Aspectos Prácticos En La Identificación Adaptable De Los .
Congreso Nacional de ControlAutomático, AMCA 2015,Cuernavaca, Morelos, México.551Aspectos prácticos en la identificaciónadaptable de los parámetros de unamortiguador magnetoreológicoRolando Carrera, Luis Alvarez-Icaza Instituto de Ingenierı́a, Universidad Nacional Autónoma de México,(e-mail: rcarrera@unam.mx, alvar@pumas.ii.unam.mx)Resumen: El control semiactivo con amortiguadores magnetoreológicos requiere del modelodel amortiguador, pero los parámetros del modelo no son constantes, por lo que se hacenecesaria una identificación recursiva de ellos, lo que obliga a un esquema de control semiactivoadaptable. El modelo LuGre modificado para estos amortiguadores presenta caracterı́sticasque lo hacen ad hoc para esta aplicación. Se revisan dos opciones de este modelo y se comparasu desempeño. Para no entrar en conflicto con métodos numéricos para integrar o derivar selleva a cabo una realización discreta, tanto del modelo como de su identificación por mı́nimoscuadrados recursivos.Palabras clave: Control semiactivo, identificación de parámetros, amortiguadores magnetoreológicos, mı́nimos cuadrados recursivos.1. INTRODUCCCIÓNpropone que la caracterización se realice usando comofuente de excitación el sismo mismo y en tiempo real.Controlar la respuesta sı́smica de estructuras civiles esimportante para prevenir daños personales y económicos.Esto es particularmente cierto en regiones de alta sismicidad. El daño que pueden sufrir las estructuras dependefuertemente de las caracterı́sticas de la excitación sı́smicay de las propiedades de vibración de la estructura. Enmuchos casos, como por ejemplo en la Ciudad de Méxicodurante el sismo de septiembre de 1985, la interacciónentre el suelo y las ondas sı́smicas produjo movimientos delterreno que, además de la extraordinaria larga duración,presentaron aceleraciones importantes en ciertas frecuencias en particular.Este trabajo se compone de la siguiente manera. Enla sección dos se presenta brevemente la evolución delmodelado del AMR partiendo de un modelo con unacantidad significativa de parámetros hasta llegar a unosimple conocido como LuGre modificado. En la sección tresse detalla la instalación experimental en la que se llevarona cabo los experimentos de identificación adapatable delAMR. La sección cuatro muestra la versión discreta delos modelos en cuestión y explica el algoritmo recursivode identificación discreto por mı́nimos cuadrados. En lasección cinco se presentan los resultados de identificar losparámetros del amortiguador con dos versiones diferentesdel modelo de LuGre. Finalmente en la sección seis sepresentan los conclusiones de este trabajo.El enfoque que se adopta en este artı́culo para protegerla estructuras civiles consiste en suponer que si bien esprácticamente imposible impedir que un sismo mueva unaestructura, sı́ es factible conseguir que los desplazamientosde ésta no la lleven a sufrir deformaciones plásticas quela dañen irremisiblemente. Para evitar ello se propone uncontrol semiactivo con amortiguadores magneto-reológicos(AMR) que atenúen el efecto del sismo.Pero antes de poder usar un AMR en un esquema decontrol realimentado es necesario tener un modelo apropiado de él. En los últimos años se han propuesto diversosmodelos para su modelado, ver Wang y Llao (2011). Peroen este trabajo nos concentramos en el modelo LuGremodificado en particular, por su simplicidad.Tradicionalmente las pruebas que se le realizan a unamortiguador son hechas en una máquina universal 1 , perono siempre se tiene acceso a una para realizar las pruebasde caracterización de un amortiguador, por lo que aquı́ se1Máquina con actuadores hidráulicos que ejercen grandes fuerzasde compresión o tensión en materiales o dispositivos, usualmenteconocida como MTS.Reserva de Derechos No. EN TRÁMITE, ISSN. EN TRÁMITE2. BREVE RESEÑA DEL MODELO LUGRE PARAEL AMORTIGUADOR MAGNETO-REOLÓGICOComo un ejemplo de amortiguador magneto-reológico setiene el RD-1003-5 de Lord Co. En la Figura 1 se muestra un diagrama del amortiguador con sus componentesprincipales. El principio de funcionamiento es el siguiente.Al moverse el émbolo que está fijo al vástago, el fluidomagnetoreológico es forzado a pasar a través de los orificios en el émbolo, por otro lado, las bobinas crean uncampo magnético en los orificios, que al variar el campomodifican la viscosidad del fluido y con ello la respuestadel amortiguador.Uno de los modelos que mejor caracteriza el comportamiento histerético de un amortiguador magnetoreológicoes el Bouc-Wen (Wen (1976)) dado por la ecuaciónF (x, ẋ) g(x, ẋ) αz(x)(1)
Congreso Nacional de ControlAutomático, AMCA 2015,Cuernavaca, Morelos, México.552La relación de las ecuaciones (3), (4) y (5) con el campomagnético está dada de la siguiente manera. Se asumeque el parámetro α es función del voltaje, de resultadosexperimentales se observa un comportamiento lineal, lasconstantes del amortiguamiento viscoso también varı́anlinealmente con el voltaje, por tantoα αa αb u, c1 c1a c1b y c0 coa c0b(6)donde u es una variable intrı́nseca que es función delvoltaje aplicado bajo la siguiente relaciónFigura 1. Diagrama esquemático del amortiguador RD1003-5Donde F es la fuerza restauradora en un sistema no linealcon histéresis y está compuesta de dos partes: g(x, ẋ) esla componente no histerética y αz(x) es la componentehisterética y z es una variable auxilar que está en funcióndel desplazamiento. α es un factor de escala. La variablez está gobernada porż γ ẋ z z n 1 β ẋ z n Aẋ(2)donde ż denota la derivada en el tiempo y los parámetrosβ. γ, A y n dan forma al lazo de histéresis.Un modelo de AMR que es ampliamente usado es elpropuesto por Spencer (Spencer et al. (1997)) que es unamodificación del Bouc-Wen. El modelo Bouc-Wen no tieneun buen desempeño en la región donde la aceleración yla velocidad tienen signos contrarios y la magnitud de lavelocidad es pequeña. Para mejorar el desempeño en estaregión Spencer propone un modelo fenomenológico comoel de la Fig. 2 donde la parte que es aportada son el resortek1 y el amortiguador c1 .u̇ η(u v)(7)η representa el tiempo de respuesta del AMR, valoresgrandes de η significan tiempos de respuesta rápidos y ves el voltaje aplicado.Por otro, lado la fricción en los sistemas de control tieneun rol importante ya que puede causar problemas del tipoerror de seguimiento, ciclos lı́mite y otros; por lo que unabuena estrategia de control requiere un modelo apropiadode la fricción. Canudas et al. (1995) propusieron un modelode fricción dinámica como el mostrado en la Fig. 3 en elque dos cuerpos rı́gidos hacen contacto a través de cerdaselásticas. Cuando una fuerza tangencial es aplicada lascerdas se flexionan como resortes lo que provoca la fuerzade fricción.Figura 3. La interfase de la fricción entre dos superficieses vista como contacto entre cerdas.La deflexión promedio de las cerdas es denotada por z yestá modelada porż ẋ Figura 2. Modelo propuesto por Spencer para el AMRConsiderando que las fuerzas en ambos lados de la barraintermedia son iguales, se obtienec1 ẏ αz k0 (x y) c0 (ẋ ẏ)donde ẋ es la velocidad tangencial relativa entre las dossuperficies. El primer término determina una deflexión quees proporcional a la integral de la velocidad relativa. Enel segundo término g es positiva y depende de muchosfactores como propiedades del material, lubricación, temperatura. La fuerza de fricción por la flexión de las cerdasestá descrita porF σ0 zv σ1 ż σ2 ẋ(4)donde σ0 es la rigidez, σ1 es el coeficiente de amortiguamiento y σ2 ẋ es una fricción viscosa debida a la velocidadrelativa. A las ecuaciones (8) y (9) se les conoce como elmodelo LuGre 2 para el fenómeno de fricción.(9)Como el modelo de Bouc-Wen contiene muchos parámetros y ecuaciones, esto lo hace complejo para aplicacionesLa fuerza total puede ser escrita como2F c1 ẏ k1 (x x0 )(8)(3)donde la variable z está gobernada porż γ ẋ ẏ z z n 1 β(ẋ ẏ) z n A(ẋ ẏ) ẋ zg(ẋ)(5)Esto por las universidades donde laboraban los autores: Lund yGrenobleOctubre 14-16, 2015.
Congreso Nacional de ControlAutomático, AMCA 2015,Cuernavaca, Morelos, México.553en tiempo real, por lo que Alvarez y Jiménez (2002)propusieron un nuevo modelo para los amortiguadoresmagneto-reológicos usando par ello el modelo de LuGrey adecuándolo para los amortiguadores magnetoreológicos(conocido como el mLuGre), el modelo propuesto está dado por las siguientes ecuaciones para f y ż (conocidoactualmente como mLuGre), en las que v es el voltajeaplicado a la fuente del campo magnético y z se interpretacomo una medida de la deformación elástica del fluidomagnetoreológico.f σ0 zv σ1 ż σ2 ẋ(10)ż ẋ σ0 a0 ẋ z(1 a1 v)(11)Figura 4. Diagrama funcional del sistema experimentalEn el trabajo de Jimenez y Alvarez-Icaza (2005) se demuestra como el modelo mLuGre tiene un comportamientoigual al propuesto por Spencer, ecuaciones (3)-(5).No obstante las virtudes del modelo anterior, es difı́cilcalcular una entrada de voltaje óptima que produzca unafuerza de amortiguamiento deseada, debido a la dinámicacomplicada de z, i. e., dificilmente se puede crear unmodelo inverso. Para atacar este problema Sakai et al.(2003) propusieron una modificación al mLuGre como lomuestran las siguientes ecuacionesf σa z σ0 zv σ1 ż σ2 ẋ σb ẋv(12)ż ẋ σ0 a0 ẋ z(13)Las pruebas de estabilidad y convergencia se encuentranen los trabajos citados, por eso no se reproducen aquı́.Unas de sus caracterı́sticas es que tiene una forma bilinealcon respecto al voltaje v, y éste no tiene influencia en ladinámica no lineal de z; se tiene además un coeficienteviscoso proporcional a v.Figura 5. Modelo de la esructura y ubicación del AMR3. INSTALACIÓN EXPERIMENTALLos experimentos se llevaron a cabo en un arreglo experimental -ver Carrera et al. (2009)- que consta de tres partesprincipales: la mesa X-Y, actuada por motores lineales ysobre la cual se monta el modelo de una estructura civil;el centro de comando que opera la mesa; y el centro de adquisición de datos que también funciona como controladorcuando se cierra el lazo. Ver su diagrama funcional en laFig. 4.La configuración de la estación experimental consiste básicamente de tres elementos que son dos computadoras y lamesa X-Y. La primera computadora genera los movimientos que debe seguir la mesa y la segunda es el sistema deadquisición de datos para fines de identificación o control.Sobre la mesa se fija el modelo de una estructura como lamostrada en la Fig. 5.El amortiguador MR se encuentra fijo entre la base y elprimer piso. En la Fig. 6 se muestra el arreglo que consistede un amortiguador RD-1005-MR de Lord Co., el sensorde presión 41A de Honeywell y las torres de fijación.El amortiguador tiene las siguientes caracterı́sticas: unacarrera de 5 cm, una fuerza reactiva de hasta 2200 N , unFigura 6. Arreglo torres-sensor-AMRrango de corriente de 0.0 a 2.0 A generado por una fuentede corriente con entrada de 0.0 a 5.0 V.En cada piso se tiene un sensor de posición con tecnologı́alaser (elemento de medición por tringuláción óptica deun rayo laser visible, modelo optoNCDT 1302 de MicroEpsilon)con un rango de medición de 200 mm y uno deaceleración (acelerómetro fuerza-balance de 2 g, modeloUS5 de CFX Technologies) en el eje X y uno de desplazamiento y dos de aceleración, para medir torsión, en el ejeY. En la base sólo se tienen uno de aceleración y uno dedesplazamiento por cada eje.Octubre 14-16, 2015.
Congreso Nacional de ControlAutomático, AMCA 2015,Cuernavaca, Morelos, México.5544. ESTIMACIÓN PARAMÉTRICA ADAPTABLE DELAMORTIGUADOR MAGNETO REOLÓGICOfˆ(k) Û T (k)θ̂(k) ẑ(k) φ(ẋ(k), v(k), ẑ(k), f (k))Retomando las ecuaciones del modelo modificado deLuGre de Jimenez y Alvarez-Icaza (2005)fJ σ0 zJ v σ1 żJ σ2 ẋ(14)żJ ẋ σ0 a0 ẋ zJ (1 a1 v)(15)con k la variable discreta y Û T (k) el vector de mediciones, θ̂(k) el vector de parámetros y ẑ(k)la derivada discretade la variable interna del amortiguador, todos ellos obtenidos al muestrear las señales continuas descritos en lasección anterior. Para el algoritmo de mı́nimos cuadradosrecursivos se parte de las siguientes ecuacionesSustituyendo (15) en (14) se obtienefJ σ0 zJ v (σ1 σ2 )ẋ σ0 σ1 a0 ẋ zJ σ0 σ1 a0 a1 ẋ zJ(16)TDefiniendo θJ [σ0 , σ1 σ2 , σo σ1 a0 , σo σ1 a0 a1 ] yUJ [zJ v, x, ẋ zJ , ẋ zJ v]T con θJ el vector deparámetros y UJ el vector de mediciones, entonces(17)fJ UJ T θJpero zJ es una variable no conocida, por lo que se usaun estimador para calcular ẑJ por lo que UJ cambia aÛJ [ẑJ v, ẋ, ẋ ẑJ , ẋ ẑJ v]T y la fuerza estimadaes fˆJ ÛJT θJ , pero θJ son los parámetros nominales dela planta y en su lugar se usarán los estimados, es decir,θ̂J [σ̂0 , σ1 σ̂2 , σ̂o σ1 â0 , σ̂o σ1 â0 â1 ]T . Como se tienencinco parámetros desconocidos y cuatro ecuaciones paracalcularlos, se supone σ1 conocida sin perder generalidad,ya que σ2 puedo compensar el posible error al hacer estesupuesto. La expresión para la fuerza estimada esfˆJ Û T θ̂J(18)JEl estimador se obtiene a partir de (15) de la siguienteforma(19)ẑ J ẋ σ̂0 â0 ẋ ẑJ (1 â1 v) δ1 f Jdonde δ1 es una ganancia de realimentación y el errorde estimación de la fuerza es f J f fˆJ , f la fuerzamedida, σ̂0 , â0 y â1 son parámetros estimados. La acciónde retroalimentar el error de estimación de la fuerza, f J ,lleva a una mejor estimación de ẑ y con ello la de θ̂.De igual manera, retomando el modelo de Sakai et al.(2003)fS σa zS σ0 zS v σ1 żS σ2 ẋ σb ẋv(20)żS ẋ σ0 a0 ẋ zS(21)se llega afˆS ÛST θ̂S(22)conÛS [ẑS , ẑS v, ẋ ẑS , ẋ, ẋv]T , y(23)Tθ̂S [σ̂a , σ̂0 , σ1 â0 , σ1 σ̂2 , σ̂b ](24)Para ẑS , se usa su estimado con la ecuación (21) modificada(25)ẑ S ẋ σ̂0 â0 ẋ ẑS δ2 f S donde δ2 es la ganancia de retroalimentación y fS f fˆS ,f es la fuerza medida y fˆS la fuerza estimada.4.1 Identificación por mı́nimos cuadrados recursivosPara la identificación recursiva de los parámetros del AMRse empleó el método descrito en el libro de Isermanny Münchhof (2011) para el cual se emplean las señalesdiscretas(26)(27)θ̂(k) P (k)Û T (k)fˆ(k)(28) 1(29)TP (k) (Û (k)Û (k))que son resultado de minimizar la función de costo V eT e con e el error de estimación e f U T θ. El algoritmoconsiste en resolver las siguientes ecuaciones en orden deaparición:γ(k) P (k)Û (k 1)(30) 1)P (k)Û (k 1)θ̂(k 1) θ̂(k) γ(k)(fˆ(k 1) Û T (k)θ̂(k)) (31)1 Û T (kP (k 1) (I γ(k)Û T (k 1))P (k)(32)que requiere conocer los valores iniciales P (0) y θ̂(0).Para calcular la derivada discreta de ẑ se emplea la reglarectángular hacia atrás, esto es, de la ecuación (27)ẑ(k) ẑ(k 1) φ(ẋ(k), v(k), ẑ(k), f (k))(33)Tmcon Tm el periodo de muestreo.5. RESULTADOSComo nuestro objetivo es usar el modelo de LuGre modificado para nuestras aplicaciones de control en estructurasciviles y al momento tenı́amos dos opciones: la de Jiménez- ecuaciones (18) y (19)- y la de Sakai -ecuaciones (22)y (25)-, para determinar cuál usaremos se procedió acomparar su desempeño, usando para ello el algoritmo deidentificación de Isermann -ecuaciones (30) a la (33)-.Los resultados abajo mostrados son consecuencia de unabúsqueda exhaustiva de condiciones iniciales y ganancias,de las cuales se muestran las que dieron un mejor resultadocon cada modelo.En ambos experimentos se uso la misma señal de referencia, Fig. 7, para el movimiento de la mesa en la direcciónaxial del amortiguador. Esta señal se consiguió al integrardos veces el registro de aceleraciones obtenido duranteel sismo del 19 de Septiembre de 1985 en el área de laSecretarı́a de Comunicaciones y Transporte en la Ciudadde México. El registro está escalado para las dimensionesde la mesa. El periodo de muestreo empleado fue Tm 0.01s. Es práctica común que en un sistema de adquisisción dedatos se usen filtros analógicos antialias, en nuestro casodecidimos usarlos digitales ya que la atenuación del ruidoexistente en las señales medidas fue semejante, por lo quefue más práctico hacer el filtrado por software; se usaronfiltros Butterword pasabajas con una frecuencia de cortede 25 Hz para los desplazamientos y de 5 Hz para lavelocidad.Octubre 14-16, 2015.
Congreso Nacional de ControlAutomático, AMCA 2015,Cuernavaca, Morelos, México.555Figura 7. Señal de referencia para el desplazamiento de lamesa X-YPara el modelo de Jiménez se aplicó una señal de voltaje(v, generada de manera aleatoria en cada corrida) mostrada en la Fig. 8, en la que se observan también la fuerza(f ) y la velocidad del émbolo (ẋ) medidos. ẋ se obtuvoal derivar la lectura de desplazamiento relativo del primerpiso con respecto a la base, x x1 xg .Figura 10. Corrida experimental con el modelo de Jiménez.Fuerza medida y error de estimaciónFigura 11. Corrida experimental con el modelo de Sakai.Datos de entradaFigura 8. Corrida experimental con el modelo de Jiménez.Datos de entradaCon σ1 10, O(0) [0,4 420 2400 105]T y P (0) [400 400 400 400]T y δ1 5, 000 se obtuvieron losparámetros mostrados en la Fig. 9.Figura 9. Corrida experimental con el modelo de Jiménez.Parámetros estimadosEn la Fig. 10 se pueden observar la fuerza estimada y elerror cometido en la estimación.Para el modelo de Sakai se aplicó una señal de voltaje (v)mostrada en la Fig. 11, en la que se observan también lafuerza (f ) y la velocidad del émbolo (ẋ) medidos.Con σ1 0.13, O(0) [5400 200 0,4 50]T y P (0) [10000 10000 10000 10000]T y δ2 0.13 se obtuvieron losparámetros mostrados en la Fig. 12.Figura 12. Corrida experimental con el modelo de Sakai.Parámetros identificadosEn la Fig. 13 se pueden observar la fuerza estimada y elerror cometido en la estimación.En cuanto a la instalación experimental, en la Fig. 14se muestra una fotografı́a dende se pueden apreciar losmotores lineales, la plataforma donde se fija la estructuray el amortiguador con el sensor de presión fijo a él.Octubre 14-16, 2015.
Congreso Nacional de ControlAutomático, AMCA 2015,Cuernavaca, Morelos, México.556del desplazamiento, esto provocó que al obtener la velocidad a partir de la medición de desplazamientos ésta tuvieraun ruido considerable que afectaba la identificación, poreso, además del filtro antialias se incluyó en el algoritmode identificación un segundo filtro a una frecuencia de cortemás baja que se determinó de manera heurı́stica y ésta fuede 10 Hz.En la tabla del cuadro 1 se resumen los valores de losparámetros obtenidos con ambos métodos y que son presentados en este trabajo. Las primeras dos columnas sonpara el modelo de Jiménez y las dos últimas para el modelode Sakai.Cuadro 1. Valores finales de los parámetrosFigura 13. Modelo de Sakai. Fuerza estimada y error 0σ0σ2σaσb3.001225.7682.1541023.24El modelo de Jiménez muestra un desempeño pobre y losparámetros a0 , a1 y σ2 resultaron negativos. Pero como lateorı́a indica que todos los parámetros deben ser positivoslo que nos lleva a revisar la teorı́a sobre esos parámetrosen particular ya que sólo afectan el comportamiento de żJy no de fJ .Finalmente podemos afirmar que el modelo de Sakai es unexcelente opción para la identificación en tiempo real delos parametros de un AMR usando los movimientos delterreno en un sismo como señal de excitación, sin tenerque recurrir a una máquina universal.REFERENCIASFigura 14. Arreglo Mesa-AMR-estructura6. CONCLUSIONESEn general los registros de sismos, sean desplazamientos oaceleraciones, están realizados con un periodo de muestreode 0.01 s porque se ha encontrado que el ancho de bandade los sismos no supera los 50 Hz, por lo que fue elperiodo de muestreo que usamos i
a b u; c 1 c1 a c1 b y c 0 coa c0 b (6) donde u es una variable intr nseca que es funci on del voltaje aplicado bajo la siguiente relaci on u_ (u v) (7) representa el tiempo de respuesta del AMR, valores grandes de signi can tiempos de respuesta r apidos y v es el voltaje apl
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