KUADRAT FUNGSI, PERSAMAAN DAN . - WordPress

BAB IIFUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAANKUADRATStandar kompetensi:2. Memecahkan masalah yangpertidaksamaan i Dasar:2.1 Memahami konsep fungsi2.2 Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat2.3 Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan denganpersamaan dan pertidaksamaan kuadrat2.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaandan/atau fungsi kuadrat2.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan denganpersamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya3.1 Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahanaljabar3.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan denganpertidaksamaan satu variabel3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan denganpertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.Jembatan: Verrazano-NarrowsbridgeSumber: a/Bentuk parabola merupakan salah satu bentuk kurva yang sering Andajumpai dalam kehidupan. Salah satunya tampak pada tali menggantungmenghubungkan tiang jembatan pada gambar di atas.Kurva parabola dapat diwakili oleh suatu fungsi yang disebut fungsikuadrat. Pada bab ini Anda akan mempelajari pengertian fungsi dan caramenggambar grafiknya, termasuk grafik fungsi kuadrat.

AmarhadiA. Fungsi Kuadrat1. Relasi dan FungsiBCp1aq2b2r3c3Afs4(i)Df1d(ii)Fungsi merupakan relasi khusus. Suatu relasi dari himpunan A kehimpunan B disebut fungsi jika setiap unsur (anggota) himpunan Adipasangkan tepat satu dengan unsur himpunan B gambar (i).Sedangkan gambar (ii) yang menunjukan relasi dari C ke D bukan fungsikarena ada anggota himpunan A (yaitu b) tidak memiliki pasangandengan satu unsur himpunan B.Jika fungsi itu diberi nama f maka fungsi tersebut dapat ditulis denganlambang:f: A Bdibaca f memetakan A ke B atau B adalah peta dari A.Peta dari x sering ditulis f(x) dan bentuk f(x) disebut rumus untuk f.Contoh:1) f : x x – 5, rumusnya ditulis f(x) x - 52) f : x x2 – 2x 3, rumusnya ditulis f(x) x2 – 2x 32. Domain, Kodomain dan RangeMisalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota A ke B (f : A B)maka: Himpunan A disebut domain Hinpunan B disebut kodomain Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggotahimpunan A atau semua anggota yang merupakan peta darihimpunan A disebut rangeSebagai contoh, perhatikan gambar (i)a. Domainnya ditulis Df {p, q, r, s}b. Kodomainnya ditulis Kf {1, 2, 3, 4}c. Rangenya ditulis Rf {1, 2, 3}Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan KuadratPage 2

AmarhadiContoh 1:Diketahui fungsi f : x 2x 1 dengan daerah asal {x 1 x 3, x R}a. Carilah nilai fungsi f untuk x 1, x 2 dan x 3b. Gambarlah grafik f pada bidang cartesiusc. Tentukan wilayah hasilnya (range).Penyelesaianf : x 2x 1, rumusnya f(x) 2x 1a.Nilai fungsi f(x) 2x 1UntukUntukUntukx 1x 2x 3f(1) 2(1) 1 3f(2) 2(2) 1 5f(3) 2(3) 1 7b. Grafik f(x) 2x 1Yy f(x) 2x 17654321Oc.123domainXBerdasrkan gambar di atas, jelas bahwa daerah hasil/wilayahhasil adalah {y 3 y 7, y R}Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan KuadratPage 3

AmarhadiUji Kompetensi 1Kerjakan soal-soal berikut!1. Dari relasi-relasi pada gambar berikut ini manakah yang merupakanfungsi2. Daerah asal fungsi f : x x – 3 adalah Df {x 0 x 4, x R}a. Tentukan nilai fungsi f untuk x 0, x 1, x 2, x 3 dan x 4b. Gambarlah grafik fungsi pada bidang cartesiusc. Tentukan wilayah hasil fungsi f (Rf)3. Diketahui fungsi f : x (ax b) dengan a, b B. Jika f(1) 1 dan f(2) -1a. Carilah nilai a dan bb. Hitunglah nilai f(-2), f(-1), f(0), f(3) dan f(4)c. Gambarlah grafik tersebut pada bidang cartesius.4. Diketahui fungsi f : x 2x 1 dengan daerah asal Df {-2, -1, 0, 1, 2}.Tentukan wilayah hasilnya.3. Beberapa Macam Fungsi KhususFungsi yang termasuk fungsi khusus antara lain: fungsi konstan, fungsiidentitas, fungsi linear, fungsi kuadrat dan fungsi modulus.Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan KuadratPage 4

Amarhadi1) Fungsi konstanSuatu fungsi y f(x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta(tetapan) untuk semua nilai x dala daerah asalnya. Artinya untuksemua nilai x dalam Df hanya berpasagan dengan sebuah nilaidalam Rf atau dengan kata lain fungsi f memasangkan setiapbilangan real k.Fungsi konstan ditulis sebagai: f : x k, dengan rumus f(x) k,dengan k konstanta dan x R.Contoh 2:Y32f(x) 21OX123 1 2 3f(x) 32) Fungsi IdentitasFungsi y f(x) dengan f(x) x untuk semua nilai dalam daerahasalnya. Artinya untuk sebuah nilai x dalam Df berpasangandengan nilai x itu sendiri dalam Rf.Fungsi identitas ditulis sebagai:I : x x atau I(x) x, dengan I menyatakan identitas grafiknyaFungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan KuadratPage 5

Amarhadi3) Fungsi Modulus (Fungsi Nilai Mutlak)Fungsi y f(x) dengan f(x) x untuk semua nilai x dalam daerahasalnya atau fungsi yang memasangkan bilangan eal dengan nilaimutlaknya.Bentuk x dibaca nilai mutlak x didefinisikan:Untuk x R, maka nilai mutlak x dientukan oleh aturan x, jika x 0 x x, jika x 0Oleh karena nilai mutlak suatu bilangan real x tidak pernahnegatif, maka grafik y f(x) x tidak pernah berada di bawahsumbu x.Contoh 3:f : x x atau f(x) x 4) Fungsi LinearFungsi y f)x) dengan f(x) ax b, a, b R dan a 0 untuksemua x dala daera asalnyaFungsi linear dikenal dengan fungsi polinom (suku banyak)berderajat satu dengan variabel x.Contoh 4:f : x x 2 atau f(x) x 2Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan KuadratPage 6

Amarhadi5) Fungsi KuadratFungsi y f(x) dengan f(x) ax2 bx c. a, b dan c R dan a 0untuk semua nilai x dalam daerah aalnya.Fungsi kuadrat dikenal dengan fungsi polinom berderajat duadengan variabel x.Grafik fungsi kuadrat berbenytuk parabola dan pada kesempatanini grafik fungsi kuadrat kita akan bahas lebih lanjut.4. Sifat-sifat FungsiTelah dikenal beberapa fungsi khusus, fungsi tersebut mempunyai sifatsifat khas sebagi berikut:1) Fungsi IntoFungsi f : A B dikatakan fungsi Into jika ada b B yang bukanpeta dari a A.1. Range: Rf B2. Ada b B bukanpeta dari a Ayaitu b2Contoh 5:Misalkan A himpunan bilangan bulat dan B himpunan bilanga cacah.f suatu fungsi dri A ke B yang disajikan denga rumus f : x x2.Apakah f suatu ungsi into?PenyelesaianA {., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 .}B {0, 1, 2, 3, 4, .}AB0 31 22 130451Dari diagram di samping ternyataada anggota B yang tidakmempunyai prapeta dari anggotaA, sehingga f : x x2 adalahfungsi into.23910Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan KuadratPage 7

Amarhadi2) Fungsi Onto/Pada/SurjektifFungsi f : A B dikatakan surjektif (onto) jika setiap anggota b Bmempunyai prapeta di A atau Rf B.Rf BContoh 6:Misalkan A {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} dan B {-2, -1, 0, 1, 2}.f suatu fungsi A ke B yang disajikan dengan aturan o, jika n ganjil f ( n) n 2 , jika n genapApakah fungsi f surjektif/onto?Penyelesaian1.2.Terlihat setiap anggota Bmemunyai prapeta di ARf BSehingga f : A B adalahfungsi surjektif3) Fungsi Satu-satu/Injektif/one to oneFungsi f : A B dikatakan fungsi satu-satu jika setiap anggota Ayang berbeda mempunya peta berbeda di B.Aa1a2a3a4fBb1b2b3b4Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan KuadratPage 8

AmarhadiContoh 7:Misalkan A himpunan bilangan cacah, B himpunan bilangan bulat, fsuatu fungsi yang disajikan dengan rumus f : x x 1. Apakah fsuatu fungsi injektif.PenyelesaianA {0, 1, 2, 3, .}B {., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .}.Pada diagram di samping terlihatsetiap anggota A yang berbedamempunyai peta di B yangberbeda juga. Sehingga f : A Badalah fungsi injektif.4) Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut injektifsekaligus surjektif (satu-satu dan pada).Contoh 8:Diketahui A {1, 2, 3, 4, 5, .} dan B {2, 4, 6, 8, 10, .}. suatu fungsidisajikan f : x 2x. Apakah fungsi f suatu fungsi bijektif?PenyelesaianfAB.1. Terlihat Rf B berarti f fungsipada22. Setiap anggota A yang berbeda1mempunyai peta yang berbeda42dengan anggota B, berarti f63fungsi satu-satu.8Jadi, karena f pada dan satu-satu410maka f merupakan fungsi bijektif.5di samping terlihat setiap anggotaA yang berbeda mempunyai peta diB yang berbeda juga. Sehingga f :A B adalah fungsi injektif Page 9Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Amarhadi Note : Fungsi kepada B disebut pula fungsi surjektif (onto) Fungsi kedalam B disebut pula fungsi intoUji Kompetensi 2Kerjakan soal-soal berikut!1. Diantara fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi into, fungsipada, fungsi satu-satu dan fungsi yang merupakn korespondensi satusatu!2. Manakah yang merupakan fungsi into, fungsi pada, fungsi satu-satu danfungsi bijektif dari fungsi dengan D {1, 2, 3, 4} yang didefinisikansebagai berikut:a. R {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}; jika K {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}b. R {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1)}; jika K {1, 2, 3}c. R {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}; jika K {1, 2, 3, 4}3. Misalkan A [-1, 1] {x -1 x 1, x R}.Apakah fungsi-fungsi berikut surjektif untuka. f : A A didefinisikan f(x) xb. f : A A didefinisikan f(x) 2x - 1c. f : A A didefinisikan f(x) x2d. f : A A didefinisikan f(x) x3Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan KuadratPage 10

Amarhadi5. Grafik Fungsi KuadratFungsi kuadrat adalah fungsi dimana pangkat tertinggi dari varaibel xpada tiap fungsi sama dengan dua.Bentuk baku: f(x) ax2 bx c, a 0dengan a, b, c Ra koefisien x2b koefisien xc konstantaGrafik fungsi kuadrat berupa parabola.a.Menggambar grafik fungsi kuadrat yang sederhanaSebelum kita membahas cara-cara menggambar sketsa grafik fungsikuadrat, marilah kita ingat at kembali mengenai bentuk umumfungsi kuadrat yaitu: f(x) ax2 bx c (a 0), a, b, c R.Fungsi kuadrat tersebut merupakan fungsi kuadrat dalam peubah x.Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y f(x) ax2 bx c,dan grafik fungsi kuadrat disebut parabola.Langkah-langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yangsederhana:Langkah 1:Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yangterletak pada grafik fungsi f. Titik-titik ini dapat kita tentukandengan memilih beberapa nilai x bilangan bulat yang terletak dalamdaerah asalnya kemudian kita hitung nilai fungsi f. Titik-titik padafungsi f itu biasanya akan lebih mudah jika kita sajikan denganmenggunakan tabel atau daftar.Langkah 2:Gambarkan koordinat titik-titik yang telah kita peroleh padaLangkah 1 pada sebuah bidang Cartecius.Langkah 3:Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidangCartecius pada Langkah 2 dengan menggunakan kurva mulus.Agar Anda lebih memahami dan terampil menggambar sketsa grafikfungsi kuadrat yang sederhana dengan menggunakan langkahlangkah di atas, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini.Contoh 9:1. Gambarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan denganpersamaan f(x) x2 2x, jika daerah asalnya adalahD {x -4 x 2, x R}Penyelesaian:Grafik fungsi kuadrat f(x) x2 2x adalah sebuah parabola denganpersamaan: y x2 2x.Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan KuadratPage 11

AmarhadiLangkah 1:Kita buat tabel atau daftar untuk menentukan titik-titik yangterletak pada fungsi f.-4x2y x 2x 8-33-20-1-1001328Langkah 2:Gambarkan titik-titik (-4,8), (-3,3), (-2,0), (-1,-1), (0,0), (1,3), dan (2,8)pada bidang Cartecius seperti Gambar 3-4.Langkah 3:Hubungkan titik-titik pada Langkah 2 tersebut dengan kurva mulus,sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat f(x) x2 2x. sepertiditunjukkan pada Gambar di bawah ini. Grafik fungsi kuadrat iniberbentuk parabola.Dari grafik fungsi, dapat kita ketahui beberapa istilah sebagaiberikut:1) Daerah AsalDaerah asal fungsi f adalah {x -4 x2, x R}2) Daerah HasilDaerah hasil fungsi f adalah {y -1 y 8. y R}3)Pembuat NolUntuk nilai x 0 diperoleh f(0) 0 dan x -2 diperoleh f(-2) 0.Dalam hal ini x 0 dan x -2 disebut pembuat nol fungsi f, danpembuat nol itu merupakan akar-akar persamaan f(x) 0.Perhatikan bahwa grafik fungsi f memotong sumbu x di (-2,0)dan (0,0) sehingga pembuat nol sebuah fungsi dapat ditafsirkansebagai absis titik potong grafik fungsi f dengan sumbu x.Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan KuadratPage 12