GEOMETRIA - Lcvdata
GEOMETRIADESCRITIVAProfessor: Luiz Gonzaga Martins, M.Eng.Acadêmica: Suelen Cristina da Silva
SUMÁRIODICAS PARA OS ALUNOS.21. BREVE HISTÓRIA.52. PROJEÇÃO.63. MÉTODO BIPROJETIVO.74. A ÉPURA.105. COMO REPRESENTAR UM PONTO NA ÉPURA.126. PLANOS BISSETORES.147. SIMETRIA.168. RETAS.209. TRAÇOS DE RETAS.2510. PERTINÊNCIA DE PONTO A RETA.2911. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS.3112. RETAS DE PERFIL.3313. PLANOS.4114. PERTINÊNCIA DE RETA AO PLANO.5715. PERTINÊNCIA DE PONTO AO PLANO.6016. PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS.6517. RETAS DE MÁXIMO DECLIVE (RMD) E RETAS DE MÁXIMAINCLINAÇÃO (RMI).6718. PARALELISMO.7819. INTERSEÇÃO DE PLANOS.8320. TRAÇO DE RETA SOBRE PLANO.8921. PERPENDICULARISMO.9222. MUDANÇA DE PLANO DE PROJEÇÃO.10223. ROTAÇÃO.12424. REBATIMENTO.13525. ALÇAMENTO.14526. PROBLEMAS MÉTRICOS.14827. APLICAÇÃO DA GEOMETRIA DESCRITIVA EM TELHADOS.17028. EXERCÍCIOS.171
DICAS PARA OS ALUNOS Recomenda-se que o estudante dedique igual número de horas de estudo domiciliarquantas forem as horas/aulas semanais. Entretanto o estudo deverá ser dividido emvários períodos de tempo máximo de 15 minutos, onde o aluno deverá gastar bastantetempo procurando visualizar os objetos no espaço. O aluno deve evitar fazer de exercícios com pouca compreensão do que está sendorepresentado. Deve-se ter uma abordagem lógica, procurando brincar com os objetos nodiedro (veja abaixo), tentando visualizar suas projeções nos planos vertical e horizontalpara, num momento posterior, montar o objeto no espaço a partir do conhecimento de suasprojeções. Faça um diedro para poder visualizar os planos e as retas.1- Corte dois retângulos iguais de papelão ou outro material2- Faça um corte na lateral de cada retângulo conforme a figura abaixo3- Encaixe as duas partes e se preferir cole papel quadriculado.2
4- Agora temos o diedro pronto Use canetas para visualizar as retas e o esquadro para visualizar os planos.3
O esquadro juntamente com o diedro são usados para facilitar a visualização deplanos e retas. Embora algumas figuras da apostila possam ter problemas de imprecisão comoângulos, arcos e medidas, procure usar sempre os instrumentos de desenho e escalaadequados para garantir a maior precisão possível.4
1.BREVE HISTÓRIAA Geometria Descritiva surgiu no século XVIII, criada pelo matemático francêsGaspard Monge (1746-1818). Convidado a trabalhar na Escola Militar de Mèzières, natentativa de resolver um complicado problema de construído de fortificações, Mongeinventou um novo método, muito mais simples que os até então conhecidos – que viria aser o alicerce da Geometria Descritiva. Monge conquistou, de imediato, um cargo docente,encarregando-se de instruir os futuros engenheiros militares no novo método considerado,por 15 anos, “segredo militar”, que ninguém estava autorizado a divulgar. A GeometriaDescritiva se propõe a resolver no plano problemas de geometria espacial, mediante aprojeção dos objetos em dois planos.5
2.PROJEÇÃOA projeção usada será a ortogonal cilíndrica, onde os raios de luz estão no infinito echegam ao plano de projeção formando um ângulo reto. No plano verticalFig.1 No plano horizontalFig.26
3.MÉTODO BIPROJETIVOOs dois planos fundamentais têm entre si um ângulo reto formando quatro diedrosFig. 3 Denotamos o plano de projeção vertical (π ) e o plano de projeção horizontal (π). Vendo de outro ângulo (diedro de perfil):II DIEDROI DIEDROIII DIEDROIV DIEDROFig.4Os planos perpendiculares formam quatro semi-planos: Vertical Superior (π S); Vertical inferior (π I); Horizontal anterior (π A); Horizontal posterior (π P).A interseção dos planos é chamada Linha de terra (L.T.) (fig.5)7
Fig. 5 As coordenadas e projeções:Fig. 6 Seja um ponto (P) qualquer, a sua projeção horizontal será P e a sua projeçãovertical será P .8
Chamamos de afastamento a distância da linha de terra até a projeçãohorizontal do ponto. Chamamos de cota a distância da linha de terra até a projeção vertical do ponto. Podemos ver também no diedro de perfil.Fig. 79
4.A ÉPURA Para chegar à épura a partir do diedro faz-se o seguinte:Giramos o plano (π) em torno da linha de terra. (fig.8)Fig. 8- Vendo o diedro já rotacionado:O plano (π ) e o plano (π) agora coincidem.Fig. 910
- A linha de terra é representada com uma reta e dois traços sob ela, um em cadaextremidade, veja:Fig. 10- Na hora de representar a épura, os contornos que antes limitavam os planos agora não sãomais representados. (fig.11) Épura:Fig.1111
5.COMO REPRESENTAR UM PONTO NA ÉPURA Se o ponto estiver no I diedro:Fig.12Fig.13 A linha de chamada une as duas projeções passando pela linha de terra e formando12
90 com a mesma. Verifique por você mesmo quais são os sinais da cota e afastamento quando oponto está em cada um dos outros três diedros, e mostre exemplos nas épurasabaixo. Faça as épuras: Se o ponto estiver no II diedro: Se o ponto estiver no III diedro Se o ponto estiver no IV diedro:13
6.PLANOS BISSETORESVendo o diedro de perfilFig.14O βI é o bissetor ímpar, pois divide os diedros I e III em partes iguais.O βP é o bissetor par, pois os diedros II e IV em partes iguais.Fig.15014
Ponto no βI :Fig.16 Faça o mesmo para um ponto no βP:Épura de um ponto no βI:Fig.17Épura de um ponto no βP:Analisando as figuras acima, que propriedade você pode identificar nos pontospertencentes aos bissetores?15
7.SIMETRIA Simetria quer dizer mesma medida, portanto, veja: Simetria e relação ao plano horizontalComo o ponto (P) é simétrico a (Q) em relação ao plano horizontal, então elesdistam a mesma distância d do plano.Fig.18Fig.19- Para visualizar facilmente a simetria, olhe para o diedro de perfil:Fig.20 Simetria e relação ao plano vertical16
A distância de (P) ao plano (π ) é a mesma distância de (Q) a (π ), portanto, (P) e(Q) são simétricos em relação ao plano vertical.Fig.21Fig.22 Simetria e relação à linha de terra (π π )A distância de (P) até a linha de terra é igual à distância de (Q) a até a linha deterra, portanto, (P) e (Q) são simétricos em relação à (π π ).Fig.23Fig.24Percebemos que (P) e (Q) têm cotas e afastamentos de módulos iguais e sinais17
contrários, ou seja:cota(P) - cota(Q)afast.(P) - afast.(Q) Simetria em relação aos planos bissetoresSimétrico em relação ao βIVemos que (P) e (Q) são simétricos em relação ao βIFig.25Fig.26Simétrico em relação ao βP18
Vemos que (P) e (R) são simétricos ao βP.Fig.27Fig.2819
8.RETASUma reta pode ser definida por dois pontos. Para todos os efeitos, as retas sãoinfinitas, embora a representemos por uma porção finita. Quando nos referimos à reta(A)(B) estamos nos referindo à reta que passa pelos pontos (A) e (B) e não apenas aosegmento (A)(B).- Posições das retas Horizontal: paralela a (π) e oblíqua a (π ); Frontal: paralela a (π ) e oblíqua a (π); Fonto-horizontal: paralela a (π) e a (π ), logo é paralela a linha de terra; Vertical: perpendicular a (π) e paralela a (π ); De topo: perpendicular a (π ) e paralela a (π); De perfil: ortogonal a (π π ), oblíqua a (π) e a (π ), também podemos dizer que éparalela a um plano de perfil; Qualquer: todas as outras oblíquas a (π) e a (π ).O estudante deve cuidar para não se prender exclusivamente na representação emépura, procurando sempre imaginar (visualizar mentalmente) a posição espacial dosobjetos.- Representando as retas no diedro e em épura:20
horizontalFig. 29Fig. 29.1 frontalFig. 30Fig. 30.1 fronto-horizontal21
Fig. 31Fig. 31.1 verticalFig. 32Fig. 32.1 de topo22
Fig. 33Fig. 33.1 qualquerFig. 34Fig. 34.1 de perfil23
Fig. 35Fig. 35.124
9.TRAÇOS DE RETASÉ o nome que se dá para o ponto onde a reta fura os planos de projeção.Existe o traço vertical (V) onde a reta fura o plano (π ) e o traço horizontal (H) onde a retafura o plano (π). Por apresentar particularidades, a reta de perfil será estudada mais àfrente.- Para achar os traços:1 . Traço vertical: deve-se prolongar a reta até achar o ponto onde o afastamento é nulo.2 . Traço horizontal: deve-se prolongar a reta até achar o ponto onde a cota é nula. Observe que a projeção V e a projeção H’ estão sobre a linha de terra, ou seja,afastamento e cota nulos respectivamente. (figs. 36 e 36.1)Fig. 36Fig. 36.1 Na épura, prolonga-se a projeção horizontal para achar o traço vertical e prolonga-se aprojeção vertical para achar o traço horizontal.25
Veja os passos nas figuras seguintes:Fig. 37Fig. 37.1Fig. 37.2- Na fig. 38 temos a reta r qualquer;- Na fig. 39, prolongando as projeções achamos H’(cota nula) e V(afastamento nulo);- Na fig. 40 achamos H e V’ através da linha de chamada, já que sabemos que H está sobrea projeção r e V’ está sobre a projeção r’.- Usa-se a mesma técnica para achar os traços em todas as retas (exceto a de perfil queveremos mais a frente).Podemos observar nas figs. 41 e 42 que a reta horizontal não tem traço horizontal e a retafrontal não tem traço vertical.Fig. 38Fig. 39 Podemos utilizar os traços para verificar os diedros por onde a reta passa:26
Ex: Uma reta pode partir do terceiro diedro e chegar ao primeiro diedro de três formas.1- Passando pelo segundo e chegando ao primeiro diedroFig.40Fig.40.1Fig. 40.22- Passando pelo quarto diedro e chegando ao primeiro diedro.Fig. 41Fig. 41.1Fig.41.227
3- Passando pela linha de terra e chegando ao primeiro diedro.- em épuraFig.42Fig.42.1Fig.42.2 Devemos observar os traços e ver se eles têm cota e afastamento positivos ou negativos.Assim, podemos concluir se a reta passa pelo I, II, III, ou IV diedro.28
10.PERTINÊNCIA DE PONTO A RETAUm ponto pertence a uma reta quando tem suas projeções sobre as projeções demesmo nome da reta.- Vemos na fig. 43 que o ponto (A) pertence à reta r e o ponto (B) não pertence à reta r.Fig. 43- Devemos cuidar para não nos confundir na hora de dizer se um ponto pertence ou não auma reta na épura, pois como vemos, tanto as projeções de (A) quanto as projeções de (B)estão sobre as projeções de (r), porém, se olharmos com mais atenção, veremos que B’ estásobre r e B está sobre r’. Por isso, (B) não pertence a (r).29
Fig. 44Veja na fig.44.1 que o ponto (P) pertence à reta (h), pois tem suas projeções sobre asprojeções de mesmo nome da reta e os pontos (Q) e (R) não pertencem.Fig.44.130
11.POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETASDuas retas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas. Paralelas:Duas retas são paralelas quando suas projeções de mesmo nome são paralelas.É possível passar um plano pelas retas (coplanares).Fig. 45 Concorrentes:As retas (r) e (s) são concorrentes, pois se cruzam na projeção vertical em I’ e naprojeção horizontal sobre I.I’ e I estão sobre a mesma linha de chamada.Fig. 4631
Reversas:Duas retas são reversas se não tiverem nenhum ponto em comum e se não forpossível passa um plano pelas duas. Portanto se duas retas não são paralelas nemconcorrentes elas serão reversas.As retas (r) e (s) são reversas.A reta (s) passa por cima e pela frente (mais afastada de (π )) da reta (r).Fig. 47- Para saber se uma reta está passando por cima ou pela frente de outra, basta fazer oseguinte:Pegamos um ponto onde as projeções horizontais das retas coincidem (no casoJ K) e prolongamos a linha de chamada, vemos que J’ está mais abaixo de K’, ou seja,tem cota menor. Assim, como J’ pertence r’, a reta (r) está mais abaixo que a reta (s).Pegamos um ponto onde as projeções verticais das retas coincidem (no caso I’ L’)e prolongamos a linha de chamada, vemos que L tem afastamento menor que I. Assim,como L pertence a r, a reta (r) está atrás de (s).32
12.RETAS DE PERFILExiste certa dificuldade em enxergar a inclinação de uma reta de perfil, por isso, éfeita uma análise extra sobre essa reta. Para visualizar a inclinação de uma reta de perfil é preciso no mínimo de dois pontos. Toda reta de perfil pertence a um plano de perfil (o plano de perfil é perpendicular a (π)e a (π )).Fig.48 RebatimentoRebater a reta de perfil é girar o plano no qual ela está contida até ele coincidir com oplano vertical. Como podemos ver na fig.49, (A)1(B)1 é a reta rebatida. Deve-se girar a projeção horizontal no sentido anti-horário sem mudar o afastamento,após isso, fazemos o prolongamento da cota e unimos com a linha de chamada da projeçãohorizontal rebatida.Ligamos os pontos e obtemos a reta de perfil rebatida.33
Fig.49Quando olhamos a reta de perfil rebatida é como se olhássemos o diedro de perfil.Fig.50Nesse caso, na fig. 50, é como se a linha terra se tornasse o plano horizontal e as34
projeções não rebatidas da reta se tornassem o plano verticalFig.51A partir do momento que rebatemos a reta, podemos saber a inclinação e tambémachar os seus traços. Traços de retas de perfilPara achar os traços, deve-se prolongar a reta de perfil já rebatida, quando elaencontrar a linha de chamada, será o traço vertical (V)1 que coincide com V’.Quando ela encontrar a linha de terra. Será o traço horizontal (H)1. Lembre-se que asprojeções H’ e V sempre estão sobre a linha de terra.Para achar a projeção horizontal H, deve-se fazer o alçamento, que é o inverso dorebatimento. Rebatimento: sentido anti-horário Alçamento: sentido horário35
Fig.52 Exemplo no III diedroFig.53 Pertinência de um ponto a reta de perfil36
Para um ponto pertencer a uma reta de perfil, não basta apenas ele ter suasprojeções sobre as projeções da reta, além disso, quando rebatemos esse ponto ele deveestar sobre a reta rebatida.Na fig.54, (C) pertence à reta (A)(B) pois suas projeções estão sobre as projeções demesmo nome da reta e quando rebatemos o ponto, ele está sobre a reta rebatida.Fig.54Na fig.55, (C) não pertence à reta (A)(B) pois apesar de ter suas projeções sobre asprojeções de mesmo nome da reta, ele não está sobre a reta rebatida.Fig.55 Posições relativas de retas de perfil37
Concorrência com uma reta qualquer:Devemos analisar o aparente ponto de concorrência, que no caso é (C). (fig.56)Vemos que (C) pertence a (r), mas quando rebatemos o ponto e obtemos (C)1, vemos queele não está sobre (A)1(B)1, que é a reta de perfil rebatida, portanto, concluímos que asretas (r) e (A)(B) não são concorrentes.Fig.56Na fig. 57, quando rebatemos o aparente ponto de concorrência (C) e obtemos (C)1, vemosque ele pertence à reta de perfil rebatida (A)1(B)1.Como ele também pertence a (r), concluímos então que as retas são concorrentes.Fig.57 Concorrência de duas retas de perfil:A posição relativa de duas retas de perfil só pode ser definida com o rebatimento38
de ambas. Duas retas de perfil só podem ser concorrentes se estiverem num mesmo planode perfil.Como vemos na fig.58, (A)(B) e (C)(D) estão num mesmo plano, vamos verificarse são concorrentes ou paralelas.Devemos rebater ambas as retas, feito isso, vemos que elas tem um ponto em comum (I)1,portanto, as retas são concorrentes.Apesar do ponto (I) estar sobre as retas rebatidas, ele deve estar também sobre suasprojeções na épura.Fig.58 Paralelismo de retas de perfil:Quando duas retas de perfil têm suas projeções paralelas ou coincidentes em épura,e suas projeções rebatidas paralelas, então dizemos que essas retas são paralelas.Como vemos na fig.59, as retas (A)(B) e (C)(D) satisfazem essas condições, portanto sãoparalelas.39
Fig.59 Retas de perfil reversas:Se duas retas de perfil estão sobre uma mesma abscissa, então elas podem serparalelas ou concorrentes, mas nunca reversas, pois por duas retas reversas não podemospassar um plano.Vejamos:Podemos ver na fig.60 que as retas (A)(B) e (C)(D) estão em planos diferentes,portanto não podem ser concorrentes. Olhando as projeções, parecem paralelas.Entretanto, quando rebatemos ambas as retas, percebemos que elas não são paralelas,assim, concluímos que as retas só podem ser reversas.Fig.6040
13.PLANOSOs planos são representados por letras gregas (α,β,λ,θ,.) e podem ser definidos por: Duas retas paralelas; Duas retas concorrentes; Três pontos não colineares; Uma reta e um ponto fora dela.Representamos os planos tanto em épura quanto no diedro por porções finitas,porém, como no caso das retas, todos os planos são infinitos assim como seus traços. Posições: Horizontal: paralelo a (π)Todos os pontos situados num plano horizontal têm mesma cota. Frontal: paralelo a (π )Todos os pontos situados num plano frontal têm mesmo afastamento. De topo: perpendicular a (π ) e oblíquo em relação à (π).Todos os elementos de um plano de topo têm projeções verticais sobre seu traçovertical. Vertical: perpendicular a (π) E oblíquo em relação à (π ).Todos os elementos de um plano vertical têm projeções horizontais sobre seutraço horizontal. De perfil: perpendicular a (π) e a (π ).As projeções dos elementos que pertencem a um plano de perfil sempre estarãosobre os traços de mesmo nome do plano.41
Paralelo a linha de terra: é paralelo a (ππ ) e oblíquo em relação à (π) e à (π ), porém nãopassa pela linha de terra. Passa pela linha de terra: é oblíquo em relação à (π) e à (π ) e passa por (ππ ). Qualquer: não é paralelo ou perpendicular a (π) nem a (π ) nem a (ππ ).O estudante deve cuidar para não se prender exclusivamente na representação emépura, procurando sempre imaginar (visualizar mentalmente) a posição espacial dosobjetos. Os planos são geralmente representados pelos seus traços, pois isso simplifica a suavisualização no espaço. Traços de planosOs traços são as interseções com os planos de projeção. Convenciona-se representar oplano n
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