PERANGKAT PEMBELAJARAN - Pendidikan Matematika
PERANGKAT PEMBELAJARANMATA KULIAHKODEDOSEN: TEORI BILANGAN: MKK206515: JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd.PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARASUKOHARJO
KONTRAK PEMBELAJARANTEORI BILANGANMKK206515Semester I / 2 SKSProgram Studi Pendidikan MatematikaOleh :JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd.FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARASUKOHARJO
A.Identitas Mata KuliahMata KuliahSemester / SKSPengampu Mata KuliahKode Mata KuliahB.::::TEORI BIANGANI / 2 SKSJANUAR BUDI ASMARI, S.Pd.MKK206515Manfaat Mata KuliahSetelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat :1. Mengenal sistem bilangan cacah, sistem bilangan bulat, sistem biangan rasional, dan sistembilangan real.2. Menuliskan deret dengan notasi sigma, membuktikan dengan induksi matematika, danmenjabarkan teorema binomial.3. Mengidentifikasi beberapa sistem matematika.4. Mengidentifikasi konsep, sifat dan hubungan tentang habis dibagi, faktor persekutuan dankelipatan persekutuan biangan buat, biaangan prima dan faktorisasi prima.5. Menjelaskan kongruensi dan menyelesaikan suatu perkongruenan.C.Deskripsi Mata KuliahMata kuliah ini akan mendiskusikan beberapa konsep dasar dan penting dalam teori bilangan. Matakuliah ini juga memberikan wahana kepada mahasiswa untuk berfikir kreatif dalam menyelesaikansuatu permasalahan dalam teori bilangan. Dengan mengacu sasaran di atas, mata kuiah ini diberikandengan menekankan pada pemberian waktu yang relatif banyak kepada mahasiswa untuk melakukanproblem solving dari permasalahan sederhana hingga yang cukup rumit. Adapun bahan mata kuliahini meliputi: membuktikan sifa-sifat/ hukum-hukum operasi artimatika dalam berbagai sistembilangan, prinsip induksi, dan teorema binomial. Materi kemudian dilanjutkan dengan teorikongruensi, teorema fermat, fungsi teori bilangan, serta menerapkan kekongruenan untukmembuktikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh bilangan bulat.D.Kompetensi Dasar dan IndikatorKompetensi Dasar1.IndikatorMembuktikanteorema/rumus dengan carainduksi matematika danmenerapkan teoremabinomial pada penjabaranbentuk perpangkatan(a b)n1.12.Menjelaskan definisi dariberbagai sistem matematika2.13.Mendefinisikan relasi habisdibagi, factor persekutuan,kelipatan persekutuan, FPB,dan KPK.1.21.32.23.13.23.33.44.Menjelaskan konsep dasartentang kekongruenan danmenerapkan konsepkekongruenan untuk untukmembuktikan keterbagian4.14.24.3Menggunakan langkah–langkah pembuktian denganinduksi matematikaMenentukan koefisien binomial, menurunkan sifat-sifatkoefisien , menerapkan sifat-sifat koefisien binomialdalam memecahkan masalahTerampil menggunakan sifat-sifat koefisien binomialdalam perhitungan – perhitungan.Membuktikan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup,dan monoid.Memberikan contoh grupoid, semigrup, dan monoidMenentukan Factor persekutuan, kelipatanpersekutuan, FPB, dan KPK berdasarkan definisi.Membuktikan beberapa teorema yang berkenaandengan habis dibagi.Membuktikan teorema yang berkenaan dengan factorpersekutuan, kelipatan persekutuan, FPB dan KPK.Mencari FPB dan KPK dari bilangan bulat dengan carafaktorisasi prima dan algoritma Euclides.Membuktikan beberapa teorema kekongruenan.Membuktikan keterbagian bilangan bulat oleh bilanganbulat dengan dasar konsep kekongruenan.Menentukan penyelesaikan perkongruenan linierdengan berdasar pada teorema – teorema
suatu bilangan bulat olehbilangan bulat.E.perkongruenan dan teorema sisa Cina.Organisasi MateriKD 1F.KD 2KD 3KD 4Pendekatan Dan Strategi PembelajaranStrategi pembelajaran yang digunakan mengarah pada Active Learning. Metode-metode yangdigunakan adalah sebagai berikut :1. Practice Rehearsal Pairs2. Kelompok Belajar (The Study Group)3. Two stay two stray4. Gallery of Learning5. The Learning CellG.Sumber Belajar[1] Herry Sukarman . 1995 . Teori Bilangan . Jakarta : Direktorat Jendral Pendidikan Dasar danMenengah[2] Purwoto . 2000 . Teori Bilangan . Surakarta : UNS Press[3] Soehardjo . 1996 . Struktur Aljabar . Surakarta : UNS Press[4] Modul Kuliah Teori BilanganH.Penilaian Dan Kriteria Pembelajaran1.2.3.4.I.Presensi dan KeaktifanTugas TerstrukturUTSUAS::::30 %20 %20 %30 %100 %Jadwal PerkuliahanPertemuan12PEMBELAJARANMateri : Pembuktian dengan induksi matematikaMateri : Menentukan koefisien binomial, menurunkan sifat-sifat koefisien , menerapkansifat-sifat koefisien binomial dalam memecahkan masalah3Materi :4Materi :5Materi :6QUIZ7 Terampil menggunakan sifat-sifat koefisien binomial Membuktikan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup, dan monoid. Memberikan contoh grupoid, semigrup, dan monoidREVIEW: Persiapan Ujian Semester
8910111213141516Ujian Tengah SemesterMateri : Menentukan Factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPKberdasarkan definisi.Materi : Membuktikan beberapa teorema yang berkenaan dengan habis dibagiMateri : Membuktikan teorema yang berkenaan dengan factor persekutuan, kelipatanpersekutuan, FPB dan KPKMateri : Mencari FPB dan KPK dari bilangan bulat dengan cara faktorisasi prima danalgoritma Euclides.Materi : Membuktikan keterbagian bilangan bulat oleh bilangan bulat dengan dasarkonsep kekongruenan.Materi : Menentukan penyelesaikan perkongruenan linier dengan berdasar padateorema – teorema perkongruenan dan teorema sisa Cina.REVIEW: Persiapan Ujian SemesterUjian Akhir Semester
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJOFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANSILABUSProgram StudiKode Mata KuliahMata KuliahBobotSemesterMata Kuliah PrasyaratStandar Kompetensi:::::::Kompetensi DasarPENDIDIKAN MATEMATIKAMKK206515TEORI GRAPH2 SKSIMemiliki pemahaman tentang konsep dasar bilangan, deret, notasi sigma, induksi matematika, dan teorema binomial, serta mampumengidentifikasi beberapa sistem matematika, menjelaskan sifat keterbagian dan kongruensi kemudian membuktikan beberapateorema yang berkaitan dengan bilangan.Indikator1. Membuktikanteorema/rumusdengan cara induksimatematika danmenerapkanteorema binomialpada penjabaranbentukperpangkatan(a b)n1.12. Menjelaskan definisidari berbagai sistemmatematika2.11.21.32.2Pengalaman BelajarTerampil menggunakan langkah –langkah pembuktian denganinduksi matematikaMenentukan koefisien binomial,menurunkan sifat-sifat koefisien ,menerapkan sifat-sifat koefisienbinomial dalam memecahkanmasalahTerampil menggunakan sifat-sifatkoefisien binomial dalamperhitungan – perhitungan.Tatap muka Memberikan cara dan syarat pembuktiandengan induksi matematika Menjelaskan tentang penjabaran binomialMembuktikan sifat-sifat aljabardari grupoid, semigrup, danmonoid.Memberikan contoh grupoid,semigrup, dan monoidTatap mukaMateri PokokAlokasiWaktu(menit) Induksi3 100 MatematikaTeoremaBinomialKegiatan terstruktur Membuktikan pernyataan dengan induksimatematika Menentukan penjabaran (a b)n Post-test Menjelaskan sifat-sifat aljabar darigrupoid, semigrup, dan monoidKegiatan terstruktur Membuktikan sifat-sifat aljabar darigrupoid, semigrup, dan monoid Post-test SistemMatematika3 100Sumber/ Bahan/AlatPenilaian/ EvaluasiSumber : Buku panduanmata kuliah TeoriBilanganAlat :Laptop, LCD,WhiteboardBentuk evaluasi : Pre-test Post-testSumber : Buku panduanmata kuliah TeoriBilanganAlat :Laptop, LCD,WhiteboardBentuk evaluasi : Pre-test Post-testInstrumen : Lembar KerjaIndividu Lembar KegiatankelompokInstrumen : Lembar KerjaIndividu Lembar Kegiatankelompok
3. Mendefinisikan relasihabis dibagi, factorpersekutuan,kelipatanpersekutuan, FPB,dan KPK.4.14.24.34.44. Menjelaskan konsepdasar tentangkekongruenan danmenerapkan konsepkekongruenan untukuntuk membuktikanketerbagian suatubilangan bulat olehbilangan bulat.4.14.24.3Menentukan Factor persekutuan,kelipatan persekutuan, FPB, danKPK berdasarkan definisi.Membuktikan beberapa teoremayang berkenaan dengan habisdibagi.Membuktikan teorema yangberkenaan dengan factorpersekutuan, kelipatanpersekutuan, FPB dan KPK.Mencari FPB dan KPK daribilangan bulat dengan carafaktorisasi prima dan algoritmaEuclides.Membuktikan beberapa teoremakekongruenan.Membuktikan keterbagianbilangan bulat oleh bilangan bulatdengan dasar konsepkekongruenan.Menentukan penyelesaikanperkongruenan linier denganberdasar pada teorema –teorema perkongruenan danteorema sisa Cina.Tatap muka Menjelaskan cara menentukan Factorpersekutuan, kelipatan persekutuan, FPB,dan KPK berdasarkan definisi. Membimbing cara membuktikan beberapateorema yang berkenaan dengan habisdibagi. Membimbing cara membuktikan teoremayang berkenaan dengan factorpersekutuan, kelipatan persekutuan, FPBdan KPK. Menjelaskan cara mencari FPB dan KPKdari bilangan bulat dengan cara faktorisasiprima dan algoritma Euclides.Kegiatan terstruktur Menentukan FPB, dan KPK berdasarkandefinisi. Membuktikan beberapa teorema yangberkenaan dengan habis dibagi. Mencari FPB dan KPK dari bilangan bulatdengan cara faktorisasi prima danalgoritma Euclides. Post-testTatap muka Membuktikan beberapa teoremakekongruenan. Membuktikan keterbagian bilangan bulatMenentukan penyelesaikanperkongruenan linier Kegiatan terstruktur Mendiskusikan berbagai permasalahanyang dapat diselesaikan dengan graph Post-test Pembagian4 150Sumber : Buku panduanmata kuliah TeoriBilanganAlat :Laptop, LCD,Whiteboard TeoremaSisa4 150Sumber : Buku panduanmata kuliahTEORI GRAPHAlat :Laptop, LCD,WhiteboardBentuk evaluasi : Pre-test Post-testInstrumen : Lembar KerjaIndividu Lembar KegiatankelompokBentuk evaluasi : Pre-test Post-testInstrumen : Lembar KerjaIndividu Lembar Kegiatankelompok
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)Nama DosenFakultasProgram Studi:::JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd.KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANPENDIDIKAN MATEMATIKAMata KuliahKode Mata KuliahBobotSemesterPertemuan keStandart Kompetensi::::::Kompetensi Dasar:Indikator:Tujuan:TEORI BILANGANMKK2065152 SKSI1 s.d 3Memiliki pemahaman tentang konsep dasar bilangan, deret, notasi sigma,induksi matematika, dan teorema binomial, serta mampu mengidentifikasibeberapa sistem matematika, menjelaskan sifat keterbagian dan kongruensikemudian membuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan bilangan1.Membuktikan teorema/rumus dengan cara induksi matematika danmenerapkan teorema binomial pada penjabaran bentukperpangkatan(a b)n.1.1 Menggunakan langkah – langkah pembuktian dengan induksimatematika1.2 Menentukan koefisien binomial, menurunkan sifat-sifat koefisien ,menerapkan sifat-sifat koefisien binomial dalam memecahkan masalah1.3 Terampil menggunakan sifat-sifat koefisien binomial dalam perhitungan.Memembuktikan pernyataan dengan induksi matematikaMenentukan koefisien binomial, menurunkan sifat-sifat koefisien , menerapkansifat-sifat koefisien binomial dalam memecahkan masalahMenggunakan sifat-sifat koefisien binomial dalam perhitungan.MATERIINDUKSI MATEMATIKAPerhatikan kesamaan-kesamaan berikut :1 ½ (1 x 2)1 2 ½ (2 x 3)1 2 3 ½ (3 x 4)1 2 3 4 ½ (4 x 5)Bentuk umum dari kesamaan-kesamaan di atas diduga seperti berikut :1 2 3 4 . n ½ [ n (n 1) ] dengan n NAkan tetapi dugaan tersebut tidak bisa langsung diklaim benar, sehingga dibutuhkan pembuktian. Carayang dapat digunakan untuk membuktikan kesamaan tersebut adalah dengan Induksi Matematika.Note :Bagaimana membuktikan suatu pernyataan P(n) benar n N ?Langkah-langkah pembuktian dengan menggunakan induksi matematika adalah sebagai berikut :a. Tunjukkan bahwa P(n) berlaku benar untuk n 1b. Asumsikan bahwa P(n) berlaku benar untuk suatu bilangan asli kc. Buktikan bahwa P(n) berlaku benar untuk n k 1
Contoh Soal :Buktikan bahwa 1 2 3 4 . n ½ [ n (n 1) ] benar n N !Bukti :Misalkan P(n) 1 2 3 4 . n ½ [ n (n 1) ]a.Tunjukkan bahwa P(n) berlaku benar untuk n 1Perhatikan :Ruas kiri dari P (1) 1Ruas kanan dari P(1) ½ ( 2 x 1 ) 1Karena ruas kanan P(n) ruas kiri P(n) maka telah ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n 1b.Asumsikan bahwa P(n) berlaku benar untuk suatu bilangan asli kAsumsi :1 2 3 4 . k ½ [ k (k 1) ] benarc.Buktikan bahwa P(n) berlaku benar untuk n k 1Jadi harus dibuktikan bahwa :1 2 3 4 . k (k 1) ½ [ (k 1) (k 2) ] benarPerhatikan :1 2 3 4 . k (k 1) { 1 2 3 4 . k } (k 1) ½ [ k (k 1) ] (k 1) dari asumsi (k 1) ( ½ k 1) (k 1) ½ (k 2) ½ (k 1) (k 2)Telah ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n k 1Kesimpulan : P(n) 1 2 3 4 . n ½ [ n (n 1) ] benar n NTEOREMA BINOMIALSebelum mempelajari teorema binomial, sebelumnya harus diingat terlebih dahulu tentangkombinasi dari n obyek yang diambil dari r obyek. Kombinasi tersebut dinotasikan dengan : C(n,r) atau( ) dan dirumuskan :( ) ()SEGITIGA PASCALContoh :Misal ada 3 kotak yang masing-masing berisi 1 bola merah dan 1 bola putih seperti terlihat pada gambar:Dari ketiga kotak tersebut akan diambil masing-masing 1 buah bola dari masing-masing kotak. Berbagaikemungkinan kejadian yang mungkin adalah :Terambil 3 merah:() 1 cara pengambilanTerambil 2 merah:() 3 cara pengambilanTerambil 1 merah:() 3 cara pengambilanTidak terambil merah :() 1 cara pengambilan
Jika contoh tersebut digunakan untuk menyatakan suku banyak yang berasal dari (a x) 3 dengan 3menyatakan perulangan perkalian unsur yang sama, yaitu :(a x)3 (a x) (a x) (a x)Maka untuk menjabarkan bentuk perpangkatan tersebut dapat kita analogikan dengan kasus pada contoh1, maka kita peroleh :(a x)3 aaa aax axa xaa axx xax xxa xxx a3 3a2x 3ax2 x3 () a3 () a2 x () ax2 ()x3Dengan argumentasi yang sama dengan ilustrasi di atas diperoleh :(a x)0 ()(a x)1 ()a ((a x)2 () a2 () ax ((a x)3 () a3 () a2 x () ax2 ((a x)4 () a4 () a3 x () a2x2 ()x) x2)x3) ax3 () x4.(a x)n .Koefisien-koefisien pada penjabaran bentuk perpangkatan tersebut dapat disajikan dalam bentuk sebagaiberikut :111121133114641dan seterusnya .Bentuk tersebut dikenal dengan nama SEGITIGA PASCAL.Teorema(1 x)n () ()x () x2 () x3 . () xk () xnTeorema Binomial:() (Teorema 2:() ()Teorema 3:() () (Teorema 4:()() (Teorema 5:k . () n(Teorema 6:a.( ) () () . b.( ) () () . () () . ()Teorema 7:()) ( () () . () 2nTeorema 1))-())) () (() ()) ()
METODE PEMBELAJARANLearning CellLANGKAH PEMBELAJARANPERTEMUAN 1No.Tahap1.PendahuluanKegiatan PembelajaranApersepsi dan MotivasiMemberikan gambaran tentang pembuktian pernyataan.2.PenyajianEksplorasia. Menjelaskan tentang langkah-langkah induksi matematika.b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok.Elaborasia. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisibeberapa pertanyaan tentang pembuktian dengan induksimatematika.b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grupmenuliskan permasalahan tentang isomorphisme graph.c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dangrup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup IIbertanya, dan grup I menjawab.AlokasiWaktu5 menit30 menit5 menit5 menit5 menit20 menitEksplanasiMenunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikanhasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.3.PenutupRefleksi dan EvaluasiSecara individu, mahasiswa diminta membuat satu sebuah graphdengan ketentuan tertentu, kemudian diminta membuat sebuahgraph yang isomorphic dengan graph tersebut.15 menit15 menitPERTEMUAN 2No.Tahap1.Pendahuluan2.PenyajianKegiatan Pembelajarana. ApersepsiMengulang kembali tentang induksi matematika.b. MotivasiPenjabaran bentuk perpangkatan(a b)n.Eksplorasia. Menjelaskan tentang teorema Binomial.b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok.Elaborasia. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisicontoh permasalahan tentang penjabaran binomial.b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grupmenuliskan permasalahan bipartisi graph.c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dangrup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup IIbertanya, dan grup I menjawab.AlokasiWaktu5 menit5 menit20 menit5 menit5 menit10 menit15 menitEksplanasiMenunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikanhasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.3.PenutupRefleksi dan EvaluasiSecara individu, mahasiswa diberi permasalahan tentang teoremabinomial dan satu buah soal tentang teorema binom.PERTEMUAN 320 menit15 menit
No.TahapKegiatan Pembelajaran1.Pendahuluana. Apersepsi dan motivasiMembahas kembali tentang teorema binomial.2.PenyajianEksplorasia. Memberikan soal pengembangan teorema binomial.b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok.Elaborasia. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisicontoh permasalahan tentang teorema binomial.b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grupmenuliskan permasalahan subgraph dan spanning sub graph.c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dangrup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup IIbertanya, dan grup I menjawab.AlokasiWaktu5 menit20 menit5 menit5 menit10 menit20 menitEksplanasiMenunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikanhasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.3.PenutupRefleksi dan EvaluasiSecara individu, mahasiswa diminta membuktikan pernyataandengan menggunaka teorema binomial.20 menit15 menitMEDIA PEMBELAJARANWhiteboard, LCD, LaptopSUMBER BELAJAR[1] Herry Sukarman . 1995 . Teori Bilangan . Jakarta : Direktorat Jendral Pendidikan Dasar danMenengah[2] Purwoto . 2000 . Teori Bilangan . Surakarta : UNS Press[3] Soehardjo . 1996 . Struktur Aljabar . Surakarta : UNS PressPENILAIAN1.2.3.Teknik:Bentuk Instrumen :Contoh Instrumen :Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-testTes UraianTerlampir
INDUKSI MATEMATIKA Buktikan bahwa :2.Buktikan bahwa3.Buktikan bahwa4.Buktikan pernyataan berikut dengan induksi matematika : . ( . )(benar n N . ) benar n N1.() benar n N3p 3p 1 benar p 2, p N5.Buktikan bahwa 34n 1 habis dibagi 80 n N6.Buktikan bahwa 11n – 4n habis dibagi 7 n N7.Buktikan bahwa ( 2n.2n 1 ) habis dibagi 3 n N
TEOREMA BINOMIAL1.Buktikan bahwa () (2.Buktikan bahwa () 2(3.Tunjukkan bahwa 1 2 3 . n (4.Berdasarkan teorema 3 dan 1 buktikan pernyataan berikut :(5.) () () () 2() . () 3() () () . n () () () . 2n-1) n. 2n-1) benar n N) . () () 2n)()Berdasarkan teorema 5, 2 dan 7 , buktikan pernyataan berikut :()() ()() . ()() (
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)Nama DosenFakultasProgram Studi:::JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd.KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANPENDIDIKAN MATEMATIKAMata KuliahKode Mata KuliahBobotSemesterPertemuan keStandart Kompetensi::::::Kompetensi DasarIndikator::Tujuan:TEORI BILANGANMKK2065152 SKSI4 s.d 5Memiliki pemahaman tentang konsep dasar bilangan, deret, notasi sigma,induksi matematika, dan teorema binomial, serta mampu mengidentifikasibeberapa sistem matematika, menjelaskan sifat keterbagian dan kongruensikemudian membuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan bilangan2.Menjelaskan definisi dari berbagai sistem matematika.2.1 Membuktikan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup, dan monoid2.2 Memberikan contoh grupoid, semigrup, dan monoidMembuktikan sifat-sifat aljabar dari grupoid, semigrup, dan monoidMemberikan contoh grupoid, semigrup, dan monoid.MATERIOPERASI BINERDefinisi :Bila S suatu himpunan tak kosong, maka yang dimaksud dengan operasi biner * pada Sadalah suatu pemetaan (fungsi) yang mengawankan setiap pasangan berurutan (a, b) S xS dengan tepat satu elemen (a*b) S.SIFAT-SIFAT OPERASI BINER KomutatifOperasi biner * pada himpunan S bersifat komutatif jika dan hanya jika a, b S maka berlaku :a*b b*a AsosiatifOperasi biner * pada himpunan S bersifat komutatif jika dan hanya jika a, b, c S maka berlaku :(a * b) * c a * (b * c) Elemen identitasSuatu himpunan S dikatakan memiliki elemen identitas (elemen netral) terhadap operasi biner * jikadan hanya jika e S a S e * a a * e a Elemen inversHimpunan S terhadap operasi biner * mempunyai elemen identitas e d
membuktikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh bilangan bulat. D. Kompetensi Dasar dan Indikator Kompetensi Dasar Indikator 1. Membuktikan teorema/rumus dengan cara induksi matematika dan menerapkan teorema binomial pada penjabaran bentuk perpangkatan(a b)n 1.1 Menggunakan langkah–langkah pembuktian dengan induksi matematika
PERANGKAT PEMBELAJARAN? Perangkat pembelajaran merupakan alat atau perlengkapan untuk melaksanakan proses yang memungkinkan pendidik dan peserta didik melakukan kegiatan pembelajaran (Zuhdan, dkk., 2011: 16) Perangkat pembelajaran menjadi pegangan bagi guru/dosen dalam melaksanakan pembelajaran baik di kelas, laboratorium, atau di luar kelas.
Tuntutan Perubahan Strategi Pembelajaran Matematika A. Praktek Pembelajaran Matematika Masa Lalu Pembahasan mata diklat strategi pembelajaran matematika ini akan dimulai dengan kegiatan mengilas-balik, merefleksi, atau merenungkan tentang hal-hal yang sudah dilakukan para guru matematika SMK selama bertahun-tahun di kelasnya masing-masing.
Rencana Pembelajaran Semester (RPS), dan Kontrak Perkuliahan. II. Rasional Penyusunan dan Pengembangan Perangkat Pembelajaran (Perkuliahan) Penyiapan perangkat pembelajaran, antara lain berupa silabus, rencana pembelajaran semester, maupun kontrak perkuliahan merupakan konsekuensi logis dari implementasi suatu kurikulum.
Panduan Pendidikan Karakter di Sekolah Menengah Pertama BAB II: PELAKSANAAN PENDIDIKAN KARAKTER SECARA TERINTEGRASI DI DALAM PROSES PEMBELAJARAN 39 A. Pembelajaran Kontekstual 39 B. Integrasi Pendidikan Karakter di Dalam Pembelajaran 45 1. Perencanaan Pembelajaran 45 2. Pelaksanaan Pembelajaran 51 3. Evaluasi Pencapaian Pembelajaran 59 4.
memprediksi kemampuan penalaran matematika siswa berdasarkan pembelajaran matematika menggunakan macromedia flash 8 Hasil analisis menunjukkan bahwa pengaruh pembelajaran matematika menggunakan macromedia flash 8 terhadap kemampuan penalaran matematika siswa yaitu sebesar 19,81% dan sisanya 80,19% ditentukan faktor lainnya.
A. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari modul Diklat Guru Matematika SMA ini diharapkan Anda dapat mengetahui: 1. Landasan dan objek kajian pembelajaran matematika 2. Hakikat dan prinsip matematika 3. Karakteristik pembelajaran matematika 4. Tujuan, ruang lingkup, standar kompetensi, dan kompetensi dasar materi bilangan 5.
Soal Matematika Model PISA Indonesia Tahun 2015 Soal Matematika Model PISA Menggunakan Konteks Lam. Soal UAN dan Jawaban Matematika SMA Lingkaran Soal UN dan Jawaban Matematika Peluang Soal Matematika Eksponen UM UNDIP Contoh Soal Matematika Masuk UGM Soal UN dan Jawaban Persamaan Linier Soal UN dan Jawaban Trigonometri
c. Tujuan Pembelajaran Matematika 10 d. Perlunya Belajar Matematika 10 e. Kesulitan Belajar Matematika 11 f. Penyebab kesulitan Belajar Matematika 13 g. Upaya Dalam Mengatasi Penyebab Kesulitan Belajar Matematika 22 2. Tunarungu 25 a. Pengertian Tunarungu 25 b
