Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris - READI
Pembahasan SoalUjian Profesi AktuarisPersatuan Aktuaris IndonesiaA20-Probabilitas dan StatistikaPeriode 2014-2019Penyusun:Wawan Hafid Syaifudin, M.Si, MAct.Sc.2019
DAFTAR ISIBAB 1Pembahasan A20 Nopember 20142BAB 2Pembahasan A20 Maret 201533BAB 3Pembahasan A20 Juni 201560BAB 4Pembahasan A20 Nopember 201587BAB 5Pembahasan A20 Maret 2016116BAB 6Pembahasan A20 Juni 2016149BAB 7Pembahasan A20 Nopember 2016189BAB 8Pembahasan A20 Mei 2017222BAB 9Pembahasan A20 Nopember 2017260BAB 10Pembahasan A20 Mei 2018292BAB 11Pembahasan A20 Nopember 2018329BAB 12Pembahasan A20 April 20193591
BAB 1PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 20141. Suatu perusahaan asuransi kerugian menganalisa data-data pelanggannya dan mendapatkaninformasi sebagai berikut :(I) Semua pelanggannya mengasuransikan sedikitnya satu mobil(II) 64% dari pelanggannya mengasuransikan lebih dari satu mobil(III) 20% dari pelanggannya mengasuransikan mobil dengan jenis sport car(IV) Dari pelanggannya yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15% adalah mobildengan jenis sport carHitunglah probabilitas bahwa pelanggan yang diseleksi secara acak adalah pelanggan yangmengasuransikan sedikitnya satu mobil dan mobilnya bukan berjenis sport car.A. 0,16B. 0,19C. 0,26D. 0,29E. 0,30Pembahasan:Misalkan :A menyatakan pelanggan yang mengasuransikan lebih dari 1 mobilB menyatakan pelanggan yang mengasuransikan mobil dengan jenis sport car.Diketahui bahwa :P( A) 0, 64 P( A0 ) 1 P( A) 1 0, 64 0, 36P( B) 0, 20 P( B0 ) 1 P( B) 1 0, 20 0, 80P( A B) 0, 15P( A) (0, 15)(0, 64) 0, 0962
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Kita akan menghitung P( A0 B0 )P( A0 B) P( B) P( A B) (0, 20) (0, 096) 0, 104P( A0 B0 ) P( A0 ) P( A0 B) (0, 36) (0, 104) 0, 256 0, 26Jawab: C.2. Suatu sistem infrastruktur IT dibangun sehingga jika komponen K1 gagal maka komponenK2 digunakan. Jika K2 gagal maka K3 digunakan. Probabilitas bahwa K1 gagal adalah 0,02,K2 gagal adalah 0,04, dan K3 gagal adalah 0,06. Hitunglah probabilitas sistem tidak gagal.A. 0,99998B. 0,99995C. 0,00005D. 0,00002E. 0Pembahasan:DiketahuiP(K1 ) 0, 02 P(K10 ) 0, 98;P(K2 ) 0, 04 P(K20 ) 0, 96; danP(K3 ) 0, 06 P(K30 ) 0, 94;P(Sistem Tidak Gagal) P(K10 ) P(K1 )P(K20 ) P(K1 )P(K2 )P(K30 ) 0, 98 (0, 02)(0, 96) (0, 02)(0, 04)(0, 94) 0, 999952 0, 99995Jawab: B.3. Jika ruang sampel ζ C1 C2 dan jika Pr (C1 ) 0, 7 dan Pr (C2 ) 0, 5.Hitunglah Pr (C1 C2 )A. 0,1READI Project3Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014B. 0,2C. 0,3D. 0,4E. 0,5Pembahasan:Karena ζ C1 C2 adalah ruang sampel, maka P(C1 C2 ) 1P(C1 C2 ) P(C1 ) P(C2 ) P(C1 C2 )1 0, 7 0, 5 P(C1 C2 ) P(C1 C2 ) 1, 2 1 0, 2Jawab: B.4. Banyaknya kombinasi dari r obyek yang dipilih dari kumpulan n obyek yang berbedanndiberikan oleh. Tentukanlah persamaan yang tepat darikk nn 1n 1A. rr 1r nnn 1B. rr 1r nn 2n 1C. rr 2r nn 1n 1D. rr 1r 2 nn 1n 1E. rr 1r 2Pembahasan: READI Project ( n 1) !n 1n 1( n 1) ! r 1r(r 1)!(n r )! r!(n 1 r )!( n 1) !r( n 1) ! ( n r ) (n r )!(r 1)! r (n 1 r )!r! (n r )(n 1)!r( n 1) ! ( n r ) ( n r ) ! (r ) !(n r )!r!(n 1)!r (n 1)!(n r ) (n r )!r!4Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014( n 1) ! (r n r )(n r )!r!( n 1) ! ( n ) (n r )!r!n! (n r )!r! n r Jawab: A.5. Distribusi probabilitas dari ukuran klaim untuk sebuah polis asuransi diberikan dalam tabelberikut.Ukuran 00,100,30Tentukanlah persentase dari klaim yang terletak dalam rentang nilai satu standar deviasi darimedian ukuran klaim.A. 45%B. 85%C. 68%D. 55%E. 20%Pembahasan:Misal U menyatakan ukuran klaim, maka kita peroleh :E(U ) 20(0, 15) 30(0, 10) 40(0, 05) 50(0, 20) 60(0, 10) 70(0, 10) 80(0, 30) 55E(U 2 ) 202 (0, 15) 302 (0, 10) 402 (0, 05) 502 (0, 20) 602 (0, 10) 702 (0, 10) 802 (0, 30) 3500READI Project5Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Var (U ) E(U 2 ) [E(U )]2 3500 (55)2 475q σu Var (U ) 475 21, 79Kita akan menghitung presentase klaim yang terletak antara :(median σu , median σu ) (50 21, 79 , 50 21, 79) (28, 21 , 71, 79)Presentase klaim yang terletak dalam interval tersebut adalah :0, 10 0, 05 0, 20 0, 10 0, 10 0, 55 55%Jawab: D.6. Misalkan seorang peserta pertandingan memanah mempunyai kemampuan tepat mengenaisasaran adalah 65% dan mengambil n 5 percobaan memanah sasaran.Misalkan X menunjukkan banyaknya percobaan tepat memanah sasaran dimana Xmempunyai distribusi binomial. Hitunglah Pr ( X E[ X ]) .A. 0,000B. 0,116C. 0,312D. 0,428E. 0,500Pembahasan:Diketahui X Bin(n 5, p 0, 65)E[ X ] n.p 5(0, 65) 3, 25P( X E[ X ]) P( X 3, 25) P( X 4) P( X 5) 554 (0, 65) (0, 35) (0, 65)5 (0, 35)045 0, 428415 0, 428Jawab: D.READI Project6Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 20147. Misalkan A, B dan C adalah suatu peristiwa dimana P( A C ) 0, 05 dan P( B C ) 0, 05.Manakah dari pernyataan di bawah ini yang benar?A. P( A0 B0 C ) 0, 90B. P( A B C ) (0, 05)2C. P( A B C ) 0, 05D. P( A B C 0 ) 1 (0, 05)2E. Jawaban A, B, C dan D salahPembahasan:Diketahui bahwa P( A C ) 0, 05 dan P( B C ) 0, 05Selanjutnya kita akan melakukan cek untuk masing-masing pilihan jawaban Untuk jawaban AP( A0 B0 C ) P(( A B)0 C ) 1 P( A C ) P( B C ) P( A B C ) 1 0, 05 0, 05 (0, 05)2 P(C ) 0, 9 (0, 05)2 P(C ) 0, 9Jadi, opsi A benar Untuk jawaban BP( A B C )P( C )P(( A C ) ( B C )) P( C )P( A C ) P( B C ) P( C )P( A B C ) READI Project7Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014P( A C )P( C ) P( B C )P( C )P( C )(0, 05).P(C ).(0, 05)P(C ) P( C ) (0, 05)2 P(C )6 (0, 05)2Jadi, opsi B salah Untuk jawaban CP( A B C ) P( A C ) P( B C ) P( A B C ) 0, 05 0, 05 (0, 05)2 P(C ) 0, 1 (0, 05)2 P(C ) 0, 1 0, 0025P(C )Nilai dari 0, 1 0, 0025P(C ) tidak mungkin kurang dari atau sama dengan 0,05. Halini terjadi karena 0 P(C ) 1Jadi, opsi C salah Untuk jawaban DP( A B C 0 ) P( A C 0 ) P( B C 0 ) P( A B C 0 )P( A ) P( A C ) P( B ) P( B C ) P( A b ) P( A B C ) 1 P( C )1 P( C )1 P( C )Nilai ini tidak akan ada hasilnya jila P(C ) 1Jadi P( A B C ) belum tentu lebih besar atau sama dengan 1 (0, 05)2Jadi, opsi D salahJawab: A.8. Suatu kotak mengandung 4 bola merah dan 6 bola putih. Kemudian 3 buah bola diambilsecara acak tanpa dikembalikan ke dalam kotak. Berapakah probabilitas bahwa bola yangdiambil adalah 1 bola merah dan 2 bola putih, dimana diberikan syarat bahwa sedikitnya 2bola yang diambil berwarna putih?READI Project8Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014122B.33C.49D.11A.E. 0Pembahasan:Misal A menyatakan kejadian terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih, serta Bmenyatakan kejadian sedikitnya terambil 2 bola berwarna putih kita akan menghitungP( A B), yaitu:P( A B )P( A )P( A B ) P( B )P( B ) 4 C16 C210 C34 C16 C2 4 C06 C310 C310 C34 C16 C24 C16 C2 6 C3360 804Jawab: C.9. Misalkan X adalah variabel acak dengan fungsi distribusi berikut:F(X ) 0 x 8 1434 1x8x12,x 0,0 x 1,1 x 2,2 x 3,x 3Hitunglah P(1 x 2)A.1924B.38C.1324READI Project9Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014D.716E. 1Pembahasan:P(1 x 2) Fx (2) Fx (1) 321 1 4 124 8922 24 2413 24Jawab: C.10. Kerugian akibat kebakaran yang terjadi dalam suatu bangunan komersial dimodelkan olehvariabel acak X dengan fungsi densitas berikut: 0, 005(20 x ) ,f (x) 0,0 x 20lainnyaDiberikan bahwa kerugian kebakaran melebihi 8, hitunglah probabilitas bahwa kerugiankebakaran melebihi 16.A.125B.19C.18D.13E.17Pembahasan:Diketahui 0, 005(20 x ) ,f (x) 0,READI Project100 x 20lainnyaWawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Dengan demikian kita peroleh CDF dari funsi densitas tersebut adalah :F(x) Z xZ0 x00, 005(20 t)dt0, 1 0, 005t dt 0, 1t 0, 0025t2x0 0, 1x 0, 0025x2S( x ) 1 F ( x ) 1 0, 1x 0, 0025x2S(8) 1 0, 1(8) 0, 0025(8)2 0, 36S(16) 1 0, 1(16) 0, 0025(16)2 0, 04Kita akan menghitung P( x 16 x 8), yaitu:P( x 16 x 8) 0, 041S(16) S (8)0, 369Jawab: B.11. Misalkan X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi densitas berikut: 0, 005(20 x ) ,f (x) 0,0 x 20lainnyaJika median dari distribusi ini adalah 31 , berapakah α ?A.13ln 12B.13ln 2C. 2 ln 31D. 3 ln 2E. ln 3READI Project11Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Pembahasan:Pertama-tama kita akan mencari CDF dari fungsi densitas di atas, yaitu:F(x) Z x0αe αt dt e αtx0 1 e αxDiberikan bahwa median dari distribusi adalah 13 . Dengan demikian kita peroleh: 11F 1 e α( 3 )310, 5 1 e α( 3 )10, 5 e α( 3 ) 1α 3 ln2 3 ln 2Jawab: D.12. X dan Y adalah variabel acak bebas dengan Fungsi Pembangkit Momen yang sama yaituM (t) et2 /2. Misalkan bahwa W X Y dan Z Y X. Nyatakan Fungsi PembangkitMomen Bersama M(t1 , t2 ) dari W dan Z.2A. et1 2t2B. e(t1 t2 )2C. e(t1 t2 )222D. et1 t22E. et2Pembahasan:Diberikan MX (t1 ) eREADI Projectt212dan MY (t2 ) et21212Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Dengan demikian kita peroleh :MW (t1 , t2 ) MX (t1 ).MY (t2 )t21t22 e 2 .e 2 et2 t2212MZ (t1 , t2 ) MX ( t1 ).MY (t2 )t212 e .e eMWZ (t1 , t2 ) et222t2 t2212t2 t22122.et2 t22122 e t1 t2Jawab: D.13. Polis asuransi untuk suatu alat elektronik akan membayar manfaat sebesar 4.000 jika alatelektronik tersebut rusak dalam satu tahun pertama. Jumlah manfaat yang akan dibayarkanakan menurun sebesar 1.000 setiap tahun berikutnya hingga mencapai 0. Jika alat elektroniktersebut tidak rusak di awal dari suatu tahun tertentu, maka probabilitas bahwa alat elektroniktersebut akan rusak selama satu tahun tertentu tersebut adalah 0,4. Berapakah manfaat yangdiharapkan dari polis ini?A. 2.234B. 2.400C. 2.694D. 2.667E. 0Pembahasan:Manfaat yang diharapkan polis tersebut adalah :(0, 4)(4000) (0, 6)(0, 4)(3000) (0, 6)2 (0, 4)(2000) (0, 6)3 (0, 4)(1000) 2694, 4 2694Jawab: C.READI Project13Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 201414. Misalkan X dan Y adalah dua variabel acak yang mempunyai fungsi probabilitas densitasbersama berikut:2( x 2y) , 0 x 1, 0 y 13 0 , lainnyaf ( x, y) Tentukan nilai variansi bersyarat dari X diberikan Y 12 .A. 13/162B. 7/18C. 5/9D. 7/9E. 1Pembahasan:Pertama -tama kita akan mencari pdf marginal dari Y, yaitu:f Y (y) Z 12014( x 2y)dx x2 xy33310 1 4 y3 3Selanjutnya, kita akan mencari pdf bersyarat dari f ( x y), yaitu2f ( x, y)3 ( x 2y ) 1f X Y ( x y ) f (x)3 (1 4y )untuk y 21 , maka didapatkan pdf bersyaratnya adalah fREADI Project1x y 2 142x 22x 2 1 23Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Berikut kita akan menghitung Var ( x y 12 ) 11 212Var ( x y ) E( x y ) E( x y )222 Z 1 2Z 12 x f ( x y)dx x f ( x y)dx0 Z 10 x22x 23 dx 1 Z0 x2x 23 2 dx Z 1 212(2x 2x )dx (2x 2x )9 00 1 21 2 31 1 4 2 312x x x x3 23 09 30 21 1 21 2 1 3 2 39 3725 18 81131621 3 0 Z 132Jawab: A.15. Misalkan X berdistribusi uniform pada interval [-1,5] dengan fungsi probabilitas densitasf (x) 18, 0 ,Hitunglah nilai ekspektasi g( X ) X 3 1 x 5lainnyaX 2A. 16,21B. 18,53C. 19,23D. 20,96E. 21,99Pembahasan:READI Project15Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014E[ g( x )] Z 5g( x ) f ( x )dx 1Z 5 1x3 x 2 1dx8 x 2dx1 5 31 5x dx 8 18 1 51 21 1 4x ( x 2)3/28 4 18 3 12 3/2(625 1) 7 1322420, 96ZZ5 1Jawab: D.16. Jika X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas berikut: x ,10f (x) 0,for 2 x 4lainnyaHitunglah nilai ekspektasi dari X.A.15B.35C. 1D.2815E.125Pembahasan:READI Project16Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014E[ X ] Z 0 2 x x10Z 0 x2 dx Z 40x x dx10Z 4 2xdx dx1010 2 0 1 3 01 34xx 3030 0 2 8 64 303056302815Jawab: D.17. Andaikan X N (µ 3, σ2 4). Jika variabel random Y e X . Tentukan deviasistandar untuk variabel random Y. Tentukan 100Cov[Ŝ(t), Ŝ(r )]A.B.C.D.E. 7, 25378, 22279, 252210, 153711, 1527Pembahasan:Jika X N (µ, σ2 ), maka Y e x Lognormal(µ, σ2 )h 2ihi 2σ2µ σVar (Y ) e 1 e e4 1 e 6 4 e2 e 2 7, 2537p σY Var (Y ) 7, 2537Jawab: A.18. Andaikan X dan Y adalah variabel random diskrit dengan p( x, y) k.( x 2y) untuk x 0, 1, 2, 3 dan y 1, 2. Tentukan E[ Y ]A. 0,02778READI Project17Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014B. 1,02578C. 1,25300D. 2,12500E. 3,21250Pembahasan:Pertama, kita akan mencari nilai dari kosntanta k terlebih dahulu32 k(x 2y) 1 k ( x 2) k ( x 4) 1x 0 y 13x 03k 2x 6 1x 0k [2(0 1 2 3) 6(4)] 136k 11k 36Dengan demikian kita dapatkan pdf bersama untuk X dan Y adalah P( x, y) 136 ( x 2y)Selanjutnya kita akan mencari pdf marginal dari Y, yaitu:P (Y ) 1( x 2y)x 0 36 READI Project318 1(6 8y)36Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Oleh karena itu, kita dapatkan : E( Y ) 3 3 y P (Y )y 1 1 y(6 8y)36y 11 1(6 8) 2(6 16) 3636 1, 25313 1, 253Jawab: C.19. Andaikan bahwa X N (µ X 2, σX 3) dan Y N (µY 1, σX 5) adalahindependen. Jika S X Y adalah suatu penjumlahan, maka tentukan Pr (S 4).A. 0,697B. 0,769C. 0,796D. 0,976E. Jawaban A, B, C dan D salahPembahasan:Jika X (µ X 2, σX 3) dan Y N (µY 1, σY 5) maka : S X Y N (µs 1, σs 52 32 34)Dengan demikian kita peroleh :S µs4 µsP( S 4) P σsσ s4 1 P Z 34 P( Z 0, 5145) 0, 697Jawab: A.READI Project19Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 201420. Jika X adalah variabel random yang memiliki fungsi berikut : f x ( x ) 3x2 ; 0 x 1.Tentukan fungsi densitas f y (y) untuk Y e2x .A. 3(ln y)2 /8yB. 2(ln y)2 /yC. 3(ln y)3 /2yD. 2(ln y)2 /3yE. (ln y)2 /yPembahasan:Jika Y e2x , maka X 12ln YFY (y) P(Y y) P(ln Y ln y)11 P( ln Y ln y)2 2 1 P ln X ln y2 12Zln y0 x3123x2 dxln y01 (ln y)38Dengan demikian kita dapatkan :d[ FY (y)]dy d 13 (ln y)dy 83(ln y)2 8yf Y (y) Jawab: A.READI Project20Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 201421. Sebuah uji diagnostik mengenai ada atau tidaknya suatu penyakit mempunyai dua hasil yangmungkin : 1 untuk ada penyakit dan 0 untuk tidak ada penyakit. Misalkan X menunjukkanadanya atau tidaknya penyakit berdasarkan pernyataan pasien, dan Y menunjukkan hasil dariuji diagnostik. Fungsi probabilitas bersama dari X dan Y diberikan oleh ;Pr ( X 0, Y 0) 0, 800Pr ( X 0, Y 1) 0, 025Pr ( X 1, Y 0) 0, 050Pr ( X 1, Y 1) 0, 125Hitunglah Var (Y X 1).A. 0,15B. 0,20C. 0,51D. 0,71E. 0,88Pembahasan:Dari fungsi probabilitas tersebut, kita dapatkan :E [ Y 2 X 1 ] 02 f ( y 0 x 1 ) 12 f ( y 1 x 1 )f ( x 1, y 0)f ( x 1, y 1) 0. 1.f ( x 1)f ( x 1)0, 125 1.0, 1755 7READI Project21Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014E [Y X 1 ] 0 f ( y 0 x 1 ) 1 f ( y 1 x 1 )f ( x 1, y 1) 1.f ( x 1)0, 125 1.0, 1755 7 2555 25 Var (Y X 1) 777 4910 49 0, 20408 0, 20Jawab: B.22. Fungsi probabilitas densitas untuk variabel acak X diberikan oleh :f ( x ) k (10 x ) 2 ;0 x Hitunglah Pr ( X 15)A. 0,4B. 0,6C. 0,7D. 0,9E. Jawaban A, B, C dan D salahPembahasan:READI Project22Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Pertama, kita akan menghitung nilai dari kostanta k, yaitu :Z 0kdx( x 10)2 k( x 10) 0k10k 1 1 1 10Dari sini, kita peroleh fungsi probabilitas densitas untuk X adalahf ( x ) 10( x 10) 2 , 0 x Selanjutnya, kita akan menghitung Pr ( X 15)Pr( X 15) Z 1510dx20 ( x 10) 10 15( x 10) 0101 2515250, 6Jawab: B.23. Misalkan X adalah variabel acak berdistribusi uniform pada interval (1, a) dimana a 1.Jika E( X ) 3Var ( X ) maka nilai a adalah :A. 1 B. 2 5C. 3 D. 3 2 E. 4 3READI Project23Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Pembahasan:Diketahui f ( x ) 1a 1 ,dengan a 1karena X Uniform(1, a), maka kita dapatkan :E[ X ] a 1( a 1)2a2 2a 1dan Var [ X ] 21212Dengan demikian kita peroleh:E[ X ] 3Var [ X ] 2 a 1a 2a 1 32122( a 1) a2 2a 12a 2 a2 2a 1a2 4a 1 0Nilai a yang memenuhi persamaan tersebut adalah a 2 maka didapatkan a 2 5 5. Karena disyaratkan a 1,Jawab: B.24. Seorang Aktuaris menentukan ukuran klaim untuk kelas kecelakaan tertentu (certain classof accidents) adalah random variable, X, dengan moment generating function (mgf) berikut:Mx (t) 1(1 2500t)4Tentukan deviasi standar dari ukuran klaim untuk kelas kecelakaan tersebut.A. 1.340B. 5.000C. 8.660D. 10.000E. 11.180READI Project24Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Pembahasan:dMx (t)dtt 0id h 4 (1 2500t)dtE[ X ] 10.000(1 2500t)t 0 5t 0 10.000d 0E[ X 2 ] M (t)dt xt 0id h10.000(1 2500t) 5 dt 10.000(12.500)(1 2500t)t 0 5t 0 125.000.000Var ( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 125.000.000 (10.000)2 25.000.000q σx Var ( X ) 25.000.000 5000Jawab: B.25. Suatu perusahaan asuransi menerbitkan 1250 polis asuransi kecelakaan. Jumlah klaimyang diajukan oleh pemegang polis untuk polis asuransi kecelakaan ini dalam satu tahunadalah variabel acak Poisson dengan mean 2. Asumsikan jumlah klaim yang diajukan olehpemegang polis yang saling berbeda adalah independen satu sama lainnya.Tentukan aproksimasi nilai probabilitas dimana total klaim terjadi antara 2450 dan 2600dalam kurun waktu satu tahun ?A. 0,68B. 0,82C. 0,87D. 0,95E. 1,00Pembahasan:Misalkan X menyatakan jumlah klaim yang diajukan masing-masing pemegang polis.READI Project25Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Diketahui bahwa X Poisson(λ 2), dengan demikian kita peroleh :µ x λ 2 dan Var ( X ) λ 2 σx 2Misalkan S menyatakan total klaim dengan n 1250, maka :µs nµ x 2(1250) 2500 dan Var (S) n. Var ( X ) 1250(2) 2500sehingga σs pVar (S) 2500 50Kita selanjutnya akan menghitung P(2450 S 2600) S µs2600 µs2450 µs P(2450 S 2600) Pσsσsσs 2600 25002450 2500 Z P5050 P( 1 Z 2) φ(2) (1 φ(1)) 0, 9772 (1 0, 8413) 0, 9772 0, 1587 0, 8185 0, 82Jawab: B.26. Jika X dan Y adalah jumlah jam yang secara acak diambil dari orang-orang yang terpilihmenonton film dan acara olahraga secara berurutan, dalam periode 3 bulan.Berikutinformasi yang diketahui tentang X dan Y:E( X ) 50E(Y ) 20Var ( X ) 50Var (Y ) 30Cov( X, Y ) 10READI Project26Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Seratus orang secara acak dipilih dan diamati dalam 3 bulan. Jika T adalah total jumlah jamdimana seratus orang tersebut menonton film atau acara olahraga selama perode 3 bulan.Hitung aproksimasi nilai dari P( T 7100).A. 0,62B. 0,84C. 0,87D. 0,92E. 0,97Pembahasan:Jika T X Y, maka :E[ T ] E[ X ] E[Y ] 50 20 70Var [ T ] Var [ X ] Var [Y ] 2Cov[ X, Y ] 50 30 20 100Kita akan menghitung P( T 7100), yaitu:7100 E(100T )T E(100T )p pVar (100T )Var (100T )!7100 100(70) P Z p100(100) 100 P Z 100 P( Z 1)!P(100T 7100) P 0, 8413 0, 84Jawab: B.27. Keuntungan dari suatu produk asuransi baru diketahui Z 3X Y 5. Diketahui bahwaX dan Y adalah variabel acak independen dengan Var ( X ) 1 and Var (Y ) 2.Tentukan variance dari Z ?READI Project27Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014A. 1B. 5C. 7D. 11E. 16Pembahasan:Var [ Z ] Var [3X Y 5] 9Var [ X ] Var [Y ] 9(1) 2 11Jawab: D.28. Misal X merupakan biaya klaim bedah dan Y merupakan biaya klaim rawat inap. Seseorangaktuaris menggunakan suatu model dimanaE( X ) 5; E( X 2 ) 27, 4, E(Y ) 7; E(Y 2 ) 51, 4 dan Var ( X Y ) 8Jika C1 X Y merupakan kombinasi dari biaya klaim bedah dan biaya rawat inap, danC2 merupakan kombinasi dari biaya klaim bedah dan biaya rawat inap yang sudah dilakukanpenambahan biaya 20%. 20% penambahan biaya hanya berlaku untuk rawat inap. HitunglahCov(C1 , C2 )A. 8,80B. 9,60C. 9,76D. 11,52E. 12,32READI Project28Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014Pembahasan:Diketahui C1 X Y dan C2 X 1, 2YVar ( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 27, 4 52 27, 4 25 2, 4Var (Y ) E(Y 2 ) [E(Y )]2 51, 4 72 51, 4 49 2, 4Var ( X Y ) Var ( X ) Var (Y ) 2Cov( X, Y )8 2, 4 2, 4Var ( X Y ) Var ( X ) Var (Y ) 1, 6Cov( X Y ) 22E[ XY ] Cov( X Y ) E[ X ].E[Y ] 1, 6 (5)(7) 36, 6Dari sini kita peroleh :Cov(C1 , C2 ) E(C1 .C2 ) E(C1 )E(C2 ) E[( X Y )( X 1, 2Y )] E[ X Y ].E[ X 1, 2Y ] E[ X 2 2, 2XY 1, 2Y2 ] [E( X ) E(Y )][E( X ) 1, 2E(Y )] E( X 2 ) 2, 2E( XY ) 1, 2E(Y2 ) [E( X ) E(Y )][E( X ) 1, 2E(Y )] 27, 4 2, 2(36, 6) 1, 2(51, 4) [5 7][5 1, 2(7)] 8, 8Jawab: A.29. Sebuah fungsi joint density diketahui sebagai berikut : kx ,f ( x, y) 0 ,0 x 1, 0 y 1lainnyadimana k adalah konstan.Tentukan Cov( X, Y ) ?A. 16B. 0191D.6C.READI Project29Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014E.23Pembahasan:Pertama kita akan mencari nilai dari konstanta k terlebih dahuluZ 1Z 100f ( x, y) dx dy 1Z 1Z 100kx dx dy 1Z 1k02dy 1k 12k 2Dengan demikian kita peroleh fungsi joint density untuk x dan y adalah 2x ,f ( x, y) 0 ,untuk 0 x 1, 0 y 1lainnyafungsi densitas marginal (pdf marginal) dari x dan y masing-masing adalahf (x) f (y) Z 10Z 102xdy 2x2xdx 1Oleh karena itu,kita dapatkan :E[ XY ] E[ X ] Z 1Z 10Z 10Z 10xy f ( x, y)dx dy x f ( x ) dx Z 10Z 1Z 1Z 102x2 dx 02x2 y dx dy Z 12 31x y dy 0332312 001211 1Cov( X, Y ) E[ XY ] E[ X ]E[Y ] 03323 3E [Y ] y f (y) dx y dy Jawab: B.30. Bila diketahui suatu informasi untuk N, jumlah klaim tahunan untuk tertanggung yangREADI Project30Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014secara acak terpilih :121P ( N 1) 3P( N 1) 16P ( N 0) Jika S menyatakan total jumlah klaim tahunan untuk seorang tertanggung. Ketika N 1 ,S secara eksponensial berdistribusi dengan mean 5. Ketika N 1, S secara eksponensialberdistribusi dengan mean 8.Tentukan P(4 S 8).A. 0,04B. 0,08C. 0,12D. 0,24E. 0,25Pembahasan: Untuk N 0, kita peroleh:P(4 S 8) P( N 0).P(4 S 8 N 0)1 (0)2 0READI Project31Wawan Hafid Syaifudin
BAB 1. PEMBAHASAN A20 NOPEMBER 2014 Untuk N 1, kita perolehP(4 S 8) P( N 1)P(4 S 8 N 1)Z1 8 1 se 5 ds 3 4 5ih1 1 8/5 4/5 . ( 5) e e3 5i1 h 4/5 e e 8/53 0, 08247 Untuk N 2, kita peroleh:P(4 S 8) P( N 2)P(4 S 8 N 2)Z1 8 1 s e 8 ds6 4 8hi1 1 . ( 8) e 8/8 e 4/86 8i1 h 1/2 e e 16 0, 03978Dengan demikian kita peroleh:P(4 S 8) 0 0, 08247 0, 03978 0, 12225 0, 12Jawab: C.READI Project32Wawan Hafid Syaifudin
BAB 2PEMBAHASAN A20 MARET 20151. Sebuah perusahaan Asuransi Jiwa yang baru berdiri mempunyai 20.000 pemegang polis.Setiap pemegang polis, biasanya diklasifikasikan sebagai:I. Medical atau non MedicalII. Pria atau WanitaIII. Anak-anak (juvenile) atau dewasaDari para pemegang polis ini diketahui:I. Pria dan medical adalah 3.000 pemegang polisII. Medical dan anak-anak adalah 2.500 pemegang polisIII. Pria dan anak-anak adalah 3.000 pemegang polisIV. Medical, pria dan anak-anak adalah 1.000 pemegang polisV. Medical (melalui pemeriksaan kesehatan) adalah 5.000 pemegang polisVI. Pemegang polis pria sebanyak 10.000 pemegang polisVII. Pemegang polis anak-anak (juvenile) adalah 12.000 pemegang polisBerapakah dari pemegang polis tersebut adalah wanita dewasa yang melalui prosespemeriksaan kesehatan (medical)?A. 1.500B. 500C. 2.500D. 880E. 1.76033
BAB 2. PEMBAHASAN A20 MARET 2015Pembahasan:Diketahui data sebagai berikut:Jumlah pemegang polis pria 10.000Jumlah pemegang polis wanita 10.000Jumlah pemegang polis anak-anak 12.000Jumlah pemegang polis dewasa 8.000Jumlah pemegang polis medical 5.000Jumlah pemegang polis non medical 15.000Selain itu diberikan info tambahan sebagai berikut:Jumlah pemegang polis pria dan medical 3.000Jumlah pemegang pria dan non medical 10.000 3.000 7.000Jumlah pemegang polis wanita dan medical 5.000 3.000 2.000Jumlah pemegang polis medical dan anak-anak 2.500Jumlah pemegang polis medical dan dewasa 5.000 2.500Jumlah pemegang polis pria dan anak-anak 3.000Jumlah pemegang polis pria dan dewasa 10.000 3.000 7.000Jumlah pemegang polis wanita dan dewasa 8.000 7.000 1.000Jumlah pemegang polis medical, pria, anak-anak 1.000Jumlah pemegang polis medical, wanita,anak-anak 2.500 1.000 1.500Jumlah pemegang polis medical, wanita, dewasa 2.000 1.500 500Jadi jumlah pemegang polis yang termasuk kategori wanita, dewasa, dan medical adalah 500Jawab: B.2. Diketahui X dan Y adalah variabel acak diskrit dengan joint probability distribution 50,050,15Hitunglah E[ X Y 6] ( ekspektasi nilai dari X (expected value of X), bila diketahui Y 6).READI Project34Wawan Hafid Syaifudin
BAB 2. PEMBAHASAN A20 MARET 2015A. 0,45B. 0,55C. 3,10D. 2,70E. 1,80Pembahasan:Diketahui:f ( x 2 y 6) 0, 153 0, 5511f ( x 4 y 6) 50, 25 0, 55110, 153 0, 5511Dengan demikian diperoleh:f ( x 5 y 6) E [ X Y 6 ] 2 f ( x 2 y 6 ) 4 f ( x 4 y 6 ) 5 f ( x 5 y 6 ) 533 2 4 511111141 11 3, 727Jawab: Tidak ada jawaban yang memenuhi3. Diketahui informasi di bawah ini:READI Project35Wawan Hafid Syaifudin
BAB 2. PEMBAHASAN A20 MARET 2015Mobil MerahMobil Hijau4006000,100,050,900,80Jumlah pemegang polisKemungkinan terjadikecelakaanKemungkinan biaya klaimmelebihi batas penggantiansendiri (deductible) bilakecelakaan timbul dari groupiniSeorang aktuaris memilih sebuah klaim secara acak dari antara klaim-klaim yang melebihibatas penggantian sendiri (above deductible). Berapakah kemungkinan klaim yang dipilihadalah mobil berwarna merah?A. 0,900B. 0,360C. 0,491D. 0,600E. 0,941Pembahasan:(0, 4)(0, 10)(0, 90)(0, 4)(0, 10)(0, 90) (0, 6)(0, 05)(0, 80) 0, 6P(Klaim yang dipilih adalah mobil berwarna merah) Jawab: D.4. Dalam memodelkan jumlah klaim yang dimasukkan oleh pemegang polis pada suatuperusahaan asuransi mobil untuk masa 3 tahun, seorang aktuaris membuat asumsi sederhanabahwa untuk semua n lebih dari 0 (n 0), Pn 1 0, 2Pn dimana Pn adalah kemungkinanbahwa pemegang polis akan memasukkan sebanyak n klaim selama masa tersebut. Denganasumsi ini, berapakah probabilitas bahwa seorang pemegang polis akan memasukkan lebihdari satu klaim selama periode tersebut?READI Project36Wawan Hafid Syaifudin
BAB 2. PEMBAHASAN A20 MARET 2015A. 0,40B. 0,80C. 0,16D. 0,08E. 0,04Pembahasan:Diketahui bahwa Pn 1 0, 2Pn , untuk n 0. Oleh karena itu, kita dapatkan P1 0, 2P0 ;P2 0, 2P1 (0, 2)2 P0 ; P3 (0, 2)3 P0 ; .; Pn (0, 2)n P0Dari sini kita peroleh:P0 0, 2P0 (0, 2)2 P0 (0, 2)3 P0 . 1P0 0, 2P0 (1 0, 2 (0, 2)2 .) 10, 2P0P0 11 0, 2P0 0, 8karena P0 0, 8, maka P1 (0, 2)(0, 8) 0, 16Jadi, probabilitas bahwa seseorang pemegang polis akan memasukkan lebih dari 1 klaimselama periode tersebut adalah :P( n 1) 1 P( n 1) 1 P( n 0) P( n 1) 1 0, 8 0, 16 0, 04Jawab: E.5. Diketahui X adalah nilai dari ujian yang telah distandardisasi. X tersebut adalah variabelacak berdistribusi normal dengan deviasi standar 11. Contoh acak dari 121 nilai diambil danrata-rata (mean) dari contoh ini adalah 70,7.Bila diadakan 2 sided test pada 5% significance level.READI Project37Wawan Hafid Syaifudin
BAB 2. PEMBAHASAN A20 MARET 2015 H0 : µ x 70 H0 : µ x 6 70Hitunglah hasil dari ρ value !A. 0,242B. 0,758C. 1,516D. 0,484E. Tidak ada jawaban yang benarPembahasan:Bila diadakan 2 sided test pada 5% significance level, maka hasil dari p-value adalah :p value 2 min {P( X̄ µ H0 True), P( X̄ µ H0 True)} 70, 7 70 70, 7 70),P(Z ) 2 min P( Z 11 112121 2 min{0, 242 , 0, 758} 2 (0, 242) 0, 484Jawab: D6. Sebuah perusahaan menawarkan asuransi jiwa dasar dan tambahan kepada karyawannya, dimana untuk membeli asuransi jiwa tambahan, mereka harus terlebih dulu membeli asuransidasar. Diketahui X adalah proporsi dari karyawan yang membeli asuransi dasar dan Y adalahproporsi dari karyawan yang membeli asuransi tambahan. X dan Y mempunyai fungsidensitas bersama (joint density function) f ( x, y) 2( x y) dimana area densitas positif.Bila diketahui 10% dari karyawan membeli asuransi dasar, berapa kemungkinan karyawanmembeli asuransi tambahan kurang dari 5%?A. 0,010B. 0,417READI Project38Wawan Hafid Syaifudin
BAB 2. PEMBAHASAN A20 MARET 2015C. 0,108D. 0,952E. Tidak ada jawaban yang benarPembahasan:Pdf marginal dari X adalah:f (x) Z 1012x 2y dy 2xy y2 2x 10Pdf bersyarat dari Y X adalahf (y x ) f ( x, y)2x 2y f (x)2x 1Kita akan menghitung f (y 0, 05 x 0, 1), yaituf (y 0, 05 x 0, 1) Z 0,052y 0, 21, 201 1, 2Z 0,050dy2y 0, 2 dy#0,05"1 y2 0, 2y1, 200, 0125 1, 2 0, 01041667 0, 01Jawab: A.7. Perusahaan A memodelkan laba bulanannya dengan variabel acak yang kontinu (continuousrandom variable) f . Perusahaan B mempunya laba bulanan dua kali lipat perusahaan A. Bilag adalah fungsi densitas dari laba bulanan perusahaan B. Tentukanlah g( x ) dimana nilainyatidak 0.1 x f22 x B. f2A.READI Project39Wawan Hafid Syaifudin
BAB 2. PEMBAHASAN A20 MARET 2015C. 2 f x 2D. 2 f (2x )E. 2 f ( x )Pembahasan:Misal X menyatakan laba perusahaan A dan Y menyatakan laba perusahaan BDiketahui bahwa Y 2X. Dengan demikian kita peroleh :FY (y) P(Y y) P(2X y) y P X y 2 FX2d( FY (y))dyd y FXdy2 y1fx 22f Y (y) Jawab: A.8. Misa
Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris Persatuan Aktuaris Indonesia A20-Probabilitas dan Statistika Periode 2014-2019 Penyusun: Wawan Hafid Syaifudin, M.Si, MAct.Sc. 2019. DAFTAR ISI BAB 1 Pembahasan A20 Nopember 2014 2 BAB 2 Pembahasan A20 Maret 2015 33 BAB 3 Pembahasan A20 Juni 2015 60
penulisan kisi-kisi, penulisan soal, telaah (analisis kualitatif), ujicoba, analisis kuantitatif soal, dan kalibrasi soal. Soal-soal yang terbukti bermutu secara kualitatif dan kuantitiatif dikumpulkan dan disimpan dalam bank soal. Alur kegiatan pengembangan bank soal di Puspendik terlihat dalam diagram berikut. Penulis Soal Soal Mentah D i t e r i m a D i t o l a k Baik Kurang Baik Revisi U j .
PENULISAN SOAL BIMBINGAN TEKNIS PENYUSUNAN SOAL UJIAN SEKOLAH PUSAT ASESMEN DAN PEMBELAJARAN BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN DAN PERBUKUAN KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN 2020 . ALUR PENGEMBANGAN BANK SOAL PENYUSUNAN KISI-KISI PENULISAN SOAL TELAAH SOAL ANALISIS UJI COBA PERAKITAN BANK SOAL. BENTUK SOAL ./? ?/! Pilihan Ganda Kompleks* Pilihan Ganda Menjodohkan Isian/Jawaban Singkat .
Soal Matematika Model PISA Indonesia Tahun 2015 Soal Matematika Model PISA Menggunakan Konteks Lam. Soal UAN dan Jawaban Matematika SMA Lingkaran Soal UN dan Jawaban Matematika Peluang Soal Matematika Eksponen UM UNDIP Contoh Soal Matematika Masuk UGM Soal UN dan Jawaban Persamaan Linier Soal UN dan Jawaban Trigonometri
2.3. Kode Etik Profesi dalam Bidang Teknologi Informasi Kode etik profesi merupakan sarana untuk membantu para pelaksana sebagai seseorang yang professional supaya tidak dapat merusak etika profesi. Tiga hal pokok yang merupakan fungsi dari kode etik profesi: a. Kode etik profesi adalah pedoman bagi setiap anggota profesi tentang prinsip
KISI – KISI PENULISAN SOAL Mata Pelajaran : Bahasa Inggris UJIAN NASIONAL MAK Jumlah Soal : 45 Butir TAHUN AJARAN 2008/2009 Bentuk Soal : 40 Pilihan Ganda, 5 Uraian No Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Materi (Pokok Bahasan, Sub Pokok Bahasan) KLS Indikator Bentuk Soal No Soal Ket Skor PG Uraian
butir soal latihan, 131 butir soal uji kompetensi dan 29 butir soal ulangan akhir semester I terdapat 155 butir soal atau 34,60% yang sesuai dengan model PISA dan 293 butir soal tidak serupa PISA atau 65,40% dari jumlah keseluruhan soal. Soal serupa PISA banyak terdapat dalam bab I, III dan IV dengan materi pokok bilangan,
4 cak.udik@yahoo.co.id PEMBAHASAN SOAL-SOAL UN 2012 KODE : A18 Pembahas : Marsudi Prahoro NO. SOAL PEMBAHASAN 1. Hasil dari 64 . / adalah . A. 8 B. 16
Russian is an East Slavic language spoken in the Russian Federation, in countries of the former Soviet Union and in many other countries. It is the most widely spoken Slavic language and one of the fi ve or six most widely spoken languages in the world (after Mandarin, Spanish, English, and Hindi/ Urdu, and on a par with Arabic), with over 275 million speakers world-wide, including second .
