O Experimento Did Atico Do Lan Camento Horizontal De Uma .
Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica, v. 37, n. 1, 1507 (2015)www.sbfisica.org.brDOI: http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173711748O experimento didático do lançamento horizontal de uma esfera:Um estudo por videoanálise(The educational experiment of horizontal launch of a sphere: A study by video-analisys)V.L.B. de Jesus1 , D.G.G. Sasaki21Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro, Campus Nilópolis, Rio de Janeiro, RJ, Brasil2Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca, Unidade Maracanã, Rio de Janeiro, RJ, BrasilRecebido em 19/7/2014; Aceito em 27/11/2014; Publicado em 31/3/2015Os roteiros e livros que servem de guias para o ensino de Mecânica nos laboratórios didáticos de fı́sica experimental no ensino superior costumam apresentar uma experiência que consiste em abandonar uma esferametálica do topo de uma plataforma de lançamento curva suspensa por um suporte apoiado sobre uma bancada.Ao alcançar a base da plataforma, a esfera é lançada horizontalmente deixando marcado o seu alcance em umafolha com o auxı́lio do papel carbono. Essa experiência serve para ilustrar a conservação da energia mecânica,supondo a hipótese de que a esfera execute um rolamento puro, bem como mostrar a importância de levar emconta a sua energia cinética de rotação. Contudo, na forma como o experimento é tradicionalmente apresentadonão há uma descrição em tempo real do movimento e por isso não é possı́vel perceber que a esfera desliza erola na maior parte do percurso, só alcançando a condição de rolamento puro ao final da plataforma. Esseequı́voco no tratamento é o motivo da sistemática diferença entre o balanço de energia previsto e aquele obtidopelas medidas experimentais. Neste trabalho, desenvolvemos um modelo teórico que considera tanto a curvaturada plataforma como os efeitos de borda devido ao encaixe parcial da esfera na largura da calha. Através davideoanálise extraı́mos dados experimentais do movimento completo que ilustram claramente uma transição dorolamento com deslizamento para o rolamento puro para diferentes ângulos de inclinação inicial analisados, bemcomo obtemos o valor aproximado do tempo de transição para um dos casos.Palavras-chave: videoanálise, atrito cinético, conservação da energia.The scripts and books that are used as guides for teaching Mechanics in the undergraduate laboratory ofexperimental physics in higher education often have an experiment that consists in dropping a metal ball ontop of a curve launching platform suspended and attached on a support bench. Upon reaching the base ofthe platform, the ball is launching horizontally marking the reach range on a sheet using the carbon paper.This experience serves to illustrate the conservation of mechanical energy, assuming the hypothesis that the ballrolls without slipping, and the importance of taking into account its rotational kinetic energy. However, as theexperiment is traditionally presented there is no description of the motion in real time so it is not possible torealize that the ball rolls and slides in most of the way, only reaching the condition of pure rolling at the endof the way. This misconception is the reason of the systematic difference between the predicted energy balanceand that one obtained by experimental measurements. In this paper we develop a theoretical model that takesinto account the curvature and the width of the track and using video-analysis we extract experimental data ofthe full movement that clearly illustrate a transition from rolling with slipping to pure rolling for different initialtilted angles analyzed, as the estimated value of the transition time for one of the cases.Keywords: video analysis, kinetic friction, energy conservation.1. IntroduçãoOs roteiros e livros que servem de guias para o ensino defı́sica experimental nos laboratórios didáticos de ensinosuperior [1-4] costumam apresentar uma experiênciaque consiste em abandonar uma esfera metálica do topode uma plataforma de lançamento curva suspensa em1 E-mail:vitor.jesus@ifrj.edu.br.Copyright by the Sociedade Brasileira de Fı́sica. Printed in Brazil.um suporte. Ao alcançar a base da plataforma, a esferaé lançada horizontalmente deixando marcado o seu alcance numa folha com o auxı́lio do papel carbono. Essaexperiência serve para ilustrar, além do movimento bidimensional e lançamento de projéteis, a conservaçãoda energia mecânica, supondo a hipótese de que a es-
1507-2fera executa um rolamento puro, bem como uma interessante discussão sobre as consequências da rotação daesfera. De fato, se a esfera é considerada uma partı́cula,o valor da velocidade no momento do lançamento horizontal previsto teoricamente é bem superior ao valormedido, pois uma parcela da energia potencial é convertida em energia cinética de rotação.Uma variante desse experimento, proposta por diferentes autores, é trocar a plataforma curva por umacalha reta formando um plano inclinado com uma mesahorizontal [5,6]. A esfera é, portanto, lançada obliquamente. Essa configuração torna as equações do movimento mais simples, pois como o ângulo é fixo, asforças são constantes e as equações diferenciais são lineares. Além disso, existe um ângulo crı́tico que separaa situação onde a esfera realiza um rolamento puro daquela onde ela desliza e rola simultaneamente. Quandoa esfera é abandonada do repouso, se o plano estiverinclinado com um valor inferior ao ângulo crı́tico, elavai rolar sem deslizar até o final e a energia mecânicaserá conservada. Caso contrário, a esfera irá desde oinı́cio deslizar e rolar permanecendo nessa condição atéo fim da rampa [6].No presente trabalho, abordamos o experimentocom a plataforma curva de forma dinâmica, isto é, observamos o movimento em tempo real através da videoanálise utilizando o software livre Tracker [7-9]. Esseenfoque revelou que a esfera sofre um deslizamento comrolamento na maior parte do tempo, só alcançando acondição de rolamento puro ao final da plataforma. Nosroteiros, os autores consideram a suposição de que a esfera executa um rolamento puro e usam a conservaçãoda energia mecânica. Esse equı́voco no tratamento éo motivo da sistemática diferença entre o balanço deenergia previsto e aquele obtido pelas medidas experimentais.A abordagem adequada dessa experiência apresentadois desafios: do ponto de vista experimental é precisodispor de um sistema de aquisição de dados em temporeal que forneça a posição da esfera a cada instante.Do lado matemático, a plataforma curva implica numavariação contı́nua do ângulo de inclinação, provocandoque a força de reação normal ao apoio e a força de atritosejam variáveis, isto é, uma função do tempo. Então, asequações do movimento são não lineares e suas soluçõesanalı́ticas não estão disponı́veis, o que deixaria a modelagem dinâmica inviável.Ambas as dificuldades podem ser superadas filmando o experimento com uma câmera de 120 quadrospor segundo e usando a videoanálise. Com essa ferramenta, obtêm-se todos os dados de tempo, posiçãoe velocidade da esfera, como se em cada ponto da calha estivesse colocado um sensor eletrônico, revelandoclaramente que a hipótese de rolamento puro deve serdescartada. Além disso, com a videoanálise podem-seextrair gráficos que possibilitam a construção de aproximações polinomiais entre parâmetros envolvidos, taisJesus e Sasakicomo ângulo de inclinação, altura e tempo. A substituição apropriada dessas relações nas equações diferenciais permite a obtenção de soluções numéricas completas.Um diferencial deste trabalho é demonstrar o potencial didático do uso da videoanálise, não somente comouma ferramenta acurada e precisa de obtenção de dados, mas também como um instrumento de auxı́lio namodelagem matemática.2.Modelo teóricoA Fig. 1 exibe a esfera em um instante de tempo descendo a plataforma, sendo indicadas as forças peso, P,de reação normal ao apoio, N, e a força de atrito, Fat ,que pode ser cinético (rolamento com deslizamento) ouestático (rolamento puro).Figura 1 - Digrama da esfera em um determinado instante descendo a plataforma. As forças que atuam na esfera estão representadas e a inclinação da calha é dada pelo ângulo θ(t).Observe que nesse instante a inclinação da plataforma é dada pelo ângulo θ(t). A partir da Fig. 1,pode-se escrever a componente radial, supondo que aesfera executa um rolamento com deslizamento nesteponto2N mgcos (θ(t)) m [vCM (t)].r(1)A componente tangencial écmgsen (θ(t)) Fat ma.Usando a Eq. (1) na Eq. (2) e a relaçãoa aceleração do centro de massa (CM) seráa(t) (2)cFat µc N ,dvCM (t) g [sen (θ(t)) µc cos (θ(t))] dtµc2[vCM (t)] .r(3)A segunda lei de Newton para rotação forneceτR Iα.(4)onde τR é o torque resultante realizado pela força deatrito cinético, I (2/5)mR2 é o momento de inércia eα é a aceleração angular da esfera. Um detalhe técnico
O experimento didático do lançamento horizontal de uma esfera: Um estudo por videoanáliseinteressante é o efeito das bordas da calha. Em geral,para evitar colisões com as laterais internas da calhaao longo da trajetória, a esfera tem diâmetro um poucosuperior à largura da calha de forma a se encaixar nassuas bordas. O encaixe cria um raio de rotação efetivo,K, que é inferior ao raio da esfera, acarretando umaumento velocidade angular da esfera e a consequenteredução da velocidade do CM [10].De fato, observando a Fig. 2, podemos obter a relação do raio efetivo, K, com o raio da esfera, R, e alargura da calha, L()1/2L2K R2 .4Estamos interessados no instante de tempo em queocorre a transição do rolamento com deslizamento parao regime de rolamento puro (tempo crı́tico tc ). Paraisso a relação deve ser satisfeita vCM (tc ) ω (tc ) K.Podemos escrever a Eq. (9) somente em função da velocidade do CM e assim obtemos a seguinte expressãoda velocidade do CM válida somente quando t tc .(vCM (tc ) (5)Figura 2 - O raio efetivo de rotação, K, representa umacorreção para o modelo da esfera apoiada nas bordas da calhade lançamento.Logo, a Eq. (4) se torna2mR2 α(t).(6)5c µc N na Eq. (6)Usando a Eq. (1) e a relação Fatchegamos à aceleração angular da esfera descendo a plataformacK Fat(7)Podemos obter uma relação entre vCM (t) e ω(t) eli2minando o termo [vCM (t)] /r na Eq. (7) a partir daEq. (3)α(t) []dω5KdvCM (t) gsen(θ(t)) .dt2R2dt(8)Integrando a Eq. (8) e utilizando as condições iniciais vCM 0 0 e ω 0 0 t 5K sen (θ(t′ )) dt′ vCM (t) . (9)ω(t) g 2R2 02A25K2R2 5K 2) t cg sen (θ(t′ )) dt′ .0(10)Ressaltamos que a Eq. (10) não representa umafunção da velocidade pelo tempo. De fato, para t tc ,ela não tem validade, pois a velocidade do CM e a velocidade angular não estão relacionadas entre si peloraio efetivo K. Para t tc , também não podemos usaressa equação, pois a esfera já atingiu a condição de rolamento puro e, portanto, não existe mais a força deatrito cinético que foi usada na sua dedução. A expressão (10) é uma espécie de vı́nculo matemático quedeve ser satisfeito apenas no instante que a esfera alcançar o regime de rolamento puro.3.[]25Kµc[vCM (t)]α(t) gcos (θ(t)) .2R2r1507-3Descrição experimental e resultadosA filmagem foi realizada por uma câmera configuradacom uma taxa de aquisição de 120 quadros por segundo e resolução de 640x480. A câmera foi posicionada com vista frontal ao plano de lançamento, a umadistância de aproximadamente 1 metro. Os vı́deos doslançamentos foram transferidos para o computador eanalisados utilizando o software livre Tracker. A Fig. 3mostra a plataforma e a esfera, em um instantâneo dovı́deo, quando carregado no programa de videoanáliseTracker. O aparato experimental é constituı́do por umabase com haste de sustentação para a plataforma delançamento e um fio de prumo. A esfera é abandonadado alto da plataforma de lançamento a uma altura h0em relação ao plano do lançamento horizontal. A origem do sistema de coordenadas está localizada no altoda plataforma, de acordo com a seguinte convenção: ossentidos positivos das coordenadas horizontal (x) e vertical (h) são, respectivamente, à direita e para baixo.Estimamos, baseado na qualidade das imagens, quea incerteza da localização da esfera está contida em 2 mm.2 A velocidade instantânea de cada componente em um determinado instante de tempo tn é aproximada ao valor da velocidade média entre os instantesde tempo tn 3 e tn 3 . Por exemplo, para a componentevx (tn ) teremosvx (tn ) xn 3;n 3xn 3 xn 3 . tn 3;n 3tn 3 tn 3Ref. [11] contém uma discussão sobre estimativas de incerteza de posição na videoanálise.
1507-4Jesus e SasakiFigura 3 - Equipamento didático para estudo do lançamento horizontal fabricado pela empresa CIDEPE (Centro Industrial de Equipamentos de Ensino e Pesquisa - www.cidepe.com.br) exibido em um instantâneo do programa de videoanálise Tracker. A origem dosistema de coordenadas está localizada no alto da plataforma, de acordo com a seguinte convenção: os sentidos positivos das coordenadashorizontal (x) e vertical (h) são, respectivamente, à direita e para baixo.A incerteza da velocidade pode ser avaliada utilizando somente a incerteza para a variação da posiçãoque corresponde aδv δr0, 2 cm 4 cm/s.tn 3 tn 36 (1/120) scontinuamente e tende a zero quando o formato da plataforma se aproxima de uma superfı́cie horizontal. Consequentemente, a esfera diminui a sua velocidade doCM devido à preponderância da força de atrito cinéticosobre a componente tangencial do peso.O gráfico da Fig. 4 mostra os pontos experimentaiscorrespondentes aos módulos da velocidade do C.M. demassa da esfera ao longo da descida da plataforma delançamento parametrizada pela variável y h – h0 , esuas respectivas incertezas. A esfera foi solta de umaaltura h0 9,7 cm e o seu ângulo inicial de lançamentofoi de 52 graus. Superpostos aos pontos experimentais,são apresentados os dois modelos tradicionais para omovimento da esfera ao longo da descida pela plataforma de lançamento, usados nos roteiros de fı́sica experimental, obtidos a partir da conservação da energiamecânica [10]vCM vCM 2gy Modelo: deslizamento puro; (11)vu2gyu tModelo: rolamento21 5 1 (L/2R)2[]puro nas bordas da calha (K R).(12)Observa-se da Fig. 4 que o movimento da esferaao longo da calha transita de um modelo para o outro. No inı́cio a plataforma é muito inclinada e devidoà força de atrito cinético, a esfera começa a executarum rolamento com deslizamento aumentando a sua velocidade, mas não tanto quanto seria num deslizamentopuro (deslizamento de uma partı́cula sem atrito). Depois, a componente tangencial da força peso diminuiFigura 4 - Gráfico da velocidade do CM da esfera ao longo da descida da plataforma de lançamento, parametrizada pela variávely h – h0 . A esfera foi solta de uma altura h0 9,7 cm e o seuângulo inicial de lançamento foi de 52 graus.Um aspecto interessante dessa frenagem é que osdados experimentais cruzam a curva teórica previstapelo modelo didático tradicional baseado na suposiçãode que a esfera conserve a sua energia mecânica e execute um rolamento puro. Contudo, como a videoanálisedemonstra, existe uma perda de energia mecânica durante a trajetória. Então, quando os dados experimentais coincidem com a curva teórica do rolamento puro,a esfera tem uma uma energia cinética de translaçãocompatı́vel com a prevista por essa teoria, mas a suaenergia cinética de rotação é menor do que o valor ne-
O experimento didático do lançamento horizontal de uma esfera: Um estudo por videoanálisecessário para a condição de rolamento puro. Esse fatoracarreta que a esfera continue rolando e deslizando atéperder energia suficiente para que a velocidade do CMe a velocidade angular satisfaçam a condição de rolamento puro. Os resultados obtidos parecem indicar,dentro da margem de incerteza, que tal situação ocorresomente ao final da trajetória, quando a plataforma épraticamente plana.Uma questão natural é: existe um ângulo inicialpara o qual a esfera vai realizar um rolamento purodesde o princı́pio? Certamente sim, pois um artigo anterior, onde uma esfera metálica com raio um poucomaior (11 mm) foi solta de um plano inclinado de madeira com diferentes ângulos de inclinação, mostrou quepara ângulos inferiores a aproximadamente 45 graus,a esfera passava a rolar sem deslizar [6]. Provavelmente, obterı́amos um resultado semelhante na plataforma curva, embora alguns parâmetros sejam diferentes, tais como coeficiente de atrito e raio efetivo derotação da esfera.Para confirmar nossa hipótese, soltamos a esfera adiferentes alturas e, consequentemente, ângulos iniciais da plataforma de lançamento e extraı́mos os da-1507-5dos novamente por videoanálise. A sequência de quatrográficos da Fig. 5 é bastante elucidativa. Na inclinaçãoinicial de 52 graus, os dados experimentais cortam acurva teórica do rolamento puro entre y h – h0 8 cm e 10 cm. Quando o ângulo inicial diminuiu para49 graus, esse mesmo fenômeno ocorre em um valorde y menor, entre 6 cm e 8 cm. Reduzindo o ânguloum pouco mais para 44 graus, os dados experimentaiscruzam a curva teórica entre com y entre 4 cm e 6cm. Sabemos que a tempo de transição (tempo crı́tico)ocorre em algum instante depois desse cruzamento, logoa redução do valor de y à medida que o ângulo inicialdiminui, indica também uma queda no tempo crı́tico.Essa redução da velocidade do CM ao cruzar a curvaé uma condição necessária para que uma esfera rolandocom deslizamento efetue a transição para um regime derolamento puro e sua ocorrência já foi verificada em outras configurações [12, 13]. Infelizmente, nesses 3 casosa condição de rolamento puro foi atingida apenas nofinal da plataforma quando a superfı́cie é quase plana ea velocidade do centro de massa estabiliza em um valorfixo, dentro da margem de incertezas das medidas.Figura 5 - Gráfico da velocidade do CM da esfera ao longo da plataforma de lançamento, em função de y, para diferentes alturas e,consequentemente, ângulos iniciais.
1507-6Finalmente, no último gráfico quando o ângulo inicial é 39 graus, a esfera cruza a curva teórica em umvalor de y inferior a 3 cm, e depois entra na condiçãode rolamento puro antes do final da calha. Essa constatação pode ser confirmada pela sucessão de pontos experimentais que, após cruzarem a curva teórica, acompanham o desenho da curva, só que ligeiramente abaixo.Esse fato era esperado, pois a esfera perdeu um poucode sua energia mecânica durante a trajetória e portantoos resultados devem se ajustar em outra curva teóricade rolamento puro com menor energia.4.Obtenção numérica por videoanálisedo tempo de transição (tc )Os dados experimentais da velocidade do CM da esferademonstram claramente que os modelos teóricos tradicionais falham em prever e descrever a transição entreo regime de deslizamento com rolamento para o de rolamento puro, bem como o tempo crı́tico de transição.Essa lacuna pode ser preenchida se obtivermos a expressão da função trigonométrica sen[θ(t)] para resolvera Eq. (10). Podemos realizar essa operação numericamente a partir dos dados obtidos por videoanálise eobter o valor do tempo de transição entre o regime derolamento com deslizamento e rolamento puro.Primeiramente, ajustamos h(x) por interpolação eatravés de sua derivada calculamos tgθ em função de x.Como a videoanálise proporciona uma relação entre aposição horizontal x da esfera em função do tempo, conseguimos também por interpolação uma função x(t). Acomposição dessas funções permite extrair θ em funçãode t, numericamente.A Fig. 6 mostra os 126 pontos (em vermelho) obtidos utilizando o Tracker para caracterizar a funçãoh(x) q
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