PENERAPAN METODE DERET PANGKAT UNTUK

PENERAPAN METODE DERET PANGKATUNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAANDIFERENSIAL LINEAR ORDEDUA KHUSUSSKRIPSIOleh:SAMSIATI NUR HASANAHNIM: 11321432PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PONOROGO2015i

ii

PENERAPAN METODE DERET PANGKATUNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAANDIFERENSIAL LINEAR ORDEDUA KHUSUSSKRIPSIDiajukan Kepada Fakultas Keguruan Dan Ilmu PendidikanUniversitas Muhammadiyah PonorogoUntuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Guna Memperoleh Gelar SarjanaOleh:SAMSIATI NUR HASANAHNIM: 11321432ROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PONOROGO2015iii

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PONOROGO(STATUS TERAKREDITASI)Jl.Budi Utomo No.10 Telp (0352) 481124Ponorogo 63472HALAMAN PERSETUJUANSkirpsi oleh Samsiati Nur Hasanah, dengan JUDUL PENERAPAN METODE DERETPANGKAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEARORDE DUA KHUSUS ini telah diperiksa dan disetujui untuk diuji.Ponorogo, 21 Agustus 2015PembimbingDr. Julan Hernadi, M.SiNIP. 19670705 199303 1 003iv

v

vi

ABSTRAKHasanah, Samsiati Nur. 2015. Penerapan Metode Deret Pangkat untuk MenyelesaikanPersamaan Diferensial Linear Orde Dua Khusus. Jurusan PendidikanMatematika. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. UniversitasMuhammadiyah Ponorogo. Pembimbing: Dr. Julan Hernadi, M.Si.Banyak permasalahan dalam dunia nyata yang dapat disajikan dalam modelmatematikaberbentuk persamaan difensial linear orde dua. Penyelesaian persamaandiferensial linear orde dua dapat diperolehdengan berbagai metode, salah satunya adalahmetode deret pangkat. Metode deret pangkat dapat diterapkan di sekitar titik biasa dan disekitar titik singular yang regular pada persamaan diferensial. Persamaan diferensialkhusus yang dapat diselesaikan dengan metode deret pangkat di sekitar titik biasa yaitupersamaan diferensial Legendre dan persamaan diferensial Hermite. SedangkanPersamaan diferensial khusus yang dapat diselesaikan dengan metode deret pangkat disekitar titik singular yang regular adalah persamaan diferensial Bessel. Masing-masingpersamaan diferensial khusus ini mengandung parameter 𝑝 berupa konstanta real.Pada penelitian inidibahas mengenai langkah-langkah penyelesaian metode deretpangkat di sekitar titik biasa. Kemudian menerapkan langkah-langkah tersebut untukmenyelesaikan persamaan diferensial Legendre dan persamaan diferensial Hermite.Setelah itu dibahas mengenai langkah-langkah penyelesaian metode deret pangkatdisekitar titik singular regular. Kemudian menerapkan langkah-langkah tersebut untukmenyelesaikan persamaan diferensial Bessel. Dengan metode deret pangkat ini diperolehdua penyelesaian yang bebas linear dari masing-masing persamaan diferensial khusus.Berdasarkan penelitian ini dapat diketahui bahwa parameter 𝑝 sangat berpengaruhterhadap penyelesaian persamaan diferensial khusus. Untuk 𝑝 berupa konstanta real,diperoleh penyelesaian umum persamaan diferensial khusus yang merupakan kombinasilinear dua penyelesaian berupa deret tak hingga. Untuk 𝑝 berupa bilangan bulat taknegatif,penyelesaian umum pada persamaan Legendre disederhanakan menjadipolinomial dan disebut dengan polinomial Legendre. Polinomial Legendre ini jugamerupakan penyelesaian persamaan Legendre. Pada persamaan Hermite, penyelesaianumum persamaan Hermite disederhanakan menjadi polinomial dan disebut polinomialHermite. Polinomial hermite ini juga merupakan penyelesaian persamaan Hermite untuk𝑝 bilangan bulat tak negatif. Pada persamaan Bessel, penyelesaian umum persamaanBessel berupa fungsi dan disebut fungsi Bessel. Fungsi Bessel ini juga merupakanpenyelesaian persamaan Bessel untuk 𝑝 bilangan bulat tak negatif.Kata Kunci: Persamaan diferensial, titik biasa dan titik singular, deret pangkat,persamaan diferensial khusus.vii

ABSTRACTHasanah, Samsiati Nur. 2015. Implementation Power Series Method for SolvingSpecials Second Order Linear Differential Equations. Department ofMathematics Education. Faculty of Teacher and Science Education.University of Muhammadiyah Ponorogo. Adviser: Dr. Julan Hernadi, M.Si.Many problems in the real worlds that can be expressed in a mathematical model inthe form of the second order linear differential equations.The solution of second orderlinear differential equations can be obtained by various methods, one of them by thepower series method.Power series method can be applied at an ordinary point and aregular singular point on the differential equations.Specials differential equationswhichcan be solved by the power series at an ordinary point is Legendre differentialequation and Hermite differential equation. While the special differential equations whichcan be solved by the power series at a regular singular point is Bessel differentialequation. Every specials differential equations contains the parameter 𝑝 is given by realconstants.In this research first studied about steps the power series method at anordinary point.Then apply these steps to resolve the Legendre differential equation and Hermitedifferential equation. After that, studied about steps the power series method at a regularsingular point. Then apply these steps to resolve the Bessel differential equation.With thepower series method we obtain two linearly independent solutions of each specialsdifferential equations.Based on this study can be seen that the parameter 𝑝 affects the solutions of specialsdifferential equations. For𝑝 is real constants, the solutions of each specials differentialequations is the linear combination of the two solutions in the form of infinite series. For𝑝 in the form of non-negative integer,general solution the Legendre equation reduces tothe polynomials and called Legendre polynomials. Legendre polynomialsis also thesolutions of Legendre equation. In the Hermite equation, general solution Hermiteequation reduces to the polynomials and called Hermite polynomials. Hermitepolynomials is also the solutions of the Hermite equation for non-negative integers 𝑝. Atthe Bessel equation, general solution of Bessel equation in the formfunctionand called theBessel functions. Bessel functions is also the solutions of the Bessel equation for nonnegative integers 𝑝.Keywords: Differential equations, ordinary point and singular point, power series,special differential equations.viii

KATA PENGANTARPuji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, taufik sertahidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Analisis ModelPertumbuhan Kontinu Untuk Spesies Tunggal dengan Menggunakan Persamaandiferensial. Shalawat serta salam senantiasa penulis panjatkan kepada Nabi BesarMuhammad SAW, yang telah membimbing manusia ke jalan yang benar, yaitu jalan yangdi Ridhai Allah SWT.Penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan membantudalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do’a dan ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan, terutama kepada:1. Drs. H. Sulton, M.Si selaku RektorUniversitas Muhammadiyah Ponorogo.2. Bambang Harmanto, M.Pd selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanUniversitas Muhammadiyah Ponorogo.3. Dr. Julan Hernadi, M.Si selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika UniversitasMuhammadiyah Ponorogo, sekaligus sebagai Dosen Pembimbing yang telahbersedia meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan dan pengarahan selamapenulisan skripsi.4. Bapak/Ibu Dosen Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan UniversitasMuhammadiyah Ponorogo beserta stafnya atas ilmu dan pengalaman yang diberikan.5. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu di sini, yang telahmembantu dalam penyelesaian skripsi ini.Penulis menyadari dalam penulisan skripsi ini masih terdapat banyak kekuranganterkait keterbatasan referensi dan ilmu penulis. Oleh sebab itu, penulis mengharapkansaran dan kritik yang bersifat membangun dari pembaca dan dari semua pihak demikesempurnaan dari skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi parapembaca, dan dapat memberikan kontribusi positif terhadap perkembangan ilmupengetahuan. Amien.Ponorogo, Agustus 2015PenulisSamsiati Nur Hasanahix

Motto“Sesungguhnya beserta kesulitan itu ada kemudahan,maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan)kerjakanlah dengan sungguh-sungguh urusan yang laindan hanya kepada Allahlah hendaknya kamu berharap”(QS. Al Insyiroh : 6-8)x

DAFTAR ISIHALAMAN JUDUL .HALAMAN LOGO .HALAMAN PENGAJUAN .HALAMAN PERSETUJUAN .HALAMAN PENGESAHAN .PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN .ABSTRAK .ABSTRACT .KATA PENGANTAR .MOTTO .DAFTAR ISI .DAFTAR GAMBAR .BAB 1 PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang Masalah .1.2 Rumusan Masalah .1.3 Tujuan Penulisan .1.4 Batasan Masalah .1.5 Manfaat Penelitian .1.6 Metode Penelitian .1.7 Sistematika Penulisan .BAB 2 LANDASAN TEORI2.1 Deret .2.2 Deret Pangkat .2.3 Titik Biasa dan Singular .2.4 Persamaan Diferensial .2.5 Persamaan Laplace dalam Koordinat Polar .2.6 Persamaan Laplace dalam Koordinat Bola .2.7 Deret Frobenius .2.8 Fungsi gamma .BAB 3 PEMBAHASAN3.1 Deret Pangkat Sebagai Penyelesaian di Sekitar Titik Biasa .3.2 Penerapan Penyelesaian Deret Pangkat di Sekitar Titik Biasa .3.2.1 Persamaan Diferensial Legendre .3.2.2 Persamaan Diferensial Hermite .3.3 Deret Pangkat Sebagai Penyelesaian di Sekitar Titik SingularRegular .3.4 Penerapan Penyelesaian Deret Pangkat di Sekitar Titik SingularRegular .3.4.1 Persamaan Diferensial Bessel .BAB 4 PENUTUP4.1 Kesimpulan .4.1.1 Deret Pangkat Sebagai Penyelesaian di Sekitar Titik Biasa .4.1.2 Deret Pangkat Sebagai Penyelesaian di Sekitar Titik 01013141515202425253030

Regular . 314.2 Saran . 31DAFTAR PUSTAKA . 32xii

DAFTAR GAMBARGambar 2.1Gambar 3.1Gambar 3.2(a)Gambar 3.2(b)Gambar 3.3(a)Gambar 3.3(b)Gambar 3.4Tiga Kemungkinan Kekonvergenan Deret Pangkat .Grafik Penyelesaian Persamaan (3.1.5) Berupa Fungsi 𝑒 𝑥 .Grafik Polinomial Legendre Untuk 𝑝 Genap .Grafik Polinomial Legendre Untuk 𝑝 Ganjil .Grafik Polinomial Hermite Untuk 𝑝 Genap .Grafik Polinomial Hermite Untuk 𝑝 Ganjil .Grafik Fungsi Bessel untuk 𝑝 0,1,2,3. .xiii7152020242429

metode deret pangkat. Metode deret pangkat dapat diterapkan di sekitar titik biasa dan di sekitar titik singular yang regular pada persamaan diferensial. Persamaan diferensial khusus yang dapat diselesaikan dengan metode deret pangkat di sekitar titik biasa yaitu persamaa