AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO
AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSOCOMENTÁRIOS ERECOMENDAÇÕESPEDAGÓGICASSubsídios para oProfessor de Matemática2ª série do Ensino MédioProva de MatemáticaSão Paulo1 Semestre de 2013
Avaliação da Aprendizagem em ProcessoAPRESENTAÇÃOA Avaliação da Aprendizagem em Processo se caracteriza como ação desenvolvidade modo colaborativo entre a Coordenadoria de Informação, Monitoramentoe Avaliação Educacional e a Coordenadoria de Gestão da Educação Básica, quetambém contou com a contribuição de um grupo de Professores do NúcleoPedagógico de diferentes Diretorias de Ensino.Iniciada no segundo semestre de 2011, a aplicação foi voltada para o 6 ano doEnsino Fundamental e 1ª série do Ensino Médio. No primeiro e segundo semestres de 2012, as provas abrangeram os 6 e 7 anos do EF e as 1ª e 2ª séries do EM.Para o primeiro semestre de 2013, envolverá todos os anos e séries dos EnsinosFundamental e Médio.Essa ação, fundamentada no Currículo Oficial da SEE, dialoga com as habilidadescontidas nas Matrizes de Referência para a Avaliação (SARESP, SAEB, ENEM) e temse mostrado bem avaliada pelos educadores da rede estadual. Propõe o acompanhamento coletivo e individualizado ao aluno, por meio de um instrumentode caráter diagnóstico e se localiza no bojo das ações voltadas para os processos de recuperação, a fim de apoiar e subsidiar os professores de Língua Portuguesa e de Matemática que atuam no Ciclo II do Ensino Fundamental e no EnsinoMédio da Rede Estadual de São Paulo.Além da formulação dos instrumentos de avaliação – na forma de cadernos deprovas para os alunos – também foram elaborados documentos específicos deorientação para os professores – Comentários e Recomendações Pedagógicas –contendo o quadro de habilidades, gabaritos, itens, interpretação pedagógicadas alternativas, sugestões de atividades subsequentes às análises dos resultados e orientação para aplicação e correção das provas de redação. Espera-seque, agregados aos registros que o professor já possui, sejam instrumentos paraa definição de pautas individuais e coletivas, que, organizadas em um plano deação, mobilizem procedimentos, atitudes e conceitos necessários para as atividades de sala de aula, sobretudo, aquelas relacionadas aos processos de recuperação da aprendizagem.Coordenadoria deInformação, Monitoramentoe Avaliação Educacional2Coordenadoria de Gestãoda Educação BásicaComentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio
Avaliação da Aprendizagem em Processo – MatemáticaAs provas e orientações referentes aos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental e 1ª e 2ª séries do Ensino Médio foram reproduzidas com base nas do anoanterior, tendo em vista que o grupo de alunos avaliados no ano/série em2013 não será o mesmo que o de 2012. Consideramos uma opção válida, poiso instrumento foi bem aceito pela rede e as questões bem avaliadas.Entendemos que as questões apresentadas podem retratar uma parte significativa do que foi previsto no conteúdo curricular de Matemática e poderão permitir a verificação de algumas habilidades que foram ou não desenvolvidas noprocesso de ensino e aprendizagem.Ressaltamos que, quando alguma questão apresentou problemas tanto deordem técnica como pedagógica, ela foi substituída ou modificada.Para o ano de 2013, a 4ª edição da Avaliação da Aprendizagem em Processo também contemplará os anos/séries 8º e 9º anos do Ensino Fundamental e 3ª sériedo Ensino Médio.Para a elaboração dos instrumentos que atenderão os anos/séries incluídos em2013, mantiveram-se os mesmos critérios estabelecidos anteriormente.Composição:1. Anos/séries participantes:6º ao 9º anos do Ensino Fundamental;1ª a 3ª séries do Ensino Médio.2. Composição das provas de Matemática:10 questões, sendo a maioria objetiva e algumas dissertativas.3. Matrizes de referência (habilidades/descritores) para a constituição de itens dasprovas objetivas:- SARESP;- SAEB;- Caderno do Aluno.4. Banco de itens:- itens constantes de provas já aplicadas (Saresp, Saeb, Prova Brasil, Enem) quese refiram a habilidades contempladas no Currículo oficial;- itens selecionados a partir da avaliação da rede, após aplicação das provasda Avaliação em Processo;- itens adaptados/modificados a partir da avaliação da rede, após aplicaçãodas provas da Avaliação em Processo.Equipe de MatemáticaComentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio3
AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSOMatriz de HabilidadesNº doitem4Habilidades1Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau.2Resolver problemas em diferentes contextos, envolvendo as relações métricasdos triângulos retângulos. (Teorema de Pitágoras).3Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais etridimensionais, relacionando-as com as suas planificações.4Identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema.5Reconhecer o comportamento de funções e suas propriedades relativas aocrescimento ou decrescimento.6Aplicar os raciocínios combinatórios aditivo e/ou multiplicativo na resoluçãode situações-problema.7Descrever as características fundamentais da função do 2º grau, relativas aográfico, crescimento, decrescimento, valores máximo e mínimo.8Resolver problemas que envolvam probabilidades simples.9Resolver problemas que envolvam porcentagem.10Resolver problemas em diferentes contextos, que envolvam triângulos semelhantes.Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio
HabilidadeResolver problemas que envolvam equações do 2º grau.Questão 01A altura h (em metros) que uma bola de futebol atinge quando o goleiro de umtime de futebol cobra o tiro de meta, com velocidade constante, é dada em função do tempo t (em segundos) pela fórmula h(t) -t² 4t.Quanto tempo após o chute a bola demora para atingir a altura de 4m?(A) 0s(B) 2s(C) 4 s(D) -2sComentários e recomendações pedagógicasA equação do 2º grau é trabalhada no caderno do 2º bimestre da 8ª série (9ºano). A sugestão do caderno é introduzir as equações do 2º grau por meiode situações-problema e verificar que os métodos anteriores de resolução deequações devem ser ampliados de forma a dar conta de alguns problemasmais elaborados.Os livros didáticos, em geral, também trabalham esse conteúdo no 9º ano. Nocaderno da 1ª série do Ensino Médio, o aluno trabalha as funções do 2º grau eresolve problemas que recaem em equações do 2º grau.Sendo assim, é esperado que o aluno da 3ª série do Ensino Médio domine ahabilidade em resolver problemas envolvendo equações do 2º grau, pois, emmuitos contextos, sejam matemáticos ou de outras disciplinas como Física ouQuímica, o aluno se depara com equações do 2º grau, e isso faz parte de suaformação básica, auxiliando-o a desenvolver sua competência em compreender os fenômenos ao seu redor.Grade de correção:AlternativasJustificativasA) h - 4² 4 · 4h 00sResposta Incorreta. O aluno atribui a t o valor 4, confundindo a alturacom o tempo efetuando, na sequência, os cálculos.B) 4 - t² 4tt² -4t 4 0t 2sResposta Correta. O aluno resolve o problema corretamente, atribuindo à função h(t) o valor 4m e determinando o tempo t 2s.Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio5
C) t ² 4tt² 16t 4sResposta Incorreta. O aluno atribui a t o valor 4, confundindo a alturacom o tempo e efetuando, na sequência, os cálculos de maneiraincorreta.D) -2sResposta incorreta. O aluno atribui corretamente o valor da alturaigual a 4m chegando à equação -t² 4t 4. Ao resolver a equação,deixa de atribuir o valor negativo ao coeficiente a no cálculo dasraízes. t - 4 02()Algumas referênciasO estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomadoobservando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:1. C aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 5ª série (6º ano)– Volume 2 Situação de Aprendizagem 2 – Equivalência e operações com decimais(p.22);1. C aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 8ª série (9º ano)– Volume 2 Situação de Aprendizagem 1 – Alguns métodos para resolver equações de2º grau (p. 12); Situação de Aprendizagem 2 – Equações de 2º grau na resolução de problemas (p. 36); Situação de Aprendizagem 3 – Representação gráfica de grandezas proporcionais e de algumas não proporcionais (p. 49);2. C aderno do Professor: Matemática – Ensino Médio – 1ª série – Volume 2 Situação de Aprendizagem 1 – Funções como relações de interdependência (p. 11); Situação de Aprendizagem 3 – Funções do 2º grau: significado, gráficos,intersecções com os eixos, vértices, sinais (p. 28); Situação de Aprendizagem 4 – Problemas envolvendo funções do 2º grauem múltiplos contextos; problemas de máximos e mínimos (p. 51);3. R evista do Professor – São Paulo faz Escola – Recuperação – 1ª série – EnsinoMédio Aula 7 – Alguns métodos para resolver equações de 2º grau; Aula 8 – Resolvendo equações de 2º grau; Aula 9 – Equações de 2º grau na resolução de problemas; Aula 10 – Mais problemas com equações de 2º grau;4. E xperiências Matemáticas – 8ª série Atividade 16 – Equações de 2º grau (p. 207); Atividade 17 – Resolução de equações de 2º grau (p. 221); Atividade 18 – A fórmula de Bhaskara (p. 231);6Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio
Atividade 21 – Problemas (p. 265);5. N ovo Telecurso – Ensino Fundamental – DVD 8 Aula 73 – Equação do 2º grau; Aula 74 – Deduzindo uma fórmula; Aula 75 – Equacionando problemas II;6. N ovo Telecurso – Ensino Médio – DVD 3 Aula 24 – A equação do 2º grau; Aula 25 – A fórmula da equação do 2º grau; Aula 26 – Problemas do 2º grau;7. N ovo Telecurso – Ensino Médio – DVD 4 Aula 31 – A função do 2º grau;8. I MPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada Prof. Elon Lages Lima – Equações e problemas do 2º grau http://video.impa.br/index.php?page julho-de-2009 . Acesso em 9 de jan. 2012; Prof. Elon Lages Lima – Equações do 2º grau http://video.impa.br/index.php?page julho-de-2011 . Acesso em 9 de jan. 2012.Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio7
HabilidadeResolver problemas em diferentes contextos, envolvendo as relações métricas dos triângulosretângulos (Teorema de Pitágoras).Questão 2Na casa ilustrada, a estrutura de madeira que sustenta o telhado apoia-se na laje.Devem-se dispor caibros (peças de madeira) na vertical, indo da laje ao pontomais alto do telhado, como a peça BD da ilustração. Devido à presença da caixad’água, essas peças são cortadas com dois metros de comprimento e postas ameia distância das extremidades A e C da laje. Assim, ABD é um triângulo retângulo de catetos quatro metros e dois metros.O comprimento da peça de madeira com extremidades em A e em B é, aproximadamente, de(A) 20 metros.(B) 8 metros.(C) 6 metros.(D) 4,5 metros.8Dados: 1,41 3 1,73 5 2,24 2 Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio
Comentários e recomendações pedagógicasA questão apresentada tem o objetivo de verificar a aplicação do Teoremade Pitágoras na resolução de problemas. Esse conceito é importantíssimo naMatemática, tanto para ser aplicado na resolução de diversos problemas contextualizados, como é conhecimento prévio para o estudo de outros conteúdos internos à matemática como trigonometria, geometria analítica, estudo dacircunferência etc.Os alunos tomam o primeiro contato com esse conceito no final do 8º ano. Eleé introduzido a partir de um contexto histórico e, logo em seguida, é mostradauma verificação da relação do terno pitagórico (3, 4, 5) geometricamente. Daípara a frente, mostra-se que há outros ternos pitagóricos até que se concluique a área do quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos.O problema em questão, além de necessitar da aplicação do teorema de Pitágoras, ainda depende de que o aluno aproxime o valor da 20; seja procurando um valor que, ao elevar ao quadrado, seja próximo de 20; seja utilizandoas técnicas de fatoração de raiz e o dado fornecido no problema ( 5 2,24)para encontrar a alternativa correta.Grade de correção:AlternativasJustificativasa) 20 metrosResposta Incorreta. O aluno deixa de calcular a raiz quadrada da hipotenusa.b) 8 metrosResposta Incorreta. O aluno calcula h 2 · 4 8.c) 6 metrosResposta Incorreta. O aluno faz a soma simples dos valores dos catetos do triângulo: BC 4 2 6d) 4,5 metrosResposta correta. O aluno aplica o teorema de Pitágoras no triângulo de catetos 2 e 4, obtendo 20. Em seguida faz a aproximaçãodesse valor.Algumas referênciasO estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomadoobservando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:1. C aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 7ª série (8º ano)– Volume 4 Situação de Aprendizagem 3 – O Teorema de Pitágoras: padrões numéricos e geométricos (p. 39);2. C aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 8ª série (9º ano)–Volume 3 Situação de Aprendizagem 3 – Relações métricas nos triângulos retânguComentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio9
los: Teorema de Pitágoras (p. 30);3. N ovo Telecurso – Ensino Fundamental – DVD 6 Aula 54 – O Teorema de Pitágoras; Aula 55 – Aplicação do Teorema de Pitágoras;4. N ovo Telecurso – Ensino Médio – DVD 2 Aula 19 – O Teorema de Pitágoras;5. S oftware – Tem TOP10 Plataforma em flash que disponibiliza aulas sobre o teorema de Pitágorase possui um quiz com questões sobre Pitágoras e seu teorema tml . Acesso em 21 de jul. de 2011;6. E xperiências Matemáticas – 7ª série Atividade 6 – Relação Pitagórica: uma verificação experimental (p. 73); Atividade 20 – Outra vez a relação de Pitágoras (p. 227).10Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio
HabilidadeIdentificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais,relacionando-as com as suas planificações.Questão 3Em um dado, que utiliza os números de 1 a 6, a soma dos números localizadosnas faces opostas é igual 7. A figura abaixo representa uma de suas possíveisplanificações. A partir dessas informações, complete a figura de tal modo que asoma das faces opostas seja 7.Comentários e recomendações pedagógicasO trabalho com planificações é interessante porque exige dos alunos o desenvolvimento da visualização dos sólidos em perspectivas diferentes. O alunoque indicou a quantidade de pontos corretamente em cada face do cubo planificado certamente demonstrou relacionar a planificação com a figura tridimensional e percebeu as faces que se colocam opostas. Se o aluno indicououtra resposta que não a correta, sugerimos recorrer às referências indicadas.Esse tema será tratado no Caderno do Professor ainda este ano. Acreditamosque tal diagnóstico permitirá ao professor planejar estratégias que viabilizem odesenvolvimento das propostas apresentadas nesse material de apoio.Grade de correção:Categorias para análiseObservaçãoO aluno preenche corretamente asfaces com números ou pontos.O professor pode ampliar o conceito de figuras espaciais e suas planificações, trabalhando outras formasgeométricas.Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio11
O aluno insere números ou pontinhos de maneira que as faces desenhadas na sequência somem 7.O aluno só usou a informação de que a soma é 7,sem, no entanto, verificar se as faces são opostas, oumesmo pode ter suposto que as faces contínuas nodesenho fiquem opostas quando formar o sólido.O professor pode retomar a questão de planificação,utilizando inclusive outras formas geométricas.O aluno escreveu qualquer outrasequência numérica diferente dasduas indicadas anteriormente.O aluno deixou a questão embranco.O aluno demonstra não dominar a habilidade emquestão.O professor pode retomar a questão de planificação,utilizando inclusive outras formas geométricas.O professor pode retomar a questão de planificação,utilizando inclusive outras formas geométricas.Algumas referênciasO estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomadoobservando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:1. C aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental – 5ª série (6º ano)– Volume 3 Situação de Aprendizagem 2 – Planificando o espaço (p. 21);2. C aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 6ª série (7º ano)– Volume 2 Situação de Aprendizagem 4 – Classificação, desenho e montagem depoliedros (p. 40);3. E xperiências Matemáticas – 5ª série Atividade 6 – Geometria: sólidos geométricos (p. 61); Atividade 11 – Os prismas (p. 115); Atividade 12 – Prismas e alturas (p. 121).12Comentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio
HabilidadeIdentificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema.Questão 4Numa gincana de Matemática, Hélio calculou mentalmente dois números demodo que sua soma fosse igual a 12 e sua diferença 2. Lúcia utilizou outra estratégia, determinando esses dois números algebricamente. Dessa forma, um possível sistema de equações para indicar o raciocínio de Lúcia é(A)(B)(C)(D){{{{x y 122x 3y 12x - y 94x 3y 10x-y 5x y 7x y 12x-y 2Comentários e recomendações pedagógicasO estudo de sistemas do 1º grau é iniciado no Caderno do Professor da 7ª série(8º ano), Vol. 3. A introdução do assunto se dá com situações-problema de umaequação e duas incógnitas. São exibidas tabelas para que se observem as diversas soluções possíveis. Daí, então, mostra-se que, com mais informações sobrea situação-problema – inclusão de outra equação –, o problema tem soluçãoúnica. Considera-se, dessa forma, um sistema de equações do 1º grau.O assunto é retomado com maior profundidade no Caderno do professor da2ª série do EM, v. 2, em que o tratamento de sistemas lineares com matrizes ésistematizado. Acreditamos que tal diagnóstico permitirá ao professor planejar estratégias que viabilizem o desenvolvimento das propostas apresentadasnesse material de apoio.A questão indicada solicita que se traduza um problema dado na língua naturalpara uma linguagem algébrica, na forma de sistema de equações do 1º grau.Obviamente, espera-se também que o aluno saiba reconhecer uma equaçãodo 1º grau.Se o aluno interpreta devidamente os dados do problema, transcreve-os parao formato desejado e reconhece essas expressões no formato de um sistemaComentários e Recomendações Pedagógicas / Avaliação de Matemática – 2ª série do Ensino Médio13
de equações, ele demonstra dominar a habilidade em questão. Caso o alunoescolha qualquer outra opção, é aconselhável fazer uma revisão, recorrendo aalgumas das referências indicadas.Grade de vasx y 122x 3y 1Resposta incorreta. O aluno considerou somente a soma igual a12, mas não atentou à diferença.2x - y 94x 3y 10Resposta incorreta. O aluno não fez as devidas correspondênciasentre o enunciado da questão e as equações.x-y 5x y 7Resposta incorreta. O aluno não fez as devidas correspondênciasentre o enunciado da questão e as equações.x y 12x-y 2Resposta correta. O aluno fez as devidas correspondências entreo enunciado da questão e as equações.Algumas referênciasO estudo da temática em questão pode ser complementado ou retomadoobservando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:1. C aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 6ª série (7º ano)– Volume 4 Situação de Aprendizagem 3 – Equações, perguntas e balanças (p. 29);2. C aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano)– Volume 3 Situação de Aprendizagem 3 – Sistema de equações lineares (p. 38);3. C aderno do Professor: Matemática – Ensino Fundamental - 7ª série (8º ano)– Volume
processo de ensino e aprendizagem. Ressaltamos que, quando alguma questão apresentou problemas tanto de ordem técnica como pedagógica, ela foi substituída ou modificada. Para o ano de 2013, a 4ª edição da Avaliação da Aprendizagem em Processo tam - bém contemplará os anos/séries 8º e
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