ANALISA VARIABEL KOMPLEKS - Stkippgri-bkl.ac.id
BUKU DIKTATANALISA VARIABELKOMPLEKSOLEH :DWI IVAYANA SARI, M.Pdi
DAFTAR ISIBAB I. BILANGAN KOMPLEKS .I.Bilangan Kompleks dan Operasinya .II.Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks .III.Kompleks Sekawan .IV.Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks .V.Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks .VI.Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks .VII. Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks .VIII. Akar Bilangan Kompleks .1113357911BAB II. FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN .I.Konsep – Konsep Topologi pada Fungsi Kompleks .II.Fungsi Kompleks .III.Komposisi Fungsi .IV.Interpretasi Geometris .V.Limit .VI.Kekontinuan fungsi .13131618192024BAB III. TURUNAN .I.Definisi Turunan .II.Syarat Chauchy – Riemann .III.Syarat C – R pada Koordinat Kutub .IV.Aturan Pendiferensial .V.Fungsi Analitik .VI.Titik Singular .VII. Fungsi Harmonik .2626273031313233i
1BILANGAN KOMPLEKSDengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikanpersamaan 1 0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru.Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.I.BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYADefinisi 1.1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: atau ,dan – 1.bilangan real danNotasiBilangan kompleks dinyatakan dengan huruf menyatakan bilangan real. Jikakompleks, maka dinamakan bagian real dan, sedang hurufdanmenyatakan sembarang bilanganbagian imajiner dari . Bagian realbiasanya dinyatakan dengan Re( ) dandan bagian imaginer dari bilangan kompleksIm( ).II.OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKSDefinisi 2.1Bilangan komplekssama, dan bilangan kompleks, jika dan hanya jika dan dikatakan.Definisi 2.2Untuk bilangan kompleks dan jumlah dan hasil kalimereka berturut-turut didefinisikan sbb: ( ( ) (– ) () )1
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂJadi ℂ { ℝ}, ℝ,Jika Im( ) 0 maka bilangan kompleksmenjadi bilangan real , sehinggabilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ ℂ . JikaRe( ) 0 dan Im( ) 0, makamenjadidan dinamakan bilangan imajiner 0, yakni bilangan , dinamakan satuanmurni. Bilangan imajiner murni denganimajiner.Sifat-sifat lapangan bilangan kompleksHimpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan danperkalian (ℂ , , ) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapanganyang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut:1. ℂ dan2. 3. ( ) ℂ (sifat tertutup)dan ( )) dan(sifat komutatif)( ) ( )(sifatassosiatif)4. ( (sifat distribtif)5. Ada 0 0 0 ℂ , sehingga 0 6. Ada 1 1 0 ℂ , sehingga 1 (0 elemen netral penjumlahan)(1elemen netral perkalian)7. Untuk setiap ℂ, ada – – –8. Untuk setiap ℂ, adadengan, ℂ, sehingga (– ) 0sehingga 1.1 1 1 . Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.2
Contoh 2.1 1. Jika dan , buktikan bahwa: x –x i(y – y ) 2 3 dan2. Diketahui:III. 5– . Tentukan ,–,, danKOMPLEKS SEKAWAN Jika bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dariditulis ̅ , didefinisikan sebagai ̅ (x, – y) x – iy.Contoh 3.1Sekawan dari 3 2 adalah 3 – 2 , dan sekawan dari 5 adalah – 5 .Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangankompleks memenuhi sifat-sifat berikut :Teorema 3.1a. Jikabilangan kompleks, maka :1.̿ 2. ̅ 2Re( )3. ̅ 2Im( )4. ̅ [Re( )] [Im( )]b. Jika,bilangan kompleks, maka:1. 2. 3. 4.IV. 0, denganINTERPRETASI GEOMETRIS BILANGAN KOMPLEKSKarena dapat dinyatakan sebagaiterurut bilangan real, maka ( , ), merupakan pasangandapat digambarkan secara geometri dalam koordinatKartesius sebagai sebuah titik ( , ). Pemberian nama untuk sumbusumbu Real dan sumbudiubah menjadidiubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebutdi beri nama bidang Argand atau bidang . Jika kita hubungkan titik asal (0,0)3
dengan titik ( , ), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks( , ) dapat dipandang sebagai vektor . Arti geometris dari penjumlahan danpengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.4
Tugas :1 2 3 danDiketahui,argand)V., , 5– . Gambarkan pada bidang kompleks (bidang ,,, , MODULUS (NILAI MUTLAK) DARI BILANGAN KOMPLEKSDefinisi 5.1Jika ( , ) bilangan kompleks, maka modulus dari , ditulis Arti geometri dari modulusadalah merupakan jarak dari titik ( , ). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks (adalahSelanjutnya apabila ) ( dan lingkaran yang berpusat di titikBagaimanakah dengan – (0,0) kedan ) .real positif, maka – merupakandengan jari-jari .dan – , Gambarkanlah pada bidang.Teorema 5.1a. Jikabilangan kompleks, maka berlaku :1. Re( ) Im( )2. ̅ 3. ̅4. Re( ) Re( )5. Im( ) Im( )b. Jika,bilangan kompleks, maka berlaku :1. 2. 3. 4. 5. 5
Tugas : Buktikanlah teorema a di atas dengan memisalkan , kemudianberdasarkan hasil a, buktikan juga teorema b !1. Akan dibuktikan () ( ( ) ) ( ) ) ( ( ) 2 ( ) ( ( ) ( 2) ) Jadi, terbukti 2. Akan dibuktikan . 2((( ). (). (( )( ) 2))) Jadi, terbukti 6
3. Akan dibuktikan 0 () 0 22 ( 2 ( ) () )( ) ) 2 () ) ( 2 )( ) 2 ( 2( ) ( 2()( ) Jadi, terbukti 4. Akan dibuktikan VI. Jadi, terbukti BENTUK KUTUB (POLAR) DAN EKSPONEN DARI BILANGANKOMPLEKSSelain dinyatakan dalam bentuk ( , ), bilangan kompleksdapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu ( , ).7
Adapun hubungan antara keduanya, ( , ) dan ( , ) adalah: cos , sinsehingga arc tan adalah sudut antara sumbu positif dengandidapat juga Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks adalah ( , ) (cos sin ) cis dan sekawan dari ̅ ( , ) (cos sin )Definisi 6.1 ( , ) (cos sin ), sudut disebut argument dariPada bilangan kompleks, ditulis arg . Sudut dengan 0 2 atau disebut argument utamadari , ditulis Arg z. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja.Definisi 6.2 dikatakan sama, jika(cos sin ) dan Dua bilangan komplekscis , maka anda dapat menuliskandan ( , ) ( , ) (cos sin ) dalam rumus Euler (eksponen), yaitu , .dan sekawannya adalah ̅ untuk cos , sin(cos sin ), dan .Selain penulisan bilangan kompleksTugas: Buktikan bahwa cos sin , dengan menggunakan deret MacLaurindengan mengganti .Contoh 6.1Nyatakan bilangan kompleks 1 dalam bentuk polar dan eksponen!Jawab : 1 , 2, tan 1, sehingga 45 Jadi 2 cos sin 2 cis 28
VII.PANGKAT DAN AKAR DARI BILANGAN KOMPLEKSA. Perkalian dan PemangkatanTelah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah (cos sin ).Jika (cos sin ) dan (cos sin ), maka kita perolehhasil perkalian keduanya sebagai berikut : [ (cos sin )][ (cos sin )] [(cos cos sin sin ) (sin cos cos sin )][cos( ) sin( )] Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:arg() arg argPertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikandan ?Jika diketahui: (cos sin ) (cos sin ) (cos sin ), untukaslimaka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian [cos( ) sin( )]Akibatnya jika, (cos sin )Khusus untuk (cos sin ) maka (1) 1, disebut Dalil De-Moivre(cos sin ) cos sin , denganasli.B. PembagianSedangkan pembagiandanadalah sebagai berikut: (cos sin )(cos sin )Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu9
(cos sin ), maka diperoleh: [cos( ) sin( )]Dari rumus di atas diperoleh:arg arg (cos sin ).Akibat lain jikamaka,untuk,1 11 arg[cos( ) sin( )]1 sin(cos)setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka diperoleh:1. 1[cos( ) sin( )] (2)Dari (1) dan (2) diperoleh: [cos() sin()],berlaku untuk semuaDalil De-Moivrebilangan bulat.Contoh 7.1Hitunglah: 3 Jawab: 3 3 1 2tan 1 3 30Karenadi kuadran IV, maka dipilihJadi, 3 2(cos( 30 ) sin( 30 )) 3 2 (cos( 180 ) sin( 180 )) 2 ( 1 0) 210
VIII. 1( 2) 164AKAR BILANGAN KOMPLEKSBilangan kompleks , dan ditulis sin ), sehingga dan Akibatnya, (cos diperoleh: (cos sin ) (cos 2,bulat.dari bilangan kompleks sin ) adalah:cos sinbulat danbilangan asli.Dari persamaandari bilangan kompleks 2dan Jadi, akar pangkat, jika. sin ), maka dari , adaUntuk mempermudah dipilih0 dari bilangan kompleks (cos sin ) akar pangkatJika(cosadalah akar pangkatbuah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. 0,1,2,3, , ( 1); 2 , sehingga diperoleh,, ,sebagai akar ke- dari .Contoh 8.1Hitunglah ( 81)Jawab :MisalkanTulis ( 81) , berarti harus dicari penyelesaian persamaan 81 (cos sin ) dan 81 81(cos 180 sin 180 )sehingga (cos 4 sin 4 ) 81(cos 180 sin 180 )diperoleh 81, atau 3 danJadi 3[cos sin.]Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi 0,1,2,3 kepersamaan terakhir.11
Latihan Soal Bab I1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan ( , ) 2. DiketahuiTentukan3. Jika 6 5 dan 8– . ,, 1 , buktikan4. Cari bilangan kompleksa., . 2 2 0.yang memenuhi sifat: b. ̅ 5. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks berlaku:6. Hitung jarak antara 2 3 dan. . 2Re() 5– .7. Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjad :a. – 5 6 dan – 5 6b. – c. 1 – 38. Nyatakan bilangan kompleks 2 2 dalam bentuk polar dan eksponen.9. Hitunglah ( 2 2 ) .10. Tentukan himpunan penyelesaian dari: 0.12
2FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUANSebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsepkonsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.I.KONSEP-KONSEP TOPOLOGI PADA FUNGSI KOMPLEKSHimpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik padabidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan,irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya.1. Lingkungan/persekitarana. Persekitaranadalah himpunan semua titikyang berpusat di, berjari-jari ,b. Persekitaran tanpa 0. Ditulis( , ) atau –adalah himpunan semua titikdalam lingkaran yang berpusat diatau 0 –yangterletak di dalam lingkaran, berjari-jari , .yang terletak di 0. Ditulis ( 0, ) .Contoh 1.1a.( , 1) atau – 1, lihat pada gambar 1b. ( , ) atau 0 – , lihat pada gambar 213
2. KomplemenAndaikan S suatu himpunan. Komplemen dariditulis, merupakan himpunansemua titik pada bidang ℤ yang tidak termasuk di .Contoh 1.2Gambarkan, { Im( ) 1}, maka { 2 4}, maka { Im( ) 1}. { 2 atau 4}.3. Titik limitTitik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo, ) makaN*(zo, ) S . Jika zo S dan zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.4. Titik batasTitik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo, ) memuatsuatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.5. Batas dari himpunan Sadalah himpunan semua titik batas dari S.6. Interior dan EksteriorTitik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo, ) sehingga N(zo, ) S.Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.7. Himpunan TerbukaHimpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.14
8. Himpunan TertutupHimpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya.9. Himpunan TerhubungHimpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapatdihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.10. Daerah domainHimpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.11. Daerah TertutupDaerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.12. Penutup dari himpunan Sadalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.Contoh 1.31. Diberikan { 1}, maka:adalah himpunan terbuka dan terhubung.Batas dariPenutup dariadalah { 1}.adalah { 1}.15
2. Diberikan { 1} {(0,1)}, maka:B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup.adalah { 1}.Titik-titik limit dari3. Diberikan { 2}, maka:Titik-titik interiorII.adalah { 2}.FUNGSI KOMPLEKSDefinisi 2.1Misalkanhimpunan titik pada bidang Z.Fungsi kompleksanggotaadalah suatu aturan yang memasangkan setiap titikdengan satu dan hanya satu titikFungsi tersebut ditulisHimpunannilai daripada bidang W, yaitu ( , ). ( ).disebut daerah asal (domain) dari , ditulisatau peta daridan ( ) disebutoleh . Range atau daerah hasil (jelajah) dariyaitu himpunan ( ) untuk setiapditulis,anggota .16
Contoh 2.1a) 1–b) 4 2c) d)–5( ) Contoh a), b), c) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z.Contoh d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z , kecuali . Jika( , ) ( ) dapat diuraikan menjadi, maka fungsi ( , ) yang berarti Re( ) dan Im( ) masing-masing merupakan fungsidengan dua variabel realApabiladan . (cos sin ), maka ( , ) ( , ).Contoh 2.21. Tuliskan ( ) 2 – dalam bentukdan .Jawab :Misal maka fungsi , ( ) 2 – 2( 2( 2) )–17
2( 2(Jadi2. Jika ) dan 2) (2 1). 1. (cos sin ).( ) Tentukan Jawab:( ) [ (cos sin )] [cos sin 2 sin cos ] (cos sin ) (cos sin ) (berartiIII. sin 2 sin 2 1)(cos sin ) dan sin 2 1KOMPOSISI FUNGSIDiberikan fungsi ( ) dengan domain Jika domain Jikadomaindan fungsi ( ) dengan domain. , maka ada fungsi komposisi ()( ) ( ( )), dengan , maka ada fungsi komposisi ()( ) ( ( )), dengan. .18
Jadi, tidak berlaku hukum komutatif pada ()( ) dan ()( ).Contoh 3.1( ) 3 – dan ( ) Misal: Jika maka ( –1 ,)( ) ( ( )) (3 – ) (3 – ) (3 – )– 1 9 –6 –1 3 – –1 9 Jika maka (Karena 9Jadi, (IV.– 3 – 2– 6 ,)( ) ( ( )) ( –1 ) 3 3 –3 3 –– 3 – 2– 6)( ) ( 3 3 –3 3 –)( ) atau (tidak komutatif).INTERPRETASI GEOMETRIS Untuk setiap variabel bebassatu variabel tak bebas anggota domain ada satu dan hanyayang terletak pada suatu bidang kompleks.Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks,pada bidangpada bidangdan. Karena pasangan ( , ) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapatmenggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari ( ). Caranya dengan memandang fungsi(transformasi) dari titik di bidangke titik di bidangtersebut sebagai pemetaandengan aturan . Untuk suatutitik maka ( ) disebut peta dari .Contoh 4.1Diketahui fungsi (2 – 1) (2diperoleh: 2 – 1 . Untuk setiap variabel bebas 1) . Misalnya untuk 2– 3 , berturut-turut 1 3 , dan 1 , dan 3– 5 . Gambar dari,, , dandidapat nilaidapat dilihatdi bawah ini:19
Contoh 4.2Diketahui fungsi .Dengan menggunakan (cos sin ), maka diperoleh (cos 2 sin 2 ).Jika sebuah lingkaran pusatbidangberjari-jaripada bidang , maka dapat dipetakan kemenjadi sebuah lingkaran pusatdipetakan menjadi daerah 0 argberjari-jari. Daerah 0 arg 2 .Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.V.LIMITDiketahui daerahbatas . Misalkan fungsipada bidangdan titikterletak di dalam ( ) terdefinisi pada , kecuali diatau pada.20
Apabila titikbergerak mendekati titikmelalui setiap lengkungan sebarangdan mengakibatkan nilai ( ) bergerak mendekati suatu nilai tertentu, yaitubidanglim , maka dikatakan limit( ) ( ) adalahuntukmendekati,padaditulis:.Definisi 5.1Misalkan fungsi ( ) terdefinisi pada daerah , kecuali di(titikatau pada batas). limit ( ) adalah, jika untuk setiapuntuk 0, terdapat 0 sedemikian hingga ( )–mendekatidi dalam , apabila 0 – ,ditulis:lim ( ) Perlu diperhatikan bahwa :1. Titik2. Titikadalah titik limit domain fungsi .menujumelalui sebarang lengkungan , artinyamenujudari segalaarah.3. Apabilamenujumelalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan ( )menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsimendekatitersebut tidak ada untuk.Contoh 5.1Buktikan bahwa: lim 5Bukti:Misalkan diberikan bilangan 0, kita akan mencari 0 sedemikian, sehingga:21
0 – 5 , untuk 2.Lihat bagian sebelah kananDari persamaan kanan diperoleh:2 3 2 5 2 (2 1)( 2) 5 2 (2 1 5)( 2) 2 2( 2) 2 Hal ini menunjukkan bahwa 2telah diperoleh.Bukti Formal :Jika diberikan 0, maka terdapat0 – 2 2 , sehingga untuk 2, diperoleh: 3 2 5 2(2 1)( 2) 5 2 2( 2) 2 5 Jadi,Terbukti, limapabila 0 – 2 5 Teorema Limit :Teorema 5.1Jika fungsi f mempunyai limit untuk menuju, maka nilai limitnya tunggal.Bukti:Misal limitnyadan ( ) ( ) , maka ( ) 22 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22
Sehingga, Jadi,Teorema 5.2Misalkan ( ,Maka, lim ( , ) ) di dalam ( ) jika dan hanya jika limdan ( ) ( , ) ( , ) dengan domain. Titikatau batas . ( , ) dan lim ( , ) Teorema 5.3Misalkan fungsilim ( ) danlimitnya ada.dan lim ( ) , maka1. lim( ( ) ( )) (untuk2. lim( ( ). ( )) . (untuk3. lim(( )( )) (untuk )))Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !Contoh 5.2Hitunglah lim Jawab:lim ( )( ) 1 lim lim( ) 2Contoh 5.3Jika ( ) . Buktikan lim ( ) tidak ada!Bukti :Kita tunjukkan bahwa untuk menuju 0 di sepanjang garislim ( ) lim( , ) ( , )Sedangkan di sepanjang garis( ) lim 0, maka 0 (1) ,23
lim ( ) lim( , ) ( , )Dari (1) dan (2), terbukti limVI.( ) lim 1 1 (1) 1 ( ) tidak ada. KEKONTINUAN FUNGSIDefinisi 6.1Misalkan fungsi ( ) terdefinisi dipada bidang, fungsi ( ) dikatakan kontinu didan titikjika untukterletak pada interiormenuju, maka lim ( ) ( ).Jadi, ada tiga syarat fungsi ( ) kontinu di zo, yaitu :1.( ) ada2. lim ( ) ada3. lim ( ) ( )Fungsi ( ) dikatakan kontinu pada suatu daerah , jika ( ) kontinu pada setiap titikpada daerahtersebut.Teorema 6.1Jika ( ) ( , ) dan ( , ), ( ) terdefinisi di setiap titik pada daerahtitik di dalam, maka fungsi ( ) kontinu dijika ( , ) dan ( , ) masing-masing kontinu di ( ,,jika dan hanya).Teorema 6.2Andaikan ( ) dan ( ) kontinu di
1 BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan T 6 1 0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. . dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu V ( N, ). 8 Adapun hubungan antara keduanya, ( T, U) (dan N, à) adalah: T Ncos à, U Nsin à
4 bebas) dan y adalah variabel dependent (variabel tak-bebas), mengingat nilai y ditentukan oleh nilai variabel x. Contoh I.1 a. y x x 425, variabel dependent y. variabel independent x b. 632 dq qt dt , variabel dependent q. variabel independent t c. 2 2 9 t dy xe dt , variabel dependent y, variabel independent x, t pada contoh b dan c terlihat bahwa pada persamaan differensial .
dide–nisikan dengan kekonvergenan bilangan Cauchy di bidang kompleks. Soal-Soal Buktikan sifat lapangan bilangan kompleks! 1.4 Kojugate dan Modulus Salah satu komponen yang penting dalam bilangan kompleks adalah konjugate (sekawan). Konjugate bilangan kompleks z x yi adalah z x yi.
dikatakan bilangan kompleks secara geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy) dengan sumbu x sumbu riil dan sumbu y sumbu imajiner. Bilangan kompleks z x iy x y , disajikan sebagai vektor pada bidang kompleks dengan titik asal dan ujung vektor .
(Robbins) PERILAKU ORGANISASI 4 Setiap organisasi pasti memiliki manajer . PERILAKU ORGANISASI 14. Variabel-Variabel Bebas Variabel Bebas Variabel Tingkat Individu Variabel Tingkat Sistem Organisasi Variabel Tingkat Kelompok
2. BESAR BEBAN GEMPA RENCANA 37 3. POLA PEMBEBANAN DALAM ANALISA PUSHOVER 45 3.1 Gaya Statik Lateral Hasil Analisa Beban Statik Ekivalen . 45 3.2 Gaya Statik Lateral Hasil Analisa Ragam Spektrum Respons 48 V. INPUT DATA UNTUK PROGRAM SAP2000 53 1. INPUT DATA UNTUK STRUKTUR YANG DITINJAU 53 2. INPUT DATA UNTUK ANALISA PUSHOVER PADA PROGRAM .
ANALISIS KOMPLEKS 1 Anny Sovia Pendahuluan Sistem Bilangan Kompleks Untuk maka bentuk umum bilangan kompleks adalah dengan , dinamakan satuan khayal (imaginary unit) bersifat .dinamakan bagian riil dari dan dinamakan bagian khayal dari yang berturut-
3.2 Definisi Variabel dan Operasionalisasi Variabel Penelitian Sub bab ini peneliti akan memaparkan definisi dari variabel-variabel yang akan diteliti secara jelas, sehingga tidak menimbulkan pengertian ganda, definisi variabel juga memberi batasan sejauh mana penelitian yang akan dilakukan.
0452 ACCOUNTING 0452/21 Paper 2, maximum raw mark 120 This mark scheme is published as an aid to teachers and candidates, to indicate the requirements of the examination. It shows the basis on which Examiners were instructed to award marks. It does not indicate the details of the discussions that took place at an Examiners’ meeting before marking began, which would have considered the .
