BILANGAN KOMPLEKS - WordPress
BILANGAN KOMPLEKS1. Bilangan-Bilangan Real Sekumpulan bilangan-bilangan real yang dapat menempatiseluruh titik pada garis lurus, hal ini dinamakan garisbilangan real seperti pada Gambar 1.Operasi penjumlahan, pengurangan, pembagian danperkalian dapat dilakukan pada setiap bilangan dalamsistem ini.Akar kuadrat positif dari bilangan real dapat dinyatakanpada garis bilangan real, tetapi akar kuadrat negatifbilangan real tidak ada dalam sistem bilangan real.-5-4-3-2-1012345Gambar 1. Garis bilangan real2. Bilangan-Bilangan Imajiner Akar kuadrat negatif bilangan real dinamakan bilanganimajiner.Contoh : 1 , 6 , 2 dst.Semua bilangan imajiner dapat dinyatakan sebagai titikpada garis lurus dan dinamakan garis bilangan imajinerseperti pada Gambar 2.-j5-j4-j3-j2-j10j1j2j3j4j5Gambar 2. Garis bilangan imajiner3. Bilangan-Bilangan Kompleks Bilangan kompleks Z X jYdimana X dan Y adalah bilangan real dan j 1 .Dalam bilangan kompleksX jY, maka suku pertamayaitu X dinamakan bagian real dan suku kedua jYdinamakan imajiner.Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin1
Bila X 0; maka bilangan kompleks adalah imajiner murnidan terletak pada sumbu j, bila Y 0 maka bilangankompleks adalah bilangan real dan terletak pada sumbureal.4. Bidang KompleksPada bidang kompleks sumbu horisontal disebut sumbu real dansumbu vertikal disebut sumbu imajiner seperti pada Gambar 3. jImajinerpositifReal negatifReal positifImajinernegatif-jGambar 3. Bidang kompleks5. Bentuk Rektangular dan Polar5.1 Bentuk Rektangular / TegakFormat untuk bentuk rektangular adalah . (1)Z X jYdan diperlihatkan seperti pada Gambar 4.jZ X jYYXGambar 4. Bentuk rektangularRangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin2
5.2 Bentuk Polar / SudutFormat untuk bentuk polar adalahZ R θ .(2)dimana R menunjukkan magnituda dan θ adalah sudut yang diukurberlawanan dengan arah jarum dari sumbu real positif dan diperlihatkanseperti pada Gambar 5. Bentuk polar sangat luas penggunaannya dalamanalisis rangkaian listrik.jZRθGambar 5. Bentuk polar5.3 Konversi antara bentuk polar dan rektangularKedua bentuk tersebut dihubungkan oleh persamaan (3),dansebagai illustrasi ditunjukkan pada Gambar 6.Rektangular ke PolarR X2 Y2θ tan 1 . .(3)YX (4)X R Cos θY R Sin θ . .(5) . (6)Polar ke RektangularRangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin3
Z X jY R θjRYθXGambar 6. Konversi antara bentuk polar dan rektangularContoh 1 :Konversi bentuk berikut ini dari rektangular ke polar :a. Z 3 j4b. Z -6 j3JawabR a. 3 2 4 2 25 5 4 θ tan 1 53,130 3 Z 5 53,130R b. - 6 2 3 2 45 6.71 3 β tan 1 26,570 6 0θ 180 - 26.570 153.430Z 6.71 153,430Contoh 2 :Konversi bentuk berikut ini dari polar ke rektangular :a. Z 10 450b. Z 8 -600Jawaba.X 10 Cos 450 (10) (0.707) 7.07Y 10 Sin 450 (10) (0.707) 7.07Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin4
Z 7.07 j7.07X 8 Cos (-60)0 (8) (0.5) 4b.Y 8 Sin (-60)0 (8) (-0.866) - 6.928Z 4 – j6.9286. Operasi Matematika Dengan Bilangan KompleksDefinisiSimbol j dihubungkan dengan bilangan imajiner, dengan definisisebagai berikut :j 1makaj2 1 . (7)danj3 j2 . j (-1) . j -jj4 j2 . j2 (-1) .(-1) 1dstselanjutnya : 1 j 1 j1j 1 jj j j j j2 1 . (8)KonyugatKonyugat bilangan kompleks diperoleh dengan mengubah tanda daribagian imajiner baik dalam bentuk polar maupun bentuk rektangular.Simbol konyugat adalah menambah bentuk * pada variabelnya.Contoh 3 :a. Z -3 j6b. Z -4 30konyugatnya adalahkonyugatnya adalahZ* -3 – j6Z* -4 -306.1 Penjumlahan dan Pengurangan bilangan kompleksPenjumlahan maupun pengurangan bilangan kompleks harusdalam bentuk rektangular. Jika bilangan dinyatakan dalam bentuk polarmaka terlebih dahulu mengkonversi bilangan tersebut ke bentukrektangular. Penjumlahan atau pengurangan dua buah bilangan kompleksRangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin5
dilakukan dengan menjumlah atau mengurangi bagian real dan bagianimajiner secara terpisah.Contoh 4 :a. Jumlahkan Z1 -2 j3 dan Z2 4 j1b. Kurangkan Z1 6 - j6 dan Z2 -10 - j4Jawaba. Z1 Z2 (-2 j3) (4 j1) (-2 4) j(3 1) 2 j4b. Z1 - Z2 (6 - j6) - (-10 - j7) (6-(-10)) - j(-6 7) 16 - j16.2 Perkalian bilangan kompleksPerkalian bilangan kompleks dapat dilakukan baik dalam bentukpolar maupun bentuk rektangular. Dalam banyak kasus bahwa lebihmudah melakukan operasi perkalian dalam bentuk polar sehingga apabilabilangannya dalam bentuk rektangular terlebih dahulu mengkonversi kebentuk polar, tetapi hal ini tidak selamanya menguntungkan tergantungdari nilai bilangan kompleks.Contoh 5 :a. Kalikan nilai Z1 -6 j3 dan Z2 4 j7b. Kalikan nilai Z1 2,37 j3,65 dan Z2 4,23 - j1,25c. Kalikan nilai Z1 2 -30 dan Z2 -6 40Jawaba. Z1 . Z2 (-6 j3) . (4 j7) (-6).(4) (-6).(j7) (j3).(4) (j3).(j7) - 24 - j42 j12 j2 21 (-24 - 21) j (-42 12) - 35 - j30b. Z1 . Z2 (2,37 j3,65) . (4,23 - j1,25) (4,35 57) . ( 4,41 -16) 19,18 57 (-16) 19,18 41c. Z1 . Z2 (2 -30) . ( -6 40)Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin6
-12 -30 40 -12 106.3 Pembagian bilangan kompleksPembagian bilangan kompleks dapat dilakukan baik dalambentuk polar maupun bentuk rektangular. Sama seperti pada perkalianyaitu lebih mudah melakukan operasi pembagian dalam bentuk polar.Pembagian dua bilangan kompleks dalam bentuk rektangular, dilakukandengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konyugat daripenyebut bilangan kompleks tersebut.Contoh 6 :a. Bagi nilai Z1 -6 j3 dan Z2 4 j7b. Bagi nilai Z1 3 -30 dan Z2 -6 40Jawab :a.Z1 6 j3 6 j3 * 4 j7 4 j7 4 j7 4 j7 Z2Z1 24 j42 j12 21 3 j36 0.046 j 0,554 16 j28 j28 49 65 Z2b.Z 1 3 30 0.5 70Z 2 6 40 7. Bentuk lain dari bilangan kompleksBentuk TrigonometriZ R Cos θ j R Sin θ R (Cos θ jSin θ)Bentuk Eksponensial / Formula EulerZ R Cos θ j R Sin θ R e jθRangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin7
LATIHAN SOAL :1. Konversi bilangan berikut ke bentuk polara. 40 – j 40b. 98 j452. Konversi bilangan berikut ke bentuk rektangulara. 15 -87b. -32 453. Kurangkan bilangan kompleks berikuta. 9 j3 dan 5 – j8b. 8 – j4 dan 3 254. Kalikan bilangan berikuta. 15 -87 dan -32 45b. 4 - j3 dan -3 385. Bagi bilangan berikuta.15 -87 dan -32 45b. 4 - j3 dan -3 386. Hitunglah :a.b.2,5 65 1,8 231,2 37(10 15) (8,5 j15)2,5 j4,5Rangkaian Listrik I by Zaenab Muslimin8
Perkalian bilangan kompleks dapat dilakukan baik dalam bentuk polar maupun bentuk rektangular. Dalam banyak kasus bahwa lebih mudah melakukan operasi perkalian dalam bentuk polar sehingga apabila bilangannya dalam bentuk rektangular terlebih dahulu mengkonversi ke bentuk polar, tetapi hal ini tidak selamanya menguntungkan tergantung .
dide–nisikan dengan kekonvergenan bilangan Cauchy di bidang kompleks. Soal-Soal Buktikan sifat lapangan bilangan kompleks! 1.4 Kojugate dan Modulus Salah satu komponen yang penting dalam bilangan kompleks adalah konjugate (sekawan). Konjugate bilangan kompleks z x yi adalah z x yi.
Bilangan Bulat 1. Pemahaman Konsep Bilangan Bulat Bilangan bulat terdiri atas: a) Bilangan asli atau bilangan bulat positif b) Bilangan nol, dan c) Lawan bilangan asli atau bilangan bulat negatif Bilangan bulat dituliskan atau dinotasikan dengan B { , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } 2. Menyatakan Bilangan Bulat dari Kehidupan Sehari-hari
1. Tentukan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk. a).157 b).221 Jawab: a). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada diantara bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157 maka157 merupakan bilangan prima.
pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat. 1. Bilangan Berpangkat Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut. 2 2 2 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6
Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional, R menyatakan himpunan semua bilangan real, C menyatakan himpunan semua bilangan kompleks. Perlu diingat kembali bahwa bilangan kompleks didefinisikan sebagai bilangan berbentuk a b i dengan a dan b adalah bilangan real dan i 1. Demikian juga suatu
Bilangan bulat dan bilangan riil 3. Pertidaksamaan 4. Harga mutlak 5. Induksi lengkap TIK : M ah siw m eng l f bil ngke d mh pu Mahasiswa memahami skema . Perpangkatan bilangan kompleks 4. Akar bilangan kompleks TIK: Mahasiswa mengenal bilangan kompleks dan komponen-komponennya.
Pada bagian ini, kita akan melakukan operasi hitung bilangan bulat termasuk penggunaan sifat-sifatnya, pembulatan, dan penaksiran. 1. Bilangan Bulat Perhatikan garis bilangan di bawah ini! Di kelas 4, kita telah mempelajari tentang bilangan bulat. Bilangan bulat meliputi bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan 0 (nol .
dikatakan bilangan kompleks secara geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy) dengan sumbu x sumbu riil dan sumbu y sumbu imajiner. Bilangan kompleks z x iy x y , disajikan sebagai vektor pada bidang kompleks dengan titik asal dan ujung vektor .
