1 TEORI KETERBAGIAN - Info Kuliah Dr. Julan Hernadi
1 TEORI KETERBAGIANBilangan 0 dan 1 adalah dua bilangan dasar yang digunakan dalam sistem bilangan real.Dengan dua operasi dan maka bilangan-bilangan lainnya dide nisikan. Himpunanbilangan asli (natural number ) N dide nisikan sebagain N n : 1 1 {z· · · 1} .nsukuJadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N { 1, 2, 3, · · · } . Himpunan bilangan bulat Z dide nisikan sebagaiZ : N {0}Ndimana N : { n : n N } . Jadi himpunan bilangan bulat dapat ditulis secara eksplisit Z {· · · , 2, 1, 0, 1, 2, · · · }. Selanjutnya bilangan rasional Q dide nisikan sebagaionQ : a: a, b Z, b 6 0 .bBilangan real yang bukan bilangan rasional disebut bilangan irrasional. Salah satu bi langan irrasional yang sangat dikenal adalah 2. Berdasarkan beberapa de nisi tersebutmaka kita dapat menyajikan komposisi himpunan bilangan real dalam bentuk diagramvenn berikut.RQhimpunan bilangan rasionalMisal: -3/4, -1, 0, 2, 1/2, 4/5.Z: himpunan bilangan bulat{ . . . ,-2, -1, 0, 1, 2, . . . }N: himpunan bilangan asliR\Qhimpunan bilanganirrasionalMisal:2,{1, 2, 3, . . . }Gambar 1.1: Komposisi bilangan real1
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADITeori bilangan adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari sifat-sifat keterbagianbilangan bulat, khususnya himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan asli memilikikeunikan tersendiri karena ia terde nisi secara alami. Ini alasan bagi matematikawanLeopold Kronecker mengatakan bahwa God created the natural numbers, and all therest is the work of man." Artinya bilangan asli diciptakan oleh Tuhan, sedangkan jenisbilangan lainnya merupakan hasil karya manusia.1.1 Algoritma PembagianAlgoritma ini merupakan batu pijakan pertama dalam mempelajari teori bilangan. Iadisajikan dalam bentuk teorema berikut.Teorema 1.1.Jika diberikan bilangan bulatdengan tunggal bilangan bulatqdanradanb,denganb 0maka selalu terdapatyang memenuhia qb r, 0 r b.(1.1)Contoh 1.1. Bila a 9 dan b 4 maka diperoleh 9 2 4 1, jadi diperoleh q 2dan r 1. Bila a 9 dan b 4 maka 9 3 4 3, jadi diperoleh q 3 danr 3.Contoh 1.2. Diberikan a 12 dan b 5. Kita mempunyai beberapa representasisebagai berikut12 5 2 2 5 1 7 5 3 ( 3).Ketiga representasi ini semuanya benar, tetapi hanya yang pertama memenuhi kondisi(1.1) karena disyaratkan 0 r b.Pada persamaan (1.1) disepakati istilah sebagai berikut: a adalah bilangan yang dibagi,b sebagai pembagi, q disebut hasil bagi dan r disebut sisa atau residu.Untuk membuktikan teorema ini digunakan prinsip urutan baik (well-orderingproperty ) atau WOP yang mengatakan bahwa setiap himpunan takkosong dariBukti2
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADIhimpunan bilangan bulat taknegatif N selalu memuat anggota terkecil. Kita bangun suatu himpunan S denganS : {a nb n Z} {a, a b, a 2b, · · · } .Jadi himpunan S berupa deret aritmatika takhingga dengan pusat a dan beda b.Dengan mengambil n : a Z maka diperoleh t : a ( a )(b) a a b 0,yaitu t N. Karena t S maka dapat dipastikan t N S . Dengan demikian kitaperoleh bahwa N S merupakan himpunan bagian takkosong dari N. BerdasarkanWOP maka N S memiliki anggota terkecil. Misalkan r N S anggota terkecilyang dimaksud maka ia mempunyai bentuk r a qb 0 untuk suatu q Z.Jadi a qb r dengan r 0. Selanjutnya dibuktikan r b agar persamaan (1.2)dipenuhi. Andaikan r b. Ambil r1 N S dengan r1 a (q 1)b r b r.Fakta ini kontradiksi dengan pernyataan r anggota terkecil pada N S. Terbuktilah0 r b. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa q dan r ini tunggal. Andaikan ada q1dan r1 yang bersifat seperti ini maka diperoleha qb r q1 b r1 , 0 r, r1 b.Dapat ditulis r r1 (q1 q)b. Dapat disimpulkan bahwa q q1 , sebab bila tidakyaitu q 6 q1 maka selisih magnitudnya q q1 1, sehingga r1 r q q1 b b.Hal ini tidaklah mungkin karena kedua r dan r1 bilangan tak negatif yang terletakdi kiri b. Jadi disimpulkan q q1 . Akibatnya diperoleh r r1 . Bila semua ruas pada persamaan (1.1) dibagi dengan b maka diperolehar q , dengan 0 bbrb 1.Ini menujukkan bahwa q ab yaitu pembulatan ke bawah ( ooring ) dari ab . Denganmenggunakan bentuk ini kita dapat menentukan hasil bagi dengan mudah. Misalnya 1 a 27 dan b 12 maka q 27 2 4 3. Sisa r mudah diperoleh, yaitu12r a qb 27 ( 3)(12) 27 36 9. Pada Teorema 1.1 disyaratkan bahwa b 0. Sesungguhnya Teorema ini dapat diperluasjuga untuk b 0 seperti diungkapkan pada teorema berikut.Teorema 1.2.Jika diberikan bilangan bulat3adanb,denganb 6 0maka selalu terdapat
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADIdengan tunggal bilangan bulatqdanryang memenuhi(1.2)a qb r, 0 r b .Untuk b 0 berlaku b b sehingga persamaan (1.1) dipenuhi langsung olehpersamaan (1.2). Untuk b 0, ambil b sebagai pengganti b pada Teorema (1.1).Jadi terdapat q 0 dan r sehinggaBuktia q 0 b r, 0 r b .Selanjutnya dengan mengambil q q 0 dan karena b b maka persamaanterakhir ini menjadia q 0 b r q( b) r qb r, 0 r b Diperhatikan untuk b 0 berlakudengan b diperoleh b b . 1. Dengan membagi persamaan terakhirarr q , 1 0,bbbyaitu q a bpembulatan ke atas atau ceiling dari ab .Dari penjelasan di atas disimpulkan bahwa pembagi b hanya dibatasi pada bilangantidak nol. Artinya membagi dengan bilangan nol tidak pernah dide nisikan. Tegasnya,atidak terde nisi untuk setiap a.0Contoh 1.3. Tentukan hasil bagi dan sisanya jika 1, -2, 61 dan -59 dibagi oleh -7.1Diketahui b 7 0. Untuk a 1 diperoleh q 7r a qb 1 0 1. Periksa bahwa 1 (0)( 7) 1. Untuk a 2 q 2 27 1 dan r 2 (1)( 7) 5. Untuk a 61 7 61 6 q 7 8 8 dan r 61 ( 8)( 7) 5. Untuk a 59 59 1 7q 7 8 7 9 dan r 59 (9)( 7) 4. Penyelesaian 0 dandiperolehdiperolehdiperolehBerikut diberikan beberapa contoh soal pembuktian sebagai penerapan langsung darialgoritma pembagian.Contoh 1.4. Untuk setiap bilangan bulat a, buktikan a(a2 2)/3 merupakan bilanganbulat.4
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADIAmbil b 3 sebagai pembagi dan a suatu bilangan yang dibagi. Denganalgoritma pembagian maka terdapat q dan r sehingga a 3q r, dimana r 0, 1 atau 2. Untuk r 0, substitusi a 3q ke dalam a(a2 2)/3 diperoleh3q(9q 2 2)/3 q(9q 2 2) yang merupakan bilangan bulat. Untuk r 1, substitusia 3q 1 ke dalam a(a2 2)/3 diperoleh(3q 1)(9q 2 6q 1 2)/3 (3q 1)3(3q 2 2q 1)/3 (3q 1)(3q 2 2q 1) yang merupakan bilangan bulat. Untuk r 2,substitusi a 3q 2 ke dalam a(a2 2)/3 diperoleh (3q 2)(9q 2 12q 4 2)/3 (3q 2)3(3q 2 4q 2)/3 (3q 2)(3q 2 4q 2) yang juga merupakan bilanganbulat. Penyelesaian.Untuk lebih meyakinkan, coba periksa untuk beberapa nilai a 1, 0, 1, 2, 3.Contoh 1.5. Buktikan sebarang bilangan kuadrat bila dibagi 4 selalu memberikan sisa0 atau 1.Untuk bilangan bulat sebarang a, ambil b 4 sebagai pembagi. Terdapatq dan r sehingga a 4q r dengan r 0, 1, 2, 3. Selanjutnya kita melihat bentukn : a2 . Untuk r 0 diperoleh n 4(4q 2 ) memberikan sisa 0. Untuk r 1diperoleh n 16q 2 8q 1 4(4q 2 2q) 1 memberikan sisa 1. Untuk r 2diperoleh n 16q 2 16q 4 4(4q 2 4q 4) memberikan sisa 0. Terakhir, untukr 3 diperoleh n 16q 2 24q 9 4(4q 2 6q 2) 1 memberikan sisa 1. Jadisemua kasus memberikan sisa 0 atau 1. PenyelesaianCoba cek sisanya jika beberapa bilangan kuadrat 1, 4, 9, 16, 25 dibagi oleh 4!Dengan menggunakan hasil ini kita dapat memahami contoh soal berikut.Contoh 1.6. Tunjukkan bahwa bilangan yang berbentuk11, 111, 1111, 11111, · · ·tidak pernah merupakan kuadrat sempurna.Penyelesaian.Diperhatikan pola berikut11 8 3111 108 31111 1008 311111 10008 3···5
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADIJadi dapat ditulis 1111 · · · 111 1000 · · · 08 3. Karena bilangan 1000 · · · 08 selaluhabis dibagi 4 maka sesungguhnya bilangan tersebut mempunyai bentuk 4k 3.Dengan kata lain mereka selalu memberikan sisa 3 jika dibagi 4. Pada pembahasanselanjutnya dibahas ciri dan uji keterbagian bilangan. Padahal bilangan kuadratselalu memberikan sisa 0 atau 1 jika dibagi 4. Karena itu bilangan-bilangan tersebut tidak mungkin merupakan bilangan kuadrat. Exercise 1.1. Tunjukkan bahwa bilangan kubik (bilangan pangkat tiga) selalu berbentuk 7k atau 7k 1.Exercise 1.2. Buktikan bahwa jika n ganjil maka n4 4n2 11 berbentuk 16k.1.2 Pembagi atau Faktor Persekutuan TerbesarSuatu keadan khusus pada algoritma pembagian a qb r, ketika sisa r 0. Dalamkasus ini kita katakan a habis membagi b.De nisi 1.1. Sebuah bilangan bulat b dikatakan terbagi atau habis dibagi oleh bilangan bulat a 6 0 jika terdapat bilangan bulat c sehingga b ac, ditulis a b. Notasia - b digunakan untuk menyatakan b tidak habis terbagi oleh a.Jadi 12 terbagi oleh 4 sebab 12 4 · 3, tetapi 10 tidak terbagi oleh 3 sebab tidak adabilangan bulat c sehingga 10 3c, atau setiap bilangan bulat c berlaku 10 6 3c. Dalamkasus ini ditulis 4 12 dan 3 - 10.Istilah lain untuk a b adalah a faktor dari b, a pembagi b atau b kelipatan dari a.Bila a pembagi b maka a juga pembagi b, sehingga pembagi suatu bilangan selaluterjadi berpasangan. Jadi dalam menentukan semua faktor dari suatu bilangan bulatcukup ditentukan faktor-faktor positifnya saja, kemudian tinggal menggabungkan faktor negatifnya. Fakta sederhana yang diturunkan langsung dari de nisi adalah sebagaiberikut:a 0, 1 a, dan a a.Fakta a 0 dapat dijelaskan bahwa bilangan 0 selalu habis dibagi oleh bilangan apa punyang tidak nol. Fakta 1 a mengatakan bahwa 1 merupakan faktor atau pembagi daribilangan apapun termasuk bilangan 0. Fakta a a menyatakan bahwa bilangan tidak nolselalu habis membagi dirinya sendiri dengan hasil baginya adalah 1.6
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADITeorema 1.3.Untuk setiapa, b, c Zberlaku pernyataan berikut1. a 1 bila hanya bila a 12. Jika a b dan c d maka ac bd3. Jika a b dan b c maka a c4. a b dan b a bila hanya bila a b5. Bila a b dan b 6 0 maka a b 6. Bila a b dan a c maka a (bx cy) untuk sebarang bilangan bulat x dan y .1) a 1 a 1 jelas, sesuai penjelasan sebelumnya. Sebaliknya, diketahuia 1 berarti ada k Z sehinga 1 ka. Persamaan ini hanya dipenuhi oleh duakemungkinan berikut: k 1, a 1 atau k 1, a 1. Jadi berlaku a 1 a 1. Jadi a 1 a 1 terbukti.2) Diketahui a b dan c d yaitu ada k1 , k2 Z sehingga b k1 a dan d k2 c. Keduapersamaan ini dikalikan diperolehBukti.bd (k1 k2 )ac,yaitu ac bd.3) Diketahui a b dan b c yaitu ada k1 , k2 Z sehingga b k1 a dan c k2 b.Substitusi, diperoleh c k2 b k2 (k1 a) (k1 k2 a).4) Diketahui a k1 b dan b k2 a. Kedua persamaan dikalikan, diperoleh ab (k1 k2 )(ab). Diperoleh k1 k2 1, yakni k1 k2 1 atau k1 k2 1. Terbuktia b.5) Kita mempunyai b ac untuk suatu c Z. Diambil nilai mutlaknya b ac a c . Karena b 6 0 maka c 1, sebab bila tidak seperti ini maka c 0 yangmengakibatkan b 0 (kontradiksi). Karena itu diperoleh b a c a .6) Kita mempunyai relasi b k1 a dan c k2 a. Untuk sebarang x, y Z berlakubx cy k1 ax k2 ay (k1 x k2 y)ayang berarti a (bx cy). Pernyataan terakhir teorema ini berlaku juga untuk berhingga banyak bilangan yangdibagi oleh a, yaitu jika a bk , k 1, · · · , n makaa (b1 x1 b2 x2 · · · bn xn )7
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADIuntuk setiap bilangan bulat x1 , x2 , · · · , xn . Selanjutnya kita bahas pengertian faktorpersekutuan terbesar.De nisi 1.2. Misalkan a dan b dua bilangan bulat di mana minimal salah satunya tidaknol. Faktor persekutuan terbesar (FPB) atau greatest common divisor (gcd) dari adan b adalah bilangan bulat d yang memenuhi1. d a dan d b2. Jika c a dan c b maka c dPada de nisi ini, kondisi 1 menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan dan kondisi 2 menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan terkecil di antara semua faktorpersekutuan yang ada. Selanjutnya jika d faktor persekutuan terbesar dari a dan b akanditulisd gcd(a, b).Contoh 1.7. Faktor positif dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12, sedangkan faktor dari 30adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Jadi faktor persekutuaannya adalah 1, 2, 3, 6. Karena itudisimpulkan gcd(12, 30) 6.Berdasarkan de nisi FPB sesungguhnya kita cukup mengasumsikan bahwa a dan b positif, sebab berlakugcd(a, b) gcd(a, b) gcd( a, b) gcd( a, b).Penjelasannya, faktor atau pembagi suatu bilangan selalu terjadi secara berpasangan,satunya positif dan lainnya negatif. Jadi faktor persekutuan dua bilangan selalu samatanpa melihat tanda positif atau negatif kedua bilangan tersebut. Akibatnya, faktorpersekutuan terbesarnya juga sama.Teorema 1.4.bilangan bulatxJikadanaydanbdua bilangan bulat yang keduanya taknol maka terdapatsehinggagcd(a, b) ax by.(1.3)Persamaan (1.3) disebut dengan identitas Bezout. Sebelum dibuktikan, diperhatikan8
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADIilustrasi berikutgcd( 12, 30) 6 ( 12)2 30 · 1gcd( 8, 36) 4 ( 8)4 ( 36)( 1).Identitas Bezout menyatakan bahwa d gcd(a, b) dapat disajikan dalam bentuk kombinasi linier atas a dan b. Ekspresi ruas kanan pada (1.3) disebut kombinasi linier daria dan b. Pada Teorema ini keberadaan x dan y tidak harus tunggal.Bukti.Bentuk S himpunan semua kombinasi linier positif dari a dan b sebagai berikutS { au bv au bv 1, u, v Z }Perhatikan jika a 6 0 maka a au b·0 S , yaitu dengan mengambil u 1 bilaa positif atau u 1 bila a negatif. Jadi himpunan S takkosong. Menurut sifaturutan baik, S terjamin memiliki anggota terkecil katakan saja d. Selanjutnya,dibuktikan d gcd(a, b). Karena d S maka terdapat x, y Z sehingga d ax by . Terapkan algoritma pembagian pada a dan d maka terdapat q dan rsehingga a qd r, 0 r d. Selanjutnya ditunjukkan r 0. Bila ini oke makad a. Andai r 0 maka dapat ditulis0 r a qd a q(ax by) a(1 qx) b( qy) S.Fakta r S dan syarat r d bertentangan dengan pernyataan bahwa d elementerkecil S sehingga disimpulkan r 0 atau d a. Argumen yang sama dapat dipakaidengan menerapkan algoritma pembagian pada b dan d untuk menunjukkan bahwad b. Dengan demikian terbukti bahwa d adalah faktor persekutuan dari a dan b.Selanjutnya ditunjukkan faktor persekutuan ini adalah yang terbesar. Misalkan cbulat positif dengan c a dan c b, maka berdasarkan Teorema (1.3)(6) maka c ax byaitu c d. Jadi c d; alasannya tidak mungkin pembagi lebih besar dari bilanganyang dibagi. Terbukti bahwa d gcd(a, b). Akibat 1.1.Bilaadanbdua bilangan bulat yang keduanya tidak nol maka himpunanT {ax by x, y Z}merupakan himpunan semua kelipatan darid gcd(a, b).9
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADIKarena d a dan d b maka d (ax by) untuk setiap x, y Z, maka setiap elemenT merupakan kelipatan d. Sebaliknya, dapat ditulis d ax0 by0 untuk suatux0 , y0 Z. Perhatikan kelipatan dari d, yaituBukti.nd n(ax0 by0 ) a(nx0 ) b(ay0 ) T.Ini berarti setiap kelipatan d merupakan elemen T. De nisi 1.3. Dua bilangan a dan b (keduanya tidak nol) dikatakan prima relatif jikagcd(a, b) 1.Pasangan bilangan (3, 5), (5, 9) dan ( 27, 35) adalah beberapa contoh pasangan bilangan prima relatif.Teorema 1.5. Bilangan a dan b prima relatif bila hanya bila terdapat bulat x, y sehinggaax by 1.Karena a dan b prima relatif maka gcd(a, b) 1. Identitas Bezout menjaminadanya bulat x, y sehingga 1 ax by. Sebaliknya misalkan ada bulat ax by 1.Dibuktikan gcd(a, b) d 1. Karena d a dan d b maka d (ax by 1), jadi d 1.Karena itu disimpulkan d 1. Bukti.Akibat 1.2.Bilad gcd(a, b)makagcda b,d d 1.Berdasarkan identitas Bezout selalu ada x dan y sehingga ax by d. Dengan membagi kedua ruas persamaan ini dengan d diperoleh ad x db y 1. Menurut teorema sebelumnya disimpulkan ad dan db prima relatif.Bukti.Pada penyederhanaan pecahan ab biasanya dilakukan dengan membagi kedua bilangan8a dan b dengan FPBnya. Misalnya 12disederhanakan menjadi 23 . Dalam hal ini kitamempunyai gcd(8, 12) 4 gcd(2, 3) 1.Teorema berikut memberikan sifat keterbagian yang melibatkan dua bilangan primarelatif.Teorema 1.6.Diketahuigcd(a, b) 1.Maka berlaku pernyataan berikut.10
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADI1. Jika a c dan b c maka ab c.2. Jika a bc maka a c.Untuk pernyataan 1, terdapat bilangan bulat r dan s sehingga c ar bs.Karena diketahui gcd(a, b) 1 maka dapat ditulis 1 ax by untuk suatubilangan bulat x, y . DiperolehBukti.c c · 1 c(ax by) acx bcy a(bs)x b(ar)y ab(sx ry),yaitu ab c. Untuk pernyataan 2, dapat ditulisc c · 1 c(ax by) acx bcy.Karena faktanya a ac dan diketahui a bc maka a (acx bcy), yaitu terbukti a c. Contoh 1.8. Untuk sebarang bilangan bulat a, buktikan salah satu dari a, a 2, a 4habis dibagi oleh 3.Cara pertama dengan menggunakan algoritma pembagian. Ambil a dan 3, makaada q dan r sehingga a 3q r, r 0, 1, 2. Bila r 0 maka a 3q yaitu a 3.Bila r 1 makaBukti.a 3q 1 a 2 3q 1 2 3(q 1),yaitu 3 (a 2). Bila r 2 makaa 3q 2 a 4 3q 2 4 3(q 2),yaitu 3 (a 4). Perhatikan pada contoh berikut ditunjukkan bahwa perkalian dua bilangan bulat berurutan selalu habis dibagi 2.Contoh 1.9. Untuk setiap bilangan bulat a, buktikan 2 a(a 1).Masih menggunakan algoritma pembagian dengan mengambil b 2. Terdapatq Z sehingga a 2q r dimana r 0, 1. Untuk r 0 jelas a 2q habis dibagiBukti.11
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADI2 sehingga a(a 1) juga habis dibagi 2. Untuk k 1, a(a 1) (2q 1)(2q 2) (2q 1)(q 1)2 jelas habis dibagi 2. Cara lain pembuktian dapat denganmemberikan argumen logis berikut: salah satu diantara bilangan bulat a dan a 1pasti ada bilangan genap. Jadi 2 a atau 2 (a 1). Berdasarkan fakta ini makadapat disimpulkan bahwa 2 a(a 1). Dengan argumen yang mirip, pembaca dapat mencoba buktikan kebenaran pernyataana a(a 1)(a 2).Contoh 1.10. Buktikan bahwa untuk setiap bulat positif n dan sebarang bilangan bulata maka gcd(a, n a) n.Misalkan d gcd(a, a n). Karena d a dan d (a n) maka d membagi setiapkombinasi kedua bilangan ini, khususnya d ((a)( 1) (a n)(1)) n. Bukti.Berdasarkan contoh ini secara khusus untuk n 1 kita memperoleh gcd(a, a 1) 1.Dengan kata lain dua bilangan bulat berurutan selalu prima relatif.Exercise 1.3. masih akan ditambah soal-soal latihan dari David Burton.1.3 Algoritma EuclidesAlgoritma Euclides merupakan metoda yang dapat digunakan untuk menentukan FPBdua bilangan besar dengan cara mereduksinya menjadi bilangan-bilangan lebih kecil.Algoritma ini bertumpu pada teorema berikut.Teorema 1.7.Jikaa qb rmakagcd(a, b) gcd(b, r).Berdasarkan Teorema (1.3)(6), setiap faktor persekutuan b dan r juga merupakanfaktor persekutuan qb r a. Karena r a qb maka faktor persekutuan adan b juga merupakan faktor persekutuan r. Jadi pasangan bilangan a, b dan b, rmempunyai faktor persekutuan yang sama sehingga mereka mempunyai FPB yangsama. Bukti.Algoritma Euclides dapat disajikan sebagai berikut:Misalkan a dan b dua bilangan yang akan ditentukan FPB nya. Cukup diasumsikana b 0, karena tanda positif atau negatif bilangan a dan b tidak mempengaruhi nilaiFPB nya. Dengan algoritma pembagian, diperoleh q1 dan r1 sehinggaa q1 b r1 , 0 r1 b.12
Pengantar Teori Bilangan oleh Julan HERNADIBila r1 0 maka gcd(a, b) b, pekerjaan selesai. Bila r1 6 0, bagilah b dengan r1 untukmemperoleh q2 dan r2 yang memenuhib q2 r1 r2 , 0 r2 r1 .Bila r2 0 maka gcd(a, b) r1 , pekerjaan selesai. Bila r2 6 0, bagilah r1 dengan r2untuk memperoleh q3 dan r3 yang memenuhir1 q3 r2 r3 , 0 r3 r2 .Proses ini diteruskan sampai dicapai sisa nol. Bila dirangkum maka akan diperolehbentuk berikuta q1 b r1 , 0 r1 bb q2 r1 r2 , 0 r2 r1r1 q3 r2 r3 , 0 r3 r2.rn 2
Artinya bilangan asli diciptakan oleh uhan,T sedangkan jenis bilangan lainnya merupakan hasil aryka manusia. 1.1 Algoritma Pembagian Algoritma ini merupakan batu pijakan pertama dalam mempelajari teori bilangan. Ia disajiank dalam bentuk teorema berikut. eoremaT 1.1. Jika diberikan bilangan
Berikut ini merupakan teori-teori yang mendukung penelitian: 1. Teori Bilangan a. Keterbagian Definisi 2.1 (Keterbagian) Untuk setiap a,b , a dikatakan habis membagi b jika ada k yang memenuhi a k.b, dan dinotasikan a b. 1 Keterbagian 2.1 (Algoritma Pembagian) Untuk setiap a,b ada t
tentang teori-teori hukum yang berkembang dalam sejarah perkembangan hukum misalnya : Teori Hukum Positif, Teori Hukum Alam, Teori Mazhab Sejarah, Teori Sosiologi Hukum, Teori Hukum Progresif, Teori Hukum Bebas dan teori-teori yang berekembang pada abad modern. Dengan diterbitkannya modul ini diharapkan dapat dijadikan pedoman oleh para
SILABUS MATA KULIAH 1. IDENTITAS MATA KULIAH Nama Mata kuliah : STATISTIK Kode Mata Kuliah : TW504 Beban / Jumlah SKS : 2 SKS Semester : II (Dua) Prasyarat : - Jumlah minggu / jam pertemuan : (14 x 3 Jam) Pertemuan Nama Dosen : Dodiet Aditya Setyawan, SKM. 2. DESKRIPSI MATA KULIAH : Mata kuliah ini mengenalkan dan menyiapkan mahasiswa untuk
1. Deskripsi Teori Bilangan Mata Kuliah Teori Bilangan termasuk kelompok mata kuliah keilmuan dan keterampilan (MKK) bagi Program Studi Pendidikan Matematika dengan mata kuliah pra syarat teori himpunan. Menurut Burton (1980), Mata kuliah
SILABUS, DAN SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH: INOVASI PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KAMPUS CIBIRU September 2015 . CM.PRD-PGSD-01-04 Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah : Inovasi Pendidikan Kode Mata Kuliah : IP 303 Bobot SKS : 2 SKS Semester : 5 Mata Kuliah Prasyarat : Semua Mata Kuliah Semester 1 Dosen : Dr. Hj. Lely Halimah .
A. Teori-teori sosial moden timbul sebagai tin& bdas kepada teori-teori sosial klasik yang melihat am perubahan rnasyarakat manusia dengan pendekatan yang pesimistik. Teori sosial moden telah berjaya menerangkan semua gejala sosial kesan perindustrian dan perbandaran. Teori sosial moden adalah lanjutan teori klasik dalam kaedah dan faIsafah. B. C.
Euclid yang diperluas, uji bilangan prima, kriptografi, tanda tangan digital dan fungsi hash. A. Keterbagian Keterbagian merupakan salah satu pokok bahasan dari Teori Bilangan yang berkaitan dengan sifat pembagian dalam matematika. Penjelasan mengenai definisi dan
Silaby Mata Kuliah : Epidemiologi D-IV Kebidanan, Hal.-1 FM -POLTEKKES SKA BM 09 04/R0 SYLABUS MATA KULIAH I. Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah : Epidemiologi Kesehatan Reproduksi Kode Mata Kuliah : Beban Studi : 2 SKS (T : 1, P : 1) Penempatan : Semester II/ D4 Kebidanan minat Komunitas
