ) 2 2 T (t ) 0 zv tKalikan persamaan (1.20) dengan(1.20)1, sehingga:Z ( z )T (t )1 2 Z ( z)1 1 2T (t ) 0Z ( z ) z 2T (t ) v 2 t 2(1.21)Persamaan (1.21) mengandung 2 (dua) suku yang masing-masing mengandung satuvariabel, misalnya suku pertama adalah:1 2 Z ( z) k 22Z ( z ) z(1.22)Maka agar memenuhi (1.21) maka suku ke dua haruslah:1 1 2T (t ) k 222T (t ) v t(1.23)Dari persamaan (1.22) dapat dituliskan sebagai: 2 Z ( z) k 2 Z ( z )2 z(1.24)Salah satu solusi persamaan differensial orde-2 pada (1.24) adalah:Z ( z ) Ae jkzDan dengan memisalkan kv (1.25)(1.26)Maka persamaan (1.23) dapat ditulis sebagai: 2T (t ) k 2 v 2T (t ) 2T (t )2 t(1.27)Salah satu solusi persamaan differensial orde-2 pada (1.27) adalah:T ( t ) Be j t(1.28)16
Dengan masukkan persamaan (1.25) dan (1.28) ke persamaan (1.17) maka :E( z ,t ) ABe j ( t kz )(1.29)Karena A dan B adalah suatu konstanta, maka persamaan (1.29) dapat ditulis sbb.:E( z ,t ) Eo e j( t kz )(1.30)dimanaE o amplitudo gelombang datar pada t 0 dan z 0k bilangan gelombang 2 , panjang gelombang (dalam m) frekuensi sudut (anguler) (dalam rad/s) 2 fPersamaan (1.30) adalah solusi untuk gelombang EM datar serba sama (monokromatik)yang menjalar pada salah satu arah (dalam hal ini arah sumbu-z) dalam medium udaraatau vakum. Persamaan (1.30) memiliki 2(dua) kemungkinan, yaitu:E( z ,t ) Eo e j( t kz )(1.31)artinya gelombang monokromatik merambat ke arah sumbu-z negatifE( z ,t ) Eo e j( t kz )(1.32)artinya gelombang monokromatik merambat ke arah sumbu-z positif.Ciri-ciri gelombang datar monokromatik:1. Muka gelombang berupa bidang datar. 2. Transversalitas : E H k3. E dan H sefasaPersamaan (1.30) dapat diuraikan menjadi :E ( z, t ) Eo [cos( t kz ) j sin( t kz ) ](1.33)17
Artinya bentuk lain solusi (1.30) adalah :E ( z, t ) Eo cos( t kz )(1.34)E ( z, t ) Eo sin( t kz )(1.35)Dan:Medan magnet untuk gelombang yang menjalar pada sumbu-z, kita pilih memiliki arahgetar misalnya ke arah sumbu-x. Maka penulisan solusi gelombang (1.30) menjadi:E( z, t ) ABe j ( t kz ) aˆ x(1.36)Sedang solusi (1.34) menjadi :E ( z, t ) Eo cos( t kz )aˆ x(1.37)Solusi di atas diperoleh dengan menggunakan operasi vector. Ada cara lain yang lebihsederhana yaitu dengan cara scalar dengan mengambil koordinat kartesian 1-dimensi:Kita tuliskan kembali persmaan Maxwell ke-3 dan ke-4:Contoh Soal:1. Medan listrik dalam ruang bebas (vakum) diketahui sebagai berikut:𝐸 (𝑧, 𝑡) 𝐴𝑐𝑜𝑠(108 𝑡 𝛽𝑡)𝑎̂𝑦 V/m(a) Tentukan arah propagasi(b) Hitung β dan waktu yang diperlukan untuk merambat sejauh λ/2.(c) Buat sketsa gelombang untuk t 0, T/4 dan T/2.Penyelesaian:(a) Gelombang merambat dalam arah - 𝑎̂𝑦𝜔1081(b) 𝛽 𝑐 3𝑥108 3 sehingga β 0.3333rad/m.Karena T adalah periode gelombang, maka diperlukan waktu sebesar T untukmerambat sejauh λ pada kecepatan c. Oleh sebab itu untuk menempuh jaraksejauh λ/2, diperlukan waktu:𝑇 1 2𝜋𝜋𝑡1 2 2 𝜔 108 31.42𝑛𝑠18
Dengan cara lain, karena gelombang menjalar dengan kecepatan c, maka:NamunSehingga:Ey pada t 0, T/4, T/2 diplot terhadap x seperti diperlihatkan gambar 10.3. Catatanbahwa titik P (yang kita pilih sembarang) pada gelombang bergerak sepanjang –ax jikawaktu bertambah.19
Gambar 10.3. Gelombang yang menjalar sepanjang –ax.Latihan 10.1.Dalam vakum, diketahuiHitung:(a) K, λ dan T(b) Waktu t1 yang diperlukan untuk menempuh jarak λ/8(c) Sketsa gelombang pada waktu t 1 tersebut.Jawab:(a) 0.667 rad/m, 9.425m, 31.42 ns(b) 3.927 ns20
(c ) Sketsa lihat gambar 10.4.Gambar 10.4 . Sketsa jawaban latihan 10.1cIntensitas medan listrik suatu gelombang datar serba sama (monokromatik) di udaraadalah 200 V/m dalam arah â y . Gelombang tersebut merambat dalam arah â z denganfrekuensi anguler 2 x10 9 rad/s.a.Tulislah bentuk persamaan gelombang dalam bentuk sinusb. Tentukan panjang gelombang c. Tentukan frekuensi fd. tentukan periode TPenyelesaian:a. E( z, t ) E0 sin( t kz )aˆ y V/mdenganE o 200V/m 2 x10 9 rad/s.b. kv 2 x10 9 k. 3x10 8 k 2 x10 9 20 6,67 rad / m33x10 8Dengan demikian jawaban (a) dapat ditulis :E ( z , t ) 200 sin( 2 x10 9 t 6,67 z )aˆ y V/m 2 2 6 0,942 m20 20k321
c. 2 f f d. T 2 x10 9 318 MHz2 2 11 3,14 x10 9 s6f 318 x101.4 Impedansi Intrinsik Dalam Udara/VakumImpedansi intrinsik gelombang EM didefinisikan sebagai perbandingan antara intensitasmedan listrik E terhadap intensitas medan magnet H. Impedansi intrinsik untuk mediumudara ditulis sebagai : o EH(1.38)Misal gelombang medan listrik yang merambat dalam arah-z dengan arah getar â y : (1.39)E ( z, t ) Eo sin( t kz )aˆ ySedang H ( z, t ) diperoleh melalui persamaan Maxwell (1.3) yaitu: H E o t(1.40)Atau:â xâ yâ z x y z0Eo sin( t kz ) H o t(1.41)0 H Eo sin( t kz ) oSehingga: aˆ x t z Haˆ x [k Eo cos( t kz )] o t Hk â x [ E o cos( t kz )] o t22
kEo cos( t kz )dtH ( z, t ) aˆ x o H ( z, t )k o E o sin( t kz )aˆ x(1.42)Dengan demikian : o E H Eo sin( t kz ) okkEo sin(
1 modul medan elektromagnetik ii di susun oleh: dr. h. jaja kustidja, m.sc. jurusan pendidikan teknik el
Modul VI tentang Gelombang Elektro Magnetik berisikan: Teori Gelombang Elektromagnetik, Spektrum Gelombang Elektromagnetik, Pantulan serapan dan hamburan gelombang elektromagnetik, Teori Maxwell, Teori Kuantum, Hukum Plank, Hukum Stefan – Boltzman dan Hukum Wien, ser
E. Dasar Hukum F. Materi Pokok dan Sub Materi MATERI POKOK 1 KARAKTERISTIK MODUL A. Self Instructional B. Self Contain C. Stand Alone D. Adaptive E. User Friendly MATERI POKOK 2 PENGEMBANGAN MODUL DAN MUTUNYA A. Pengembangan Modul B. Mutu Modul MATERI POKOK 3 PROSEDUR PENYUSUNAN MODUL A. Analisa Kebutuhan Modul B. Penyusunan Modul PENUTUP A .
9. Modul OC IV (Organische Stoffklassen und Synthesen) 13 10. Modul PC I (Allgemeine Chemie) 14 11. Modul PC II (Physikalische Chemie II) 15 12. Modul PC III (Physikalische Chemie III) 16 13. Modul PC IV (Physikalische Chemie IV) 17 14. Modul MC (Makromolekulare Chemie) 18 15. Modul BC (Biochemie und Zellbiologie) 19 16. Modul Physik 20 17.
TUGAS PENDAHULUAN PRAKTIKUM SISTEM OPERASI MODUL XX April 19, 2014 Pada modul kali ini, mungkin akan sedikit berbeda dengan modul-modul sebelumnya. Masih dapat kita ingat bahwa modul-modul sebelumnya, kita membahas manajemen administrasi dalam sistem operasi Windows. Sekarang, kita beralih kepada sistem operasi yang berbasi GNU/Linux.
ANALISA PEKERJAAN DINDING BETON PRACETAK PADA PROYEK PODOMORO CITY DELI MEDAN . SKRIPSI . Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik Sipil . Universitas Medan Area . Disusun Oleh : RASDINA CRISTIANI . 13.811.0008 . PROGRAM STUDY TEKNIK SIPIL . FAKULTAS TEKNIK . UNIVERSITAS MEDAN AREA . 2018 . UNIVERSITAS MEDAN AREA
tentang konsep dasar laju reaksi dan konsep dasar termodinamika kimia. C. Petunjuk Penggunaan Modul 1. Pelajari daftar isi serta skema kedudukan modul dengan cermat dan teliti karena dalam skema modul akan nampak kedudukan modul yang sedang Anda pelajari ini diantara modul-modul yang lain.
Test 34 Test 45 Modul 11: Lektion 5 Didaktische Hinweise 35 Lösungen und Hörtexte Kursbuch 35 Lösungen und Hörtexte Arbeitsbuch 36 Test 38 Modul 11: Wir trainieren: Hörtexte und Lösungen, Sprechkarten 46 Modul 11: Abschlusstest 50 Lösungen zu den Tests von Modul 11 51 Modul 12: Lektion 7 Seite Modul 12: Lektion 9 Seite
The energy intensity target in China’s 11th Five-Year Plan period - Local implementation and achievements in Shanxi Province Daisheng Zhanga,*, Kristin Aunanb,a, Hans Martin Seipa,b, Haakon Vennemoc a Department of Chemistry, University of Oslo, P. O. Box 1033 Blindern, 0315 Oslo, Norway b Center for International Climate and Environmental Research — Oslo (CICERO), P.O. Box 1129 Blindern .
