LIMIT FUNGSI 1. Limit F(x) Untuk X C - Direktori File UPI
LIMIT FUNGSI1. Limit f(x) untuk x cx2 x 2, apakah fungsi f tersebut sama denganx 1fungsi g(x) x -2 ? Daerah asal dari fungsi g adalah semua bilangan real,sedangkan daerah asal fungsi f adalah bilangan real tetapi x 1. Dengandemikian g(x) f(x) sebab daerah asal dan daerah hasilnya tidak sama. Nilaifungsi g untuk x 1 adalah g(1) 1 -2 -1, sedangkan nilai f untuk x 1 tidak12 1 20terdefinisi sebab f(1) merupakan bentuk tak tentu.1 10Pertanyaan selanjutnya, apakah untuk x sekitar 1 nilai f itu ada? Denganmenggunakan kalkulator, coba kita cari nilai-nilai f untuk nilai-nilai x yang dekatdengan 1, seperti 0,9, 0,95, 0,99 juga 1,1, 1,05, dan 1,01 seperti terlihat dalamtabel 1.Tabel 1xx2 x 2x 053,051,13,1Gambar 1Tinjau sebuah fungsi f(x) Ternyata nilai f untuk sekitar x 1 mendekati 3 baik untuk didekati dari kiri(bilangan kurang dari 1) maupun dari kanan (bilangan lebih dari 1).Nilai f (x) untuk x sekitar 1 disebut nilai limit f(x) untuk x menuju 1 ditulisx2 x 2lim f ( x) lim 3x 1x 1x 1Nilai atau bilangan real x sekitar 1 maksudnya bilangan-bilangan x yangselisihnya dengan 1 sangat kecil (mendekati 0).xSekarang perhatikan g(x) untuk x 0 jelas nilai g tak terdefinisi. Sekarangxkita cari nilai-nilai g untuk x sekitar 0 baik dari sebelah kiri 0 atau sebelah kanan0.
192yTabel ,010,1x0Gambar 2.Didekati dari sebelah kiri 0 nilai g adalah -1 sedangkan untuk nilai sebelah kananx0 adalah 1. Nilai g untuk x sekitar 0 berbeda, bila demikian limtidak adax 0 xTugas 1Dengan menggambarkan grafik fungsi, bila ada carilah nilai limit fungsi berikut.1. lim 4 x 6x 22. limx 3x2 x 6x 33. Periksa apakah limx 1x 1ada!x 1 x2 , x 04. Perhatikan grafik fungsi f berikut ini, dengan f(x) x 1, x 0y42-4-2024x-2-4Gambar 3Apakah lim f ( x) ada? Berikan alasan!x 0
1932. Teorema SubsitusiIngat kembali fungsi sukubanyak f yang memiliki bentukf ( x) a n x n a n 1 x n 1 . a1 x a 0Juga fungsi rasional dengan pembilang dan penyebutnya berupa fungsisukubanyak dengan bentuka x n an 1 x n 1 . a1 x a0f ( x) n mbm x bm 1 x m 1 . b1 x b0 Jika f suatu fungsi sukubanyak maka lim f ( x ) f ( c ) Jika f suatu fungsi rasional dan untuk x c penyebutnya tidak nol,maka lim f ( x ) f ( c )x cx cContoh 1Hitunglah lim( 2 x 2 3 )x 2Jawab:Karena f(x) 2x3 – 3 adalah suatu fungsi sukubanyak, makalim 2 x 2 3 f(2) 2.22 -3 5x 2Contoh 27 x 3 x 2 5 x 40x 23x 2 x 10Carilah limJawab:7 x 3 x 2 5 x 407(2) 3 (2) 2 5.2 40 101lim 2 f(2) 22x 2423.2 2 103x x 10Contoh 3x2 x 2x 2x 2Karena untuk x 2 nilai fungsi pembilang dan penyebut sama dengan 0, makaTeorema Subsitusi tidak berlaku. Bentuk 0/0 disebut bentuk tak tentu, dan untukmencari nilai limitnya dilakukan penyederhanaan aljabar dengan faktorisasiseperti berikut.Carilah limx2 x 2( x 2)(x 1) lim lim ( x 1) 3x 2x 2x 2x 2x 2Pembilang dan penyebut dapat dibagi (x-2) sebab untuk x 2 , x -2 0limTugas 2Carilah nilai limit berikut ini.1. lim 3x 5x 3 4y2 8y 2. lim y 2 y 4 13
194x 2 7 x 103. limx 2x 22x 14 51 x 25. limx 3x 2 4 x 21x2 x 24. limx 1x2 13. Limit Fungsi di Takhingga dan Limit Fungsi Bernilai Takhingga1Perhatikan fungsi f(x) , x 0, untuk menggambar grafik fungsi tersebutxperhatikan nilai f(x) yang disusun pada Tabel 3.Tabel 3x 0,00010,0010,010,10,51241020501001.00010.000 x1 x 10000100010010210,50,250,10,050,020,010,0010,0001 . 0-10.000 1 x . 1 Berdasarkan Tabel 3 di atas dapat digambarkan grafi f(x) seperti terlihat pada Gambar 4 berikut1 , dengan x 0x
195108642-2-101x2Gambar 4Berdasarkan Gambar 4 dan Tabel 3, dapat disimpulkan1(1) untuk x maka nilai f(x) 0,x1(2) demikian pula x 0 nilai f(x) ,x11Dengan kata lain (1) lim 0 dan (2) lim , yang pertama merupakanx xx 0 xcontoh nilai limit fungsi di takhingga, sedangkan yang kedua adalah limit fungsibernilai tak hingga.1 0 dapat diturunkan bahwa untuk k bilangan aslix xDari fakta lim1 0,x x klimk111 karena lim k lim ( ) k lim ( ) 0 k 0x xx x x x Tugas 3Tentukan nilai limit berikut24x1. lim 32. limx xx x22x2x 34. lim5. limx xx x3. lim x 1x
1964. Teorema Utama Limit FungsiBila n bilangan asli, k suatu konstanta, serta f dan g fungsi yang memilikilimit di x c, maka(1) lim k kx c(2) lim x cx c(3) lim kf ( x ) k lim f ( x )x cx c(4) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x )x cx cx c(5) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x )x cx cx c(6) lim f ( x ).g( x )] lim f ( x ).lim g( x )x c(7) limx cx cx cf(x)f ( x ) limx c , lim g( x ) 0g( x ) lim g( x ) x cx c(8) lim [ f ( x )] n [ lim f ( x )] nx cx c(9) lim n f ( x ) n lim f ( x )x cx cPenggunaan sifat-sifat limit fungsi di atas dapat dilihat dari contoh-contoh berikut.Contoh 1Tentukan lim 4 x 2x 3Jawab:lim 4 x 2 4 lim x 2 4 [lim x]2 4 [3]2 36x 3x 3x 3(3)(8)Contoh 2Tentukan lim (2 x 3 4 x)(2)x 2Jawab:lim (2 x 3 4 x) lim 2 x 3 lim 4 x 2 lim x 3 4 lim x 2(lim x) 3 4 lim xx 2x 2(5) 2.(2)3 – 4.2 8(2)x 2x 2(3)x 2x 2(8)x 2
197Contoh 3Tentukan limx 110 x 22xJawab:(9)lim 10 x 210 x 2lim x 1 x 12xlim 2 xx 1(7)(5)lim 10 lim x 2lim 10 x 2x 12 lim x x 1(3)x 1x 12 .1(2)(1) 1110 1 4,510 (lim x) 2 x 122(8)(2)Contoh 42 x 2 3x 10Carilah lim 2x x 5 x 2Jawab:2 x 2 3x 10lim 2 limx x 5 x 2x 3 10 x x 2 pembilang dan penyebut dibagi x2.5 21 2x x2 Berdasarkan teorema utama limit diperoleh3 1011 2lim 2 3 lim 10 lim 2x xx x2 0 0x x x 2limx 115 21 0 0lim 1 5 lim 2 lim 21 2x x xx xx x2
198Contoh 52x 1Carilah limx x2 3Jawab:12x 1x 2 0 2lim limx x 31x2 31 2xPembilang dan penyebut dibagi x dan ingat di dalam tanda akar harus dibagi x 2,2 x2karena x Contoh 6Carilah lim ( 2 x 2 3x 2 x 2 5 )x Jawab:lim ( 2 x 2 3x 2 x 2 5 ) x lim ( 2 x 2 3x 2 x 2 5 ) 2 x 2 3x 2 x 2 5 2 x 2 3x 2 x 2 53x 5(2 x 2 3x) (2 x 2 5)) lim (lim (22x 22x 2x 3x 2x 52 x 3x 2 x 5x 3 lim (x 2 5x35 2 2xx) 3 02 0 2 0 32 2 3 24Tugas 4Untuk soal nomor 1 sampai dengan 3 diketahui lim f ( x) 3 dan 4. lim g ( x) 1x aCarilah nilai limit berikut.1. limx af 2 ( x) g 2 ( x)2. lim 3 g ( x)[ f ( x) 3]x a3. lim f ( x) 3g ( x) x aHitunglahx24. limx ( x 5)( 3 x )5. limx x2 x 3x2 1x a
199x 2 3x 2x x3 16. lim7. limy 9y3 1y2 2y 28. lim ( x 2 2 x x)x Untuk soal nomor 9 dan 10. carilah limx 2f ( x) f (2)apabila lim f ( x) 3x ax 229. f(x) 3x 2x 1310. f(x) 2x5. Limit Fungsi TrigonometriPada fungsi trigonometri sering digunakan dua macam satuan sudut yaituderajat dan radian. Simbol sin x0 berarti satuan yang digunakan adalah satuanderajat, sedangkan bila satuan radian disimbolkan sin x saja. Dalam limittrigonometri satuan yang digunakan adalah satuan radian.Seperti telah kita ketahui bahwa 1 putaran 3600 2 radian 2.(3,14)radian, atau 1 radian 57, 30 . Perlu diingat bahwa satuan radian tidak pernahditulis dibelakang ukuran sudut. Jadi bila ukuran sudut tidak ada simbulderajatnya berarti satuannya adalah radian. Sebagai contoh, sin 30 tidak samadengan sin300 , sin 300 ½ tetapi sin 30 artinya sin 30 radian - 0,99.Teorema subsitusi dapat digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi disuatu titik dari fungsi sukubanyak sebab grafik fungsi tersebut berupa kurva yangtidak terputus putus (ingat daerah asalnya bilangan real). Sekarang kita mengingatkembali tentang grafik fungsi f(x) sin x, g(x) cos x, dan h(x) cos x.10.50x-0.5-1f(x) sin x
20010.50x-0.5-1g(x) cos x1086420-27x-4-6-8-10h(x) tan xTugas 5Berdasarkan gambar-gambar di atas, carilah nilai limit berikut.1. lim sin x2. lim cos x3. lim tan xx x x 24. lim sin xx a6. Adakah nilai lim tan x ? Mengapa?5. lim cos xx bx 2Sebelum kita membicarakan limit fungsi trigonometri, sekarang perhatikansuatu teorema yang penting mengenai limit fungsi yang dikenal dengan TeoremaApit:Misalkan f, g, dan h adalah fungsi yang memenuhi f(x) g(x) h(x) untuk semuax yang memuat c. Jika lim f ( x) lim h( x) L , maka lim g ( x) Lx cx cx c
201yf4g2-10123xh-2-4Gambar 4Sebagai contoh, perhatikan sketsa grafik f, g, dan h pada Gambar 4., f(x) x2 -2x 3,g(x) ¼ x 7/4, dan h(x) -x2 2x 1. Untuk -1 x 3 terlihat f(x) g(x) h(x). sehinggalim f ( x) lim g ( x) lim h( x) lim ( x 2 2 x 3) lim g ( x) lim ( x 2 2 x 1)x 1x 1x 1x 1x 1x 11717 2 lim ( x ) 2 lim ( x ) 2x 1 4x 1 444Ambil kasus untuk c 0, akan ditunjukkan bahwa lim sin t 0 . Misalkan t 0t 0dan titik A,B, dan P dengan lingkaran berjari-jari satu satuan (lingkaran satuan).Dari Gambar 5., dapat diperoleh kesimpulan 0 BP Busur AP. Sedangkan BPtBP 2 .1 t, sehingga disimpulkan 0 sin t dan panjang busur AP 2 1sin t t. Berdasarkan teorema apit0 lim sin t lim t 0 lim sin t 0 lim sin t 0.t 0t 0t 9t 9yP(cos t, sin t)1tOGambar 5.BA x
202Selanjutnya dengan menggunakan identitas trigonometri dapat dicari lim cost lim 1 sin 2 t 1 lim sin tt 0t 0t 0 2 1 02 1Sekarang akan ditunjukkan lim sin t sin c . Misalkan h t –c, sehinggat ch 0 ekivalen dengan t clim sin t lim sin(c h) lim sin c cos h cosc sin h t ch 0h 0Ingat identitas sin (A B) sin A cos B cos A sin Blim sin c cos h cosc sin h sin c lim cos h cosc lim sin h sin c. 1 cos c. 0 h 0h 0h 0sin c.Dengan menggunakan identitas cos t 1 sin 2 t dapat ditunjukkanlim cos t cos ct c lim cost lim 1 sin 2 t 1 lim sin tt ct ct c 2 1 sin 2 c cos2 c cosc .Teorema Limit Trigonometri Khusustsin t1. lim2. lim 1 1t 0 sin tt 0ttan tt3. lim4. lim 1 1t 0t 0 tan ttBukti:tlim 1t 0 sin tPerhatikan luas daerah OAP, luas juring OAP, dan luas daerah OAQ padaGambar 6., diperoleh kesimpulanyP Q (1,tan t)1tOGambar 5.BA x
203Luas daerah OAP Luas Juring OAP Luas daerah OAQLuas daerah OAP alas tinggi OA BP 1 sin t sin t 2222t luas lingkaran t (1) 2 t 2 2 2alas tinggi OA AQ 1 tan t tan tLuas daerah OAQ 2222Selanjutnya diperolehsin t t tan tt1 sin t t tan t 1 222sin t costt1tt1 1 lim 1 limlim 1 lim lim 1. t 0t 0 sin tt 0 costt 0 sin tt 0 sin tlim costLuas Juring OAP t 0Berdasarkan Teorema Apit disimpulkan limt 0t 1sin tBukti:sin tlim 1t 0t 1sin tlim lim t 0t 0 tt sin t 11 1t1 limt 0sin t sin t tan tlim lim costt 0t 0 tt 1.1 1 lim sin t lim sin t 1 lim sin t lim 1 t 0 costcost t 0 t t 0 t cost t 0 t ContohCarilah nilai limit berikutsin 4 xsin 3 x(a) lim(b) limx 0x 0xtan 2 xJawab:sin 4 xsin 4 xsin 4 x(a) lim lim 4 4 lim 4.1 4x 0x 0x 0x4x4x
204sin 3 x1 sin 3x 1sin 3x limsin 3 x3 x 2 x 0 3 x(b) lim lim 6 x lim 2x 0 tan 2 xx 0 1x 0 tan 2 xtan 2 x 1tan 2 x lim6x32x3 x 0 2 xMisalkan y 3x dan z 2x, jika x 0, maka y 0 dan z 01sin y1sin 3x1limlimy 02y3x 023x 2 1tan z1tan 2 x1 2limlim3 z 0 z3 x 0 2 x3Tugas 5Hitunglahcos 2 tt 0 1 sin t1. (a) limsin 3 02 sin(3t ) 4t3. (a) limt 0t sec t2. (a) limsin x cos x 1 tan xx 4. lim43 x tan xx 0 sin x(b) limtan 5 0 sin 2 1 cos2t(b) limt 0t2cos2 z(b) lim z 1 sin z(b) lim2f ( x h) f ( x )untukh 0h(a) f(x) sin x(b) f(x) tan x5. Hitunglah lim
Teorema Subsitusi tidak berlaku. Bentuk 0/0 disebut bentuk tak tentu, dan untuk mencari nilai limitnya dilakukan penyederhanaan aljabar dengan faktorisasi seperti berikut. 2 ( 2)( 1) lim 2 x x x x lim( 1) 2 x x 3 Pembilang dan penyebut dapat dibagi (x-2) sebab untuk x 2 , x -2 0 Tugas 2 Carilah nilai limit berikut ini. 1. lim 3 5 3 x .
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah 1.2 Kompetensi Dasar Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan tri-gonometri 1.3 Indikator 1.Menjelaskan pengertian limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi
1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Konsep turunan fungsi sangat berguna membantu memecahkan masalah ekonomi, namun demikian konsep turunan fungsi didasarkan atas konsep limit fungsi.
Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi. 5. Menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar. 6. Membedakan cara menentukan limit fungsi aljabar dengan cerdas. 7. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. 8. Mampu bekerjasama dalam kelompok belajar dan peduli kepada teman
3.7.2 Menjelaskan eksistensi limit fungsi aljabar di suatu titik secara intuitif. Pertemuan ke-2 3.7.3 Menjelaskan sifat-sifat limit fungsi aljabar. 4.7.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat limit fungsi aljabar. Pertemuan ke-3 3.7.4 Menentukan nilai limit fungsi dengan strategi subtitusi langsung.
Fungsi kuadrat merupakan merupakan fungsi polinom berderajat dua bentuk umum persamaan fungsi kuadrat adalah : y a bx cx2 atau y cx2 bx a dimana cz0. Contoh fungsi kuadrat dalam bentuk grafik di gambarkan sebagai berikut : y y x2 x 3.1.1 Penyelesaian Persamaan Kuadratik Penyelesaian persamaan kuadratik merukan pencarian akar-akar dari persamaan .
Fungsi kuadrat tersebut merupakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y f(x) ax 2 bx c, dan grafik fungsi kuadrat dise but parabola. Langkah -langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana: Langkah 1: Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik -titik yang
A. Limit Fungsi Aljabar A.1. Teorema Limit Fungsi Aljabat Pada Titik Tertentu Pada penyelesaian limit fungsi harus menghidari nilai-nilai tak tentu, diantaranya adalah , , 0, , 0 0 a Berikut beberapa teorema penyelesaian limit fungsi aljabar Contoh Soal : 1. lim 5 5 2 x 2. b b x 5 lim 3. lim (3 2) 3 2 2 .
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri. Menentukan invers suatu fungsi TUJUAN PEMBELAJARAN : 1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut 2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan. 3.
