PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Oleh Shahibul Ahyan A. Bentuk .
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRATOleh Shahibul AhyanA. Bentuk Umum Persamaan KuadratDefinisi : Misalkan a, b, c R dan a 0 , maka persamaan yang berbentukax2 bx c 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.Berkaitan dengan nilai-nilai dari a, b, c dikenal beberapa persamaankaudrat diantaranya adalah :1. Jika a 1, maka persamaan menjadi x2 bx c 0 dan persamaan sepertiini disebut Persamaan Kuadrat Biasa.2.Jika b 0, maka persamaan menjadi x2 c 0 dan persamaan seperti inidisebut Persamaan Kuadrat Sempurna.3. Jika c 0, maka persamaan menjadi x2 bx 0 dan persamaan seperti inidisebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap.4. Jika a, b, c bilangan-bilangan real, maka ax2 bx c 0 disebutPersamaan Kuadrat Real.5. Jika a, b, c bilangan-bilangan rasional, maka ax2 bx c 0 disebutPersamaan Kuadrat Rasional.B. Akar – Akar Persamaan KuadratAda beberapa cara untuk menentukan akar persamaan kuadrat,diantaranya :1. Dengan PemfaktoranMenentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoranmenggunakan sebuah sifat yang berlaku pada sistem bilangan real. Sifatitu dapat dinyatakan sebagai berikut :Jika a, b R dan berlaku a – b 0, maka a 0 atau b 0.Catatan : Pengertian a 0 atau b 0 dapat ditafsirkan sebagai berikut :a). a 0 dan b 0b). a 0 dan b 0c). a 0 dan b 0
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat daengan pemfaktoranartinya meyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubahnya menjadibentuk perkalian.a. Untuk a 1x2 bx c 0(x x1) (x x2) 0 dengan x1 x2 b dan x1 . x2 cx x1 0 atau x x2 0atau x -x2x -x1Jadi, akar-akar dari x2 bx c 0 adalah -x1dan -x2Contoh : x2 – 2x – 8 0(x – 4) (x 2) 0x 4 atau x -2Jadi, akar-akar dari x2 – 2x – 8 0 adalah -2 dan 4.b. Untuk a 1ax2 bx c 0 ax x1 ax x2 0, dengan x x1a2 b dan x1. x2 acax x1 0 atau ax x2 0x x1 x2atau x aaJadi, akar-akar dari ax2 bx c 0 adalah x1 x2atau.aaContoh : 3x2 -2x -5 0 3x 31 3x 5 033 x 11 3x 5 03(x 1) (3x – 5) 0x -1 atau x 53Jadi, akar-akar dari 3x2 -2x -5 0 adalah -1 dan2. Dengan Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna5.3
Untuk Menyelesaikan ax2 bx c 0 dengan melengkapkankuadrat sempurna, maka :ax2 bx c 0bcx 0aabcx2 x aax2 2x2 bc b b x aa 2a 2a 22b c b2 x 2a 4a2a 2b b 2 4ac x 2a 4a 2 Contoh : 2x2 2x – 3 0x2 x 3 0223 1 1 x x 2 2 2 2221 3 1 x 2 2 4 21 7 x 2 4 17 241 17x12 2 21 11 1x1 77 atau x2 2 22 2x 3. Dengan RumusMisalkan a, b, c R dan a 0 , maka akar-akar persamaan kuadratax2 bx c 0 ditentukan oleh :x1 b b 2 4ac b b 2 4acatau x 2 2a2aBukti :
a. ax2 bx c 0, a 04a2x2 4abx 4ac 04a2x2 4abx b2 -b2 4ac 0(2ax b)2 – (b2 - 4ac) 0(2ax b)2 b2 - 4ac2ax b b2 - 4ac2ax -b b2 - 4ac- b b 2 4ac2ax12 b. ax2 bx c 0, a 0bcx2 x 0aabcx2 x aa2bc b b x x aa 2a 2a 222b c b2 x a 4a 2 2a 2b b 2 4ac x 4a 2 2a bb 2 4ac 2a4a 2b1x12 b 2 4ac2a 2 ax x12 b b 2 4ac2ac. ax2 bx c 0, a 0, misal b b1 b2, b1 0 dan b2 0ax2 b1x b2x c 0, misal b1x u v x u v, maka :b1
2 u v u v u v b2 c 0 b1 a b1 b1 b1 u 2 2uv v 2 b u b2 v u v 2a c 02 b1b1 au 2 2auv av 2 b12 u b12 v b1b2 u b1b2 v b12 c 0 au 2 2av b12 b1b2 u av 2 b12 b1b2 v v 0Misal : 2av b12 b1b2 0b12 b1b2 2avb1 b1 b2 2avb1b 2avv b1b2aau 2 0.u av 2 2av.v b12 c 0au 2 av 2 2av 2 b12 c 0au 2 av 2 b12 c 0
au 2 av 2 b12c2 bb au 2 a 1 b12c 2a b 2b 2au 2 1 b12c4ab 2b 2 4ab12cau 2 14a22b b 4acau 2 14a22b b 4acu2 14a 2 b1 b 2 4ac2au v v u dim ana x , maka :b1bu b1b b1 b 2 4ac a22ax b1 b b 2 4ac b1 2a x b1x12 b b 2 4ac2aContoh : Tentukan HP dari y2 7y -30 0Jawab : y2 7y -30 0, a 1, b 7 dan c -30y12 b b 2 4ac 7 7 2 4.1.( 30) 2a2.1 7 49 120 7 169 7 13 222y1 3 atau y2 10y12 C. Diskriminan Persamaan KuadratDari rumus tampak bahwa penyelesaian atau akar-akar suatu persamaankuadrat sangat ditentukan oleh nilai-nilai b2 - 4ac. Bentuk b2 - 4ac disebutdiskriminan dari persamaan kuadrat ax2 bx c D dan dikembangkan
dengan huruf D, sehingga D b2 - 4ac. Pemberian nama diskriminan D b2 4ac masuk akal, sebab nilai D b2 - 4ac inilah yang membedakan(mendiskriminasikan) jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat.Dengan melihat nilai D, akr-akar suatu persamaan kuadrat dapatdibedakan menjadi 3 jenis yakni sbb:a. Bila D 0, maka ada dan bernilai positif.Akar-kar persamaan itu x1 b D b Ddan x 2 terlihat bahwa2a2ax1 x 2Jadi, persamaan itu mempunyai dua akar nyata yang berlainan.b. Bila D 0, makaD 0Akar-akar persamaan itu x1 x1 x2 b 0 b 0dan x 2 terlihat bahwa2a2a b.2aJadi persamaan itu mempunyai dua akar nyata yang sama.c. Bila D 0 makaD bukan merupakan bilangan nyata, melainkanbilangan khayal. Jadi, persamaan itu tidak mempunyai akar nyata.D. Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan KuadratJika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrta ax2 bx c 0, dengana 0 , jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukandengan rumus : x1 x2 Dimana x1 x2 x1 x2 x1. x2 bcdan x1 . x2 aa bcdan x1 . x2 diperoleh dariaa b D b D 2a2a 2a b 2aa b D b D 2a2a
b2 D4a 2b 2 b 2 4ac 4a 24ac 24ac a Sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat1. Akar-akarnya berlawanan (x1 x2) b D 1 2. Akar-akarnya berkebalikan x1 a cx2 3. Sebuah akarnya sama dengan nol (x1 0) c 0 dan x2 4. Kedua akarnya bertanda sama 5. Kedua akarnya berlainan tanda bac 0ac 0aE. Menyusun Persamaan Kuadrat1. Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnyaa. Dengan perkalian faktorJika akar-akar persamaan kuadrat ax2 bx c 0cbx 0ax bx c 0 aa x x1 x x2 0x2 2dengan x1 x 2 bcdan x1 x 2 aab. Dengan rumus jumlah dan hasil kaliPersamaankuadrat x x1 x x2 0 x 2yangakar-akarnyax1danx2adalah x 2 x x1 x x1 x 2 0 x 2 x1 x 2 x x1 x 2 02.Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya mempunyai hubungandengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya.
Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat mampunyai hubungan denganakar-akar persamaan kuadrat lainnya, maka persamaan kuadrat ituditentukan dengan 2 cara, yaitu :a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akarb. Penghapusan indeks, jika akar-akarnya simetriContoh :Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 6x – 8 0 adalah dan . Susunlahpersamaan kuadrat yang akar-akarnya11dan Jawaba. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar3x2 6x – 8 0 ; 2 ; 83Misalkan persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x1dan x2 , maka :11dan x2 1 1 2 3x1 x2 8 3 4x1 x1 x2 1 1 113 8 38Subtitusikan (x1 x2) 3dan x1 x 2 3 8 ke persamaan4x 2 x1 x2 x x1 x2 0 diperoleh : 3 3x2 x 0 4 88x2 6x 3 0Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x2 – 6x – 3 0b. Dengan penghapusan indeksAkar-akar x1 11dikataklan simetri, sebab jika indeksdan x2 1 dan 2 dihapuskan akan memberikan bentuk yang sama. x1 1,
jika indeks dihapus didapat x dihapus didapat x 111atau x2 , jika indeks x 111atau dengan demekian .xx Oleh karena merupakan akar dari persamaan kuadrat 3x2 6x –8 0, maka berlaku3 2 6 x 8 02 1 1 3 6 8 0 x x 3 6 8 0x2 x3 6 x 8x 2 08x 2 6x 3 0Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah 8x2 – 6x – 3 0F. Menggambar Grafik Fungsi KuadratDefinisi : misalkan a,b, dan c bilangan real dan a 0, maka fungsi yangdirumuskan oleh f (x) ax2 bx c dinamakan fungsi kuadratdalam peubah x.Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y f (x) ax2 bx c dangrafik kuadrat disebut sebagai parabola.Untuk melukis grafik fungsi y ax2 bx c diperlukan hal-hal berikut :1. Titik potong dengan sumbu xTitik potong dengan sumbu x, maka y 0Jika akar-akarnya x1 dan x2, maka titik potong dengan sumbu x adalah(x1,0) dan (x2, 0)Ada atau tidaknya akar-akar tergantung dari diskriminan persamaan itua. Kalau D 0, grafik memotong sumbu x, didua buah titik (x1,0) dan(x2,0).b. Kalau D 0, grafik menyinggung disebuah titik pada sumbu x di (x1,0) b atau ,0 . 2a c. Kalau D 0, grafik tidak memotong sumbu x
2. Titik potong dengan sumbu yHal ini didapat apabila x 0, jadi y c, maka titik potong dengan sumbuy adalah (0,c)a. Jika c 0, maka grafik memotong sumbu y di atas titik asal.b. Jika c 0, maka grafik memotong sumbu y tepat di titik asal.c. Jika 0, maka grafik memotong sumbu y di bawah titik asal.3. Titik Puncak atau Titik BalikFungsi y ax2 bx c, dengan a, b, c R dan a 0 , mempunyai titik b b 2 4ac .,puncak atau titik balik 4a 2a Jika a 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan jika a 0, titikbaliknya adalah titik balik maksimum.4. Sumbu simetriPersamaan sumbu simetri fungsi kuadrat y ax2 bx c adalah x 5. Menggambar grafikContoh : Gambarlah grafik fungsi kuadrat dari y x2 – 4x 4Jawab : a 1, b -4, c 4a. Titik potong dengan sumbu x, maka y 0x2 – 4x 4 0 (x – 2) (x – 2) 0 x1 x2 2Jadi, titik potongnya dengan sumbu x adalah (2, 0)b. Titik potong dengan sumbu y, maka x 0y 02 – 4.0 4 4Jadi, titik potongnya dengan sumbu y adalah (0, 4).c. Koordinat titik puncak atau titik balik b b 2 4ac ,P 4a 2a ( 4) (4)2 4.1.4 (2, 0),4.1 2.1 Oleh karena a 1, maka P merupakan titik ballik minimumd. Persamaan Sumbu simetrix b ( 4 ) 22a2 .1e. Menggambar grafikb2a
yf(x) x2 – 4x 4sumbu simetri x 24 (0, 4)02(2,0)xG. Membentuk Fungsi KuadratJika sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui, maka kita dapatmenentukan rumus fungsi kuadratnya. Keterangan-keterangan yang diketahuipada sketsa grafik fungsi kuadrat seringkali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciricirinya adalah :1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(x1, 0) dan B(x2, 0, sertamelalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapatdinyatakan sebagai :y f ( x) a x x1 x x2 Dengan nilai a ditentukan kemudian2. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di A(x1, 0) dan melaluisebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakansebagai :y f ( x) a x x1 2Dengan nilai a ditentukan kemudian3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P (xp, yp) danmelalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapatdinyatakan sebagai :y f ( x ) a x x p y p2
Dengan nilai a ditentukan kemudian4. Grafik fungsi kuadrat melalui titik – titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan (x3, y3).Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :y f ( x) ax2 bx cDengan nilai a, b, dan c ditentukan kemudianReferensi:Aldres, C.J. 1987. Aljabar Untuk SMTA Dan Yang Setingkat Jilid 2. Jakarta :Pradnya Paramita.Joko S., Tri. 1997. Aljabar. Pancor : STKIP Hamzanwadi Selong.Kartini, dkk. 2004. Matematika Untuk Kelas X. Klaten : Intan Pariwara.Kurnianingsih Sri, dkk.1996. Matematika SMU. Jakarta : Yudhistira.Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika SMA. Jakarta : Erlangga.
E. Menyusun Persamaan Kuadrat 1. Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya a. Dengan perkalian faktor Jika akar-akar persamaan kuadrat ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 0 0 1 2 2 x x x x a c x a b x dengan a c dan x x a b x x 1 2 1 2 b. Dengan rumus jumlah dan hasil kali Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat PERSAMAAN KUADRAT Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita jumpai persoalan atau perhitungan yang berkaitan dengan materi persamaan kuadrat.Agar kalian lebih memahami tentang bentuk umum persamaan kuadrat dalam persoalan matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat tersebut.
F. Penerapan Persamaan dan Fungsi Kuadrat Penerapan persamaan dan fungsi kuadrat adalah pemakaian aturan persamaan dan fungsi kuadrat dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari Terdapat tiga langkah dalam menyelesaikan soal cerita dengan persamaan dan fungsi kuadrat, yautu : 1. Menetapkan variabel-variabel dari soal cerita 2.
menjadi persamaan kuadrat. 3.10 Mendeskripsikan persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan persamaan dan fungsi kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya. 3.11 Menganalisis fungsi dan persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah kontekstual.
persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan persamaan dan fungsi kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya. X/2 Persamaan Kuadrat Peserta didik dapat menentukan operasi aljabar akar-akar persamaan kuadrat Penerapan/Aplikasi 6 3.11 Menganalisis fungsi dan persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian .
Fungsi kuadrat tersebut merupakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y f(x) ax 2 bx c, dan grafik fungsi kuadrat dise but parabola. Langkah -langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana: Langkah 1: Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik -titik yang
Persamaan kuadrat 2 dan Fungsi n B. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat: ax2 bx c 0 ; a, b, c R, a 0 Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan: memfaktorkan; melengkapkan bentuk kuadrat sempurna; menggunakan rumus abc: 2 1,2 4 2 b b ac x a Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: 1 .
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester 1 A. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat www.yudarwi.com Materi W2a . A. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Diketahui suatu persamaan kuadrat : maka : ax2 bx c 0, (x – x 1)(x x – x 2) 0 dinamakan faktor-faktornya x 1 x x 2 & dinamakan akar-akarnya .
in Prep Course Lesson Book A of ALFRED'S BASIC PIANO LIBRARY. It gives the teacher considerable flexibility and is intended in no way to restrict the lesson procedures. FORM OF GUIDE The Guide is presented basically in outline form. The relative importance of each activity is reflected in the words used to introduce each portion of the outline, such as EMPHASIZE, SUGGESTION, IMPORTANT .
