CATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS - WordPress
CATATAN KULIAHFUNGSI KOMPLEKSolehDr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.PROGRAM STUDI MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM2014
Daftar Isi1 Bilangan Kompleks11.1Sifat Aljabar Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2Aspek Geometri Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . .31.3Tempat Kedudukan Titik di Bidang Kompleks . . . . . . . . . . .71.4Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Fungsi Elementer132.1Fungsi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.2Fungsi Resiprokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.3Fungsi Bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162.4Fungsi Pangkat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.5Fungsi Eksponen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.6Fungsi Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.7Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . .193 Fungsi Analitik213.1Topologi di Bidang Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213.2Limit dan Kekontinuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233.3Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293.4Fungsi Analitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .394 Integral Fungsi Kompleks434.1Lintasan di Bidang Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434.2Daerah Terhubung Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .473
4.3Integral Fungsi Kompleks sebagai Integral Garis . . . . . . . . . .484.4Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .525 Teori Integrasi Cauchy555.1Teorema Integral Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555.2Teorema Annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565.3Rumus Integrasi Cauchy dan Teorema Morera . . . . . . . . . . .585.4Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .626 Deret Pangkat Kompleks656.1Barisan Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .656.2Deret Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .676.3Deret Pangkat Kompleks (Complex Power Series) . . . . . . . . .696.4Deret Pangkat Kompleks sebagai Fungsi Analitik . . . . . . . . .726.5Fungsi Analitik sebagai Deret Pangkat Kompleks . . . . . . . . .736.6Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
Bab 1Bilangan KompleksHimpunan bilangan kompleks, dilambangkan sebagai C, adalah himpunan semuabilangan yang dapat dinyatakan sebagai a bi atau a ib, dengan a, b R dan i 1. Secara formal, C {z a bi a, b R, i2 1}. Di sini a disebutbagian real z dan dinotasikan sebagai a Re(z), sedangkan b disebut bagianimajiner z dan dinotasikan dengan b Im(z). Jika Re(z) 0 maka z dikatakansebagai bilangan kompleks imajiner murni, sedangkan jika Im(z) 0 maka zmerupakan bilangan real.Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real bilangan pertama samadengan bagian real bilangan ke dua dan bagian imajiner bilangan pertama samadengan bagian imajiner bilangan ke dua. Menggunakan notasi matematika dapatdituliskan sebagai berikut. Misalkan z1 a1 ib1 dan z2 a2 ib2 .z1 z2 a1 a2 dan b1 b21.1Sifat Aljabar Bilangan KompleksSeperti pada himpunan biangan real R, pada himpunan bilangan kompleks Cdapat pula didefinisikan operasi-operasi aljabar biner seperti penjumlahan danperkalian. Misalkan z1 x1 iy1 dan z2 x2 iy2 .1. Hasil penjumlahan bilangan kompleks z1 dengan z2 adalah bilangan kompleks z3 z1 z2 yang didefinisikan sebagai z3 (x1 x2 ) i(y1 y2 ).1
2BAB 1. BILANGAN KOMPLEKS2. Hasil kali bilangan kompleks z1 dengan z2 adalah bilangan kompleks z3 z1 z2 yang didefinisikan sebagai z3 (x1 x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 ).Seperti yang berlaku pada himpunan real, operasi penjumlahan dan perkalianpunmembentuk field dengan aksioma-aksioma berikut. z x yi, z1 x1 iy1dan z2 x2 iy2 di C berlaku:1. z1 z2 z2 z1 dan z1 z2 z2 z1 (sifat komutatif)2. z (z1 z2 ) (z z1 ) z2 dan z(z1 z2 ) (zz1 )z2 (sifat asosiatif)3. terdapat bilangan kompleks 0 0 0i dan 1 1 0i yang memenuhiz 0 0 z z dan z(1 0i) (1 0i)z z (eksistensi elemen identitaspenjumlahan dan perkalian)4. terdapat bilangan kompleks z x yi dan z 1 1z xx2 y 2 yix2 y 2sedemikian sehingga z ( z) ( z) z 0 dan zz 1 z 1 z 1(eksistensi elemen invers penjumlahan dan invers perkalian)5. z(z1 z2 ) zz1 zz2 (sifat distributif)Dengan adanya elemen invers terhadap operasi penjumlahan maupun perkalian, maka dapat didefinisikan operasi pengurangan dan pembagian sebagaiberikut. Untuk setiap bilangan kompleks z1 x1 iy1 dan z2 x2 iy2 makaz1 z2 z1 ( z2 ) (x1 x2 ) i(y1 y2 )danz1x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z1 z2 1 i.z2x22 y22x22 y22Berbeda dari himpunan real, selain keempat operasi biner tersebut, pada himpunan bilangan kompleks dapat pula didefinisikan suatu operasi uner, yaitu operasi sekawan (conjugation), yang didefinisikan sebagai berikut. Jika z x yimaka sekawan (conjugate) dari z, dinotasikan sebagai z, adalah z x yi. Operasi sekawan bersama operasi-operasi biner penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian memiliki sifat-sifat berikut. Untuk setiap bilangan kompleksz x iy, z1 , dan z2 maka
1.2. ASPEK GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS31. z1 z2 z1 z2 dan z1 z2 z1 z22. z1 z2 z1 z2 danz1z2 z1z23. z z4. zz x2 y 25. z z 2 Re(z)6. z z 2i Im(z)1.2Aspek Geometri Bilangan KompleksSecara aljabar bilangan kompleks z x yi dapat dibayangkan sebagai pasanganterurut dua bilangan real (x, y) yang terletak di bidang Euclides atau bidangArgan R2 , sehingga secara geometri himpunan bilangan kompleks C dapat puladinyatakan sebagai suatu bidang, yang disebut bidang kompleks atau bidang-z.Pada bidang kompleks, sumbu x disebut sumbu real sedangkan sumbu y disebutsumbu imajiner. Dengan demikian, suatu bilangan kompleks z a bi dapatdinyatakan sebagai titik di bidang kompleks dengan koordinat (a, b) dan C R2 .Selain itu, suatu bilangan kompleks z a bi dapat dinyatakan pula sebagaivektor di bidang kompleks dengan titik pangkal (0, 0) dan titik ujung (a, b).Jika pada R2 kita dapat menyatakan suatu titik dalam koordinat kutub (polar)maka demikian pula pada C, dengan mendefinisikan modulus dan argumendari z. Pada R2 , modulus kita kenal sebagai panjang atau norm vektor (x, y),sedangkan argumen kita kenal sebagai arah vektor (x, y). Modulus dari z a bi,dinotasikan sebagai z didefinisikan sebagai z a2 b 2 ,sedangkan argumen dari z, dinotasikan sebagai arg(z), didefinisikan sebagai suatusudut θ yang memenuhicos θ abdan sin θ . z z
4BAB 1. BILANGAN KOMPLEKSKarena sifat fungsi sinus dan cosinus yang periodik, maka nilai arg(z) tidaktunggal. Oleh karena itu z C perlu dipilih suatu arg(z) yang disebut sebagaiargumen utama dari z, dinotasikan sebagai Arg(z), adalah arg(z) yang beradapada selang ( π, π].Sekarang kita siap mendefinisikan bentuk kutub (polar form) bilangan komplekssecara umum. Misalkan z x iy, r z , dan θ Arg(z) maka jelas bahwax r cos θ dan y r sin θsehinggaz r cos θ ir sin θ atau sering ditulis z r cis θ.Sifat-sifat Modulus Bilangan Kompleks:Untuk setiap bilangan kompleks z dan w, berlaku:1. z z z 2. z w w z 3. z 2 z 2 zz. Jadi jika z 6 0 maka1z z z 24. zw z w 5.zw z , w asalkan w 6 0.6. z w z w 7. z w z w 8. z w z w Pada sifat ke dua, z w menyatakan jarak antara z dan w. Sifat ke 6dikenal sebagai ketaksamaan segitiga. Perhatikan bahwa sifat-sifat tersebut sama dengan sifat nilai mutlak pada sistem bilangan real, maupun sifat norm di R2 .Pada Gambar 1.1 diberikan ilustrasi mengenai modulus dan argumen suatubilangan kompleks z a biTeorema berikut menyatakan sifat perkalian dan pembagian dua buah bilangankompleks bila dinyatakan dalam bentuk kutubnya.
1.2. ASPEK GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS5Gambar 1.1: Modulus dan argumen di bidang kompleksTeorema:Jika z1 r1 cis t1 dan z2 r2 cis t2 makaz1 z2 r1 r2 cis (t1 t2 )danz1r1 cis (t1 t2 ).z2r2Teorema berikut merupakan perumuman teorema sebelumnya, yang dapat dibuktikan dengan mudah menggunakan induksi matematika.Teorema de Moivre: Jika z r cis t maka z n rn cis nt, n bilangan bulattak negatifPerhatikan bahwa pada kedua teorema tersebut, penyajian bilangan kompleksdalam koordinat polar memiliki sifat yang sama dengan fungsi eksponen natural,yaituea eb ea b danea ea b .beOleh karena itu bilangan kompleks dalam bentuk polar dapat pula dituliskansebagai berikut.z r cos θ ir sin θ r cis θ reiθ .
6BAB 1. BILANGAN KOMPLEKSDengan demikian, kedua teorema tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen sebagai berikut.Jika z1 r1 eit1dan z2 r2 ei1. z1 z2 r1 ei t1 r2 ei2.z1z2 r1 eir2 eit1t23. z n rn ei ntr1r2t2eit2maka r1 r2 ei(t1 t2 )(t1 t2 ), n bilangan bulat tak negatif.Kesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk kutub dinyatakan dalam definisiberikut, yang dapat dimanfaatkan untuk menentukan akar bilangan kompleks.Definisi: r cis t ρ cis θ jika dan hanya jika r ρ dan t θ 2kπAkar bilangan kompleks 1Jika c adalah bilangan kompleks, akan ditentukan n c c n . Misalkan z n c dan c ρ cis θ maka akan ditentukan z yang memenuhi z n c.Misalkan z r cis t maka z n rn cis nt c ρ cis θ. Berdasarkan definisikesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk kutub maka diperolehrn ρ dan nt θ 2kπ, k Z.Dengan demikian1r ρ n dan tk θ 2kπ, k 0, 1, . . . n 1.nJadi diperoleh sebanyak n akar dari c, yaitu1zk ρ n cisContoh: Tentukan 3θ 2kπ, k 0, 1, . . . n 1.ni.Di sini akan kita tentukan z yang memenuhi z 3 i. Kita nyatakan z dan i dalambentuk kutub. Bentuk kutub untuk i adalah 1 cis π2 . Misalkan z r cis t. Daripersamaan z 3 i diperoleh z 3 r3 cis 3t 1 cis π2 , sehinggar3 1 dan 3t π 2kπ, k 0, 1, 2.2
1.3. TEMPAT KEDUDUKAN TITIK DI BIDANG KOMPLEKS7Akibatnya,r 1 dan t π 2kπ , k 0, 1, 2.63 cos π6 i sin π6 Untuk k 0 z r cis t0 1 cisπ6untuk k 1 z r cis t1 1 cis5vπ6dan untuk k 2 z r cis t2 1 cis32 2i , cos 5πi sin 5π 663π2 32 2i , cos 3πi sin 3π 0 i i.22Jadi, telah diperoleh tiga akar dari i, yaitu z0 1.3 3 2i ,2 z1 3 2i ,2dan z2 i.Tempat Kedudukan Titik di Bidang KompleksUntuk menyatakan himpunan titik-titik di bidang kompleks pada suatu tempatkedudukan dapat digunakan suatu persamaan atau pertaksamaan. Sebagai contoh, akan ditentukan kedudukan titik-titik di bidang kompleks yang memenuhipersamaan z i 2. Misalkan z x iy. Dari persamaan tersebut diperoleh x iy i x i(y 1) 2. Berdasarkan definisi modulus bilangankompleks diperoleh persamaan:px2 (y 1)2 2,yang ekivalen dengan persamaanx2 (y 1)2 4.Persamaan terakhir merupakan persamaan lingkaran berpusat di (0, 1) berjarijari 2. Jadi titik-titik di bidang kompleks yang memenuhi persamaan z i 2berkedudukan di lingkaran berpusat di z i berjari-jari 2.Dengan demikian, pertaksamaan z i 2 menyatakan titik-titik di bidang kompleks yang berada di dalam lingkaran tersebut.
8BAB 1. BILANGAN KOMPLEKSSecara umum, pertaksamaan z z0 r menyatakan titik-titik di bidangkompleks yang berada di dalam lingkaran berpusat di z0 berjari-jari r.Contoh:Tentukan tempat kedudukan titik-titik di bidang kompleks yang memenuhi persamaan z 2i z 2 .Secara geometri, titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut adalah titik-titikz yang jaraknya dengan z 2i sama dengan jaraknya terhadap z 2. Sebagaicontoh, titik (0, 0) berjarak 2, baik terhadap z 2i maupun terhadap z 2. Selain itu, titik yang terletak di tengah ruas garis yang menghubungkanz 2i dan z 2 juga merupakan titik yang dimaksud. Secara umum, dapatkita bayangkan bahwa titik-titik yang terletak pada garis yang melalui (0, 0)dan titik tengah kedua titik tersebut akan berjarak sama terhadap kedua titiktersebut. Dengan membuat sedikit ilustrasi geometris kita peroleh bahwa garisyang dimaksud adalah garis y x. Sekarang, akan kita perlihatkan secaraaljabar bahwa dugaan kita benar. Misalkan z x iy. Jika kita substitusikan zke persamaan tersebut diperoleh z 2i z 2 x iy 2i x iy 2) x i(y 2) (x 2) iy) ppx2 (y 2)2 (x 2)2 y 2x2 (y 2)2 (x 2)2 y 2x2 y 2 4y 4 x2 4x 4 y 2 4y 4x,yang ekivalen dengan persamaany x.
1.4. LATIHAN SOAL9Jadi, titik-titik di bidang kompleks yang memenuhi persamaan z 2i z 2 terletak pada garis y x.1.4Latihan Soal1. Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk a bi.(a) (5 2i) (2 3i)(b) (2 3i)(4 i)(c) iī(d)13 2i(e)3 2i3 2i(f)i1 i(g)1i 1 ii3i1 i(h) i123 4i9 4i2. Jika ada, tentukanlah bilangan kompleks z yang memenuhi sifat berikut.(a) z 1 z(b) z̄ z(c) z̄ z 13. Buktikan bahwa z C berlaku:Re(z) z z̄z z̄dan Im(z) 224. Buktikan: z z̄ jika dan hanya jika z adalah bilangan real5. Buktikan: z 2 (z̄)2 jika dan hanya jika z adalah bilangan real atau zadalah bilangan kompleks imajiner murni. 6. Nyatakan bilangan-bilangan 3 4i, 1 i, 1 i, 2, 3i, e πi, dan 2 3sebagai titik-titik di bidang kompleks
10BAB 1. BILANGAN KOMPLEKS7. Berapakah jarak antara 2 i dan 3 i?8. Nyatakan bilangan kompleks 1, 2 2i, 1 i, 3, 4i, 27 3i dalam bentuk kutub. 3i, 2 3i, dan9. Tentukan tempat kedudukan titik-titik di bidang kompleks yang memenuhipersamaan atau pertaksamaan berikut.(a) z 5 6(b) Re(z 2) 1(c) z i z i (d) z 3 z 1 1(e) Im(iz̄) 4(f) 0 Im(z 1) 2π(g) 2 Re(z) 1(h) arg(z) π4(i) 0 arg(z) π(j) Im(2z̄ i) 0(k) z 2 z 10. Tentukan semua z yang memenuhi persamaan z 3 8 011. Selesaikan persamaan z 2 i 0 kemudian gunakan hasil yang diperolehuntuk menyelesaikan persamaan z 4 2iz 2 1 012. Jika z 1 buktikan bahwa z w 1 w̄z , w C13. Jika z 1 buktikan bahwa Re(z 1) 0 14. Tentukan enam bilangan kompleks yang memenuhi persamaan z 6 1 i3 i0.15. Jika z cis t buktikan bahwa z n z n 2 cos nt dan z n z n 2 sin nt
1.4. LATIHAN SOAL1116. Jika z0 a bi, perlihatkan bahwa persamaan z z̄ zz0 z0 z̄ r2 a2 b2menyatakan lingkaran berpusat di z0 berjari-jari r.17. Jika z, w, dan v terletak pada garis yang sama, buktikan bahwa Imv zw z 018. Jika z 1zadalah bilangan real, buktikan bahwa Im(z) 0 atau z 1
12BAB 1. BILANGAN KOMPLEKS
Bab 2Fungsi ElementerPada bab ini dibahas berbagai fungsi elementer yang memetakan suatu titik diC menjadi suatu titik di C pula. Analog dengan pendefinisian fungsi real, fungsikompleks f adalah suatu aturan yang memetakan atau mentransformasikan suatubilangan z x iy C menjadi suatu bilangan kompleks w u iy Csehingga fungsi kompleks disebut pula sebagai transformasi. Fungsi kompleksbiasa dinotasikan sebagai w f (z) atau w u(x, y) iv(x, y) f (x, y). Secarageometris, fungsi f merupakan transformasi yang memetakan titik di bidang-zke bidang-w. Dengan demikian, fungsi kompleks dapat dipandang sebagai fungsidari R2 ke R2 yang memetakan (x, y) menjadi (u, v). Fungsi yang dibahas di sinimeliputi fungsi linear, fungsi resiprokal, fungsi bilinear, fungsi pangkat, fungsieksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik.2.1Fungsi LinearFungsi linear memiliki bentuk umumw f (z) az b,dengan a, b C. Jika a 0 maka fungsi linear berubah menjadi fungsi konstan.Jika a 1 dan b 0 maka fungsi linear merupakan fungsi identitas.Untuk mempelajari bagaimana fungsi linear mentransformasikan suatu titik z di13
14BAB 2. FUNGSI ELEMENTERbidang-z menjadi w di bidang z, perhatikan bahwa fungsi linear dapat dipandangsebagai komposisi dua transformasi, yaituw1 az dan w w1 b az b.Misalkan z rcist z cis arg z dan a ρcisθ a cis arg a makaw1 az rρ cis (t θ) a z cis(arg a arg z).Oleh karena itu, transformasi w1 az menghasilkan w1 a z dan arg w1 arg a arg z.Hal tersebut dapat diartikan bahwa transformasi w1 mengakibatkan modulus zmemanjang atau memendek dengan faktor a dan z terotasi sejauh arg a. Jika a 1 maka modulus z memendek, jika a 1 maka modulus z memanjang,dan modulus z tetap jika a 1.Selanjutnya, jika dimisalkan b b1 ib2 maka w1 mengalami pergeseran horisontalsejauh b1 dilanjutkan pergeseran vertikal sejauh b2 untuk menghasilkan w w1 b.Jadi oleh transformasi linear w az b, titik z mengalami penskalaansebesar a , rotasi sejauh arg a dan pergeseran sejauh b.2.2Fungsi ResiprokalFungsi resiprokal adalah fungsi berbentuk1w f (z) ,zdengan z 6 0.Misalkan z rcist, r 6 0 makaw f (z) 11 cis( t).zrSecara geometris, hal ini dapat diartikan bahwa transformasi resiprokal terhadapz menghasilkan bilangan kompleks yang panjangnya z 1 dan sudutnya arg z.
2.2. FUNGSI RESIPROKAL15Jika z 1 maka w 1 dan sebaliknya. Artinya, titik-titik di dalam lingkaransatuan z 1 akan ditransformasikan menjadi titik-titik di luar lingkaran, dansebaliknya. Sedangkan titik-titik pada lingkaran akan tetap berada pada lingkaran namun posisinya dicerminkan terhadap sumbu x, sebab sudutnya adalah t.Hal yang menarik dari fungsi resiprokal adalah bahwa fungsi ini dapat mentransformasikan garis dan lingkaran menjadi garis atau lingkaran seperti diperlihatkanberikut ini.Perhatikan bahwa jika z x iy makaw 11 x iyx iy1xy 2 2 i 2.22zx iyx iy x iyx yx yx y2Di sini w u(x, y) iv(x, y) denganu x2xydan v 2.2 yx y2Pandang persamaan garis atau lingkaran di bidang-z yang secara umum dinyatakan sebagaia(x2 y 2 ) bx cy d 0.(2.1)Perhatikan bahwa jika a 6 0 maka diperoleh persamaan lingkaran sedangkan jikaa 0 maka diperoleh persamaan garis. Dari rumus u dan v maka diperolehu2 v 2 1.x2 y 2Jika kedua ruas persamaan (2.1) dibagi dengan x2 y 2 maka diperoleha bx2y1x c 2 d 2 0.22 yx yx y2Substitusi u dan v ke persamaan terakhir akan menghasilkana bu cv d(u2 v 2 ) 0,yang merupakan persamaan lingkaran atau garis.Jadi, secara umum, transformasi resiprokal memetakan garis atau lingkarandi bidang z dengan persamaana(x2 y 2 ) bx cy d 0
16BAB 2. FUNGSI ELEMENTERmenjadi garis atau lingkaran di bidang w dengan persamaana bu cv d(u2 v 2 ) 0.Sebagai contoh, lingkaran di bidang z berpusat di z i berjari-jari 2 yangdinyatakan oleh persamaanx2 (y 1)2 4ekivalen denganx2 y 2 2y 3 0,sehingga di sini a 1, b 0, c 2, dan d 3. Oleh fungsi resiprokal, lingkarantersebut ditransformasikan menjadi1 2v 3(u2 v 2 ) 0,yang ekivalen dengan persamaan12u2 v 2 v 0.33Dengan melakukan manipulasi aljabar sederhana, persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai14u2 (v )2 ,39yang merupakan persamaan lingkaran berpusat di z 13 i berjari-jari 23 .2.3Fungsi BilinearFungsi berbentukf (z) a0 a1 z a2 z 2 . . . an z n ,dengan n bilangan bulat tak negatif dan a0 , a1 , . . . an konstanta kompleks, disebutpolinom.Misalkan p(z) dan q(z) adalah polinom. Fungsi berbentukf (z) p(z),q(z)
2.3. FUNGSI BILINEAR17yang terdefinisi untuk setiap z C dengan q(z) 6 0, disebut fungsi rasional.Salah satu fungsi rasional yang menarik adalah fungsi bilinear, yang seringdisebut pula sebagai transformasi Moebius, yaitu fungsi kompleks berbentukw f (z) az b,cz ddengan z 6 dc , a, b, c, d C dan ad bc 6 0. Jelas bahwa jika c 0 maka fungsibilinear merupakan fungsi linear yang sudah dibahas pada sub bab sebelumnya.Oleh karena itu, pembahasan fungsi bilinear dibatasi untuk c 6 0.Perhatikan bahwa fungsi bilinear dapat dinyatakan sebagaia(cz d) b az b ccz dcz da bc ad 1 cccz da ad bc 1 cccz d1 A Bcz dw f (z) dengan A acdan B ad bccadc6 0.Oleh karena itu, fungsi bilinear akan ment
perkalian. Misalkan z 1 x 1 iy 1 dan z 2 x 2 iy 2. 1. Hasil penjumlahan bilangan kompleks z 1 dengan z 2 adalah bilangan kom-pleks z 3 z 1 z 2 yang dide nisikan sebagai z 3 (x 1 x 2) i(y 1 y 2). 1
dikatakan bilangan kompleks secara geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy) dengan sumbu x sumbu riil dan sumbu y sumbu imajiner. Bilangan kompleks z x iy x y , disajikan sebagai vektor pada bidang kompleks dengan titik asal dan ujung vektor .
SILABUS MATA KULIAH 1. IDENTITAS MATA KULIAH Nama Mata kuliah : STATISTIK Kode Mata Kuliah : TW504 Beban / Jumlah SKS : 2 SKS Semester : II (Dua) Prasyarat : - Jumlah minggu / jam pertemuan : (14 x 3 Jam) Pertemuan Nama Dosen : Dodiet Aditya Setyawan, SKM. 2. DESKRIPSI MATA KULIAH : Mata kuliah ini mengenalkan dan menyiapkan mahasiswa untuk
dide–nisikan dengan kekonvergenan bilangan Cauchy di bidang kompleks. Soal-Soal Buktikan sifat lapangan bilangan kompleks! 1.4 Kojugate dan Modulus Salah satu komponen yang penting dalam bilangan kompleks adalah konjugate (sekawan). Konjugate bilangan kompleks z x yi adalah z x yi.
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah 1.2 Kompetensi Dasar Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan tri-gonometri 1.3 Indikator 1.Menjelaskan pengertian limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi
Fungsi kuadrat tersebut merupakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y f(x) ax 2 bx c, dan grafik fungsi kuadrat dise but parabola. Langkah -langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana: Langkah 1: Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik -titik yang
SILABUS, DAN SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH: INOVASI PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KAMPUS CIBIRU September 2015 . CM.PRD-PGSD-01-04 Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah : Inovasi Pendidikan Kode Mata Kuliah : IP 303 Bobot SKS : 2 SKS Semester : 5 Mata Kuliah Prasyarat : Semua Mata Kuliah Semester 1 Dosen : Dr. Hj. Lely Halimah .
1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Konsep turunan fungsi sangat berguna membantu memecahkan masalah ekonomi, namun demikian konsep turunan fungsi didasarkan atas konsep limit fungsi.
Fungsi kuadrat merupakan merupakan fungsi polinom berderajat dua bentuk umum persamaan fungsi kuadrat adalah : y a bx cx2 atau y cx2 bx a dimana cz0. Contoh fungsi kuadrat dalam bentuk grafik di gambarkan sebagai berikut : y y x2 x 3.1.1 Penyelesaian Persamaan Kuadratik Penyelesaian persamaan kuadratik merukan pencarian akar-akar dari persamaan .
