Geometría 4to A 6to - Universidad De Puerto Rico Bayamón
GeometríaFiguras Bidimensionales yTridimensionales4to – 6toProfesor: Esteban HernándezUniversidad de P.R. en Bayamón
plorar/#331. Determina si cada curva en la siguiente figura es, abierta, cerrada, simple ono simple.Figura12345678AbiertaCerradaSimpleNo Simple2. Determina cuáles de las siguientes figuras son polígonos. Indica tu respuestaen la tabla.Figura 1Figura 2Figura 3Figura 4Figura 5Figura 62
3. Clasifica cada ángulo como, agudo, obtuso, recto o llano. Completa latabla.Figura 1Figura 2Figura 3Figura 4Figura 5Figura 64. Identifica cada cuadrilátero por su nombre. Completa la tabla.Figura 1Figura 2Figura 3Figura 4Figura 5Figura 63
5. Identifica cada componente ilustrado del círculo. Completa la tabla.Figura 1Figura 2Figura 3Figura 4Figura 56. Clasifica el triángulo como rectángulo, equilátero, isósceles, o escaleno.Clasifica el triángulo como obtusángulo, acutángulo, o rectángulo. Completala tabla.Figura 1Figura 2Figura 3Figura 44
7. Determina el área de cada figura.8. Encuentra el perímetro de cada figura.5
9. Determina el área de superficie de las siguientes figuras.Figura 1Figura 2Figura 310. Encuentra el volumen de las siguientes figuras.Figura 1Figura 2Figura 36
Objetivos1. Entender el concepto de espacios.2. Entender los conceptos de punto, línea y plano.3. Identificar puntos, líneas, medias líneas, rayos y segmentos.4. Definir e identificar curvas abiertas, curvas cerradas, curvas simples ycurvas no simples.5. Definir los conceptos de ángulo y grado.6. Identificar ángulos agudos, ángulos rectos y ángulos obtusos.7. Definir y encontrar ángulos complementarios y suplementarios.8. Identificar polígonos de acuerdo al número de lados e identificar suscomponentes.9. Diferenciar entre polígonos regulares e irregulares.10. Definir las unidades de longitud, de área y de volumen.11. Determinar el perímetro y el área de un polígono.12. Identificar figuras tridimensionales.13. Encontrar el área se superficie de una figura tridimensional.14. Encontrar el volumen de poliedros simples.15. Encontrar el volumen de conos y esferas.16. Identificar los vértices, las caras y las aristas de un poliedro.7
JustificaciónElementos geométricos y el concepto de los espaciosAl mirar a nuestro alrededor observamos una infinidad de formas y figuras en losobjetos que nos rodean. Desde los primeros tiempos el ser humano se vio obligado aobservar, interpretar y manejar estas figuras pues de ello dependía su sobrevivencia. Porejemplo, el observar alguna figura entre la maleza podría significar que un animalpeligroso lo podía atacar. De esta forma necesitaba tener cada vez más un mejorentendimiento y un mejor control de su medio ambiente. Para tener más conocimientosdebía clasificar objetos, clasificar formas, establecer relaciones entre las formas y losobjetos e interpretar el significado de cada uno de estos conceptos geométricos.Sabemos hoy día que el ser humano ha sido la especie más exitosa sobre la faz dela tierra por que tiene un atributo que lo hace único, su intelecto. Tenemos la capacidadde aprender y de aplicar nuestro conocimiento para interpretar, manejar y transformarnuestro medio ambiente.La geometría tiene sus orígenes en cada una de las antiguas civilizaciones,egipcios, babilonios, romanos, griegos, etc., los cuales fueron acumulando conocimientode sus antepasados hasta hacer de la Geometría una de las ramas más importantes en lamatemática. Al principio todo giraba alrededor de la geometría. Las construcciones, laingeniería rudimentaria, la astronomía, e inclusive la alquimia que luego dio lugar a laquímica, basaban su conocimiento en conceptos geométricos.Fueron los griegos los que le dieron rigurosidad a la geometría, estudiaron lasfiguras de forma y tamaño idénticos (figuras congruentes) así como aquellas figuras deforma idéntica pero con tamaños diferentes (figuras similares). Los griegos fueron losprimeros en insistir en que los enunciados de la geometría debían tener una pruebarigurosa.8
La geometría planaLa geometría plana se basa en tres conceptos fundamentales, el punto, la línea yel plano, los que se aceptan sin definirlos y que forman parte de lo que llamamosespacios geométricos, o sea el conjunto formado por todos los puntos. El espaciogeométrico es relativo a los elementos que se están usando. Por ejemplo, el espacio puedeestar determinado por un punto, una línea o un plano. A cada espacio se acostumbraasignarle una dimensión, la cual determina los grados de libertad que se pueden ejecutaren dicho espacio. Los grados de libertad se pueden interpretar como los movimientosnecesarios para ubicar un punto cualquiera en el espacio a partir de un punto dereferencia. Al punto de referencia se acostumbra llamarle el origen. Un punto tienedimensión cero (es adimensional) pues sobre un punto no podemos ejercer ningúnmovimiento. Una línea se considera un espacio de dimensión 1 pues a partir de un puntode referencia podemos movernos sobre la línea en una dirección, para obtener laubicación de cualquier otro punto. El plano tiene dimensión dos, pues tenemos dosgrados de libertad para movernos, o sea necesitamos dos movimientos para ubicar unpunto, podemos pensar en los movimientos como largo y ancho.Geometría espacial tridimensionalSe puede de igual manera definir un espacio tridimensional en el cual tenemostres grados de libertad de movimiento. El espacio tridimensional se conoce comúnmentecomo el espacio. Para poder ubicar un punto en el espacio necesitamos tres movimientosen tres direcciones con relación a un punto de referencia. Imagina un cuarto de tu casa, site ubicas en una esquina como punto de referencia entonces cualquier forma para llegarhasta una lámpara (punto) se puede descomponer en tres movimientos con relación a lasparedes, un largo, un ancho y una altura.El espacio tridimensional es donde existen todos los objetos sólidos queconocemos, incluyéndonos a nosotros.9
Espacios GeométricosPuntos, líneas y planosEl puntoEl punto, en geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y elplano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos enrelación con otros elementos similares, no se definen. Se suelen describir apoyándose enlos postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricosfundamentales. El punto es un elemento geométrico adimensional, no tiene ni volumen,ni área ni longitud ni otro análogo dimensional; no es un objeto físico, es una idea; se usapara describir una posición en el espacio. Los puntos se identifican usando letrasmayúsculas. A continuación se ilustran varios puntos y su forma de identificarlos.Ejemplo. Ilustración de puntosLa líneaLa línea al igual que el punto es un objeto geométrico fundamental. Para efectosde visualizar el concepto, se puede decir que una línea (o línea recta) es una sucesióncontinua e infinita de puntos en direcciones opuestas. Entenderemos por el concepto decontinua que no tiene huecos, ni divisiones y que podemos trazarla en un papel sinlevantar el lápiz. Se acostumbra identificar las líneas con una letra minúscula o con dos10
puntos con una doble flecha sobre las letras. Las siguientes líneas están identificadasusando letras minúsculas y usando los puntos.Ejemplo: La siguiente figura ilustra tres líneas (o rectas) y la forma en que se identifican.Identificación de las líneasLínea n,Línea m,Línea p,EFABCDUna línea se puede descomponer en varias partes, entre ellas, medias líneas, rayos ysegmentos.A continuación se ilustra la descomposición de una línea en partes y la forma en que lanombramos o identificamos.11
Un rayo contiene todos los puntos de una línea a partir de un punto fijo, llamadoel extremo y en una sola dirección. Una media-línea contiene todos los puntos de unrayo excepto el punto extremo. Un segmento contiene todos los puntos de una línea entredos puntos fijo llamados los extremos.El alfabeto griegoEl alfabeto griego es un alfabeto utilizado para escribir solo la lengua griega.Desarrollado alrededor del siglo IX a. C. a partir del alfabeto fenicio, continúa en usohasta nuestros días, tanto como alfabeto nativo del griego moderno como a modo de creardenominaciones técnicas para las ciencias, en especial la matemática, la física y laastronomía. En nuestro caso usaremos letras griegas para identificar planos y ángulos.Se cree que el alfabeto griego deriva de una variante del fenicio, introducido en Greciapor mercaderes de esa nacionalidad. El fenicio, como los alfabetos semíticos posteriores,no empleaba signos para registrar las vocales. Para salvar esta dificultad, que lo hacíaincompleto para la transcripción de la lengua griega, los griegos adaptaron algunos signosutilizados en fenicio para indicar aspiración para representar las vocales. Este aportepuede considerarse fundamental; la inmensa mayoría de los alfabetos que incluyen signosvocálicos se derivan de la aportación original griega. Además de las vocales, el griegoañadió tres letras nuevas al final del alfabeto: fi (Φ φ) y ji (Χ χ ) y psi (Ψ ψ), pararepresentar sonidos aspirados que no existían en el �χψω12
El planoEl concepto de un plano es más fácil de visualizar pues existen muchos objetosque ilustran en cierto grado el concepto del un plano. Por ejemplo una pizarra en el salónde clase, una pared de su casa, una pantalla de televisión, etc. Euclides definió un planocomo una sucesión continua de rectas paralelas.Los planos de identifican o nombran usando letras griegas minúsculas como α, β, θ, ρ ocon tres letras mayúsculas correspondientes a tres puntos sobre el plano. Para indicar queel plano continúa infinitamente, se acostumbra trazar los bordes entrecortados.Ejemplo: Ilustración de un plano13
Líneas que se intersecan en un planoDecimos que dos líneas se intersecan si tienen un punto en común. El puntocomún se conoce como el punto de intersección. Las siguientes líneas se intersecan en elpunto PEjemploEjemplo: Ilustración de línea que se cortan en un punto.βLíneas paralelasDos líneas en un plano son paralelas si no se intersecan, esto es tienen la mismadirección.Ilustración: Ilustración de líneas son paralelas.α14
P l ano s par a le l o sDos planos se dice que son paralelos si no se intersecan, esto es, no tiene puntosen común.Ejemplo: Ilustración de dos planos paralelos, α y β.P l ano s que se inter sec anDos planos que se intersecan contienen toda una línea como su intersección. En lasiguiente ilustración la línea de intersección es AB.Ejemplo: Ilustración de dos planos queβ15
I. Ejercicios de planos, puntos y líneas1. Determina los segmentos, las líneas, rayos no contenidos en alguna línea y lasmedias líneas sobre el plano α.LíneasRayosMedialíneaSegmentos16
El espacio tridimensionalEl espacio tridimensional es el más obvio y observable para nosotros puesvivimos en el y somos parte integral de dicho espacio. Todo lo que nos rodea está en unespacio de tres dimensiones. En cada uno de los espacios que hemos mencionado existenformas, objetos y figuras que determinan las características de los elementos que existenen dicho espacio. A cualquier objeto tridimensional se le pueden asignar medidas quedescriben y determinan su ubicación y su tamaño en el espacio. Imagina que te vas decompras y entras a una tienda de ropa, lo primero que el vendedor necesita saber son tusmedidas. Necesita saber el alto (altura), y el grosor que incluye tus medidas de largo y deancho. De esta misma forma le asignamos medidas a todos los objetos que nos rodean.De aquí que podamos diferenciar entre el tamaño, las formas y la posición de los objetosy las figuras. Hay objetos grandes, objetos pequeños, objetos pesados, objetos livianos,personas gordas o flacas, etc. Hay figuras cuadradas, redondas, cilíndricas y otras coninfinidad de formas y tamaños. A continuación ilustramos algunos objetos y figurastridimensionales y más adelante trabajaremos con figuras tridimensionales.17
Forma de un planoBorde con forma de líneaFormas y figurasLas construcciones son una fuente muy rica deluso de figuras geométricas y del uso de losconceptos de los espacios. Podemos observar estasideas geométricas en las construcciones de casas,puentes, edificios, pirámides, barcos, aviones y encualquier otra construcción de la actividadhumana.18
Figuras planasEn el plano se puede distinguir entre una infinidad de figuras que tienen formas,tamaños y posiciones particulares sobre un plano. Podemos diferenciar entre las figurasde una sola dimensión llamadas curvas y las de dos dimensiones. El término curva no sedefine y se usa para describir figuras en el plano.En las curvas podemos distinguir entre las curvas abiertas, las curvas cerradas, lascurvas cerradas simples y las curvas cerradas no simples. Una curva es abierta si setraza de forma continua y su punto inicial es distinto de su punto final. Las curvascerradas son aquellas que se trazan de forma continua y su punto inicial es igual a supunto final.Una curva simple abierta es aquella que su trazado es continuo, no tiene puntos deintersección y sus puntos inicial y final son diferentes. Si una curva tiene al menos unpunto de intersección decimos que es una curva no simple.Ejemplos de curvas abiertas.αCurvas abiertassimples en el plano α19
Curvas abiertas no simplesCurvas abiertasno simplesCurvas simples cerradas y curvas no simples cerradasCurvas simplescerradasCurvas nosimples cerradasII.20
Ejercicios de curvas1. Determina si cada una de las siguientes curvas abiertas o cerradas.2. Determina si cada una de las siguientes curvas son simples o no son simples.21
Circunferencias y círculosUna circunferencia se define como el conjunto de puntos en el plano para loscuales la distancia de un punto de la circunferencia a un punto fijo llamado el centro esuna constante, llamada el radioUn radio de una circunferencia es un segmento con un extremo en el centro y elotro extremo en la circunferencia. Una cuerda es un segmento cuyos extremos están sobrela circunferencia. Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.Un círculo, en geometría, es la figura que contiene todos los puntos del planocuya distancia al centro de una circunferencia es menor o igual a la medida del radio.La figura 20 ilustra un círculo y los elementos que lo forman.22
Observe además que un círculo tiene muchos radios, en esencia cualquiersegmento desde el centro hasta la circunferencia es un radio del círculo. También uncírculo contiene muchas cuerdas pues cualquier segmento cuyos extremos están sobre lacircunferencia es una cuerda. Las cuerdas que pasan por el centro se llaman diámetros.Cualquier parte de una circunferencia delimitada por dos de sus puntos, se conoce comoun arco de la circunferencia. La parte del área de un círculo delimitada por dos radios yun arco del círculo se conoce como el área de un sector del círculo.ÁngulosUn ángulo es la unión de dos rayos con su punto extremo en común. Los rayosque forman un ángulo se llaman lados y al punto común se le llama vértice. Las figuras acontinuación ilustran varios ángulos y sus componentes.El símbolo que representa un ángulo es, . En lugar de escribir ángulo BAC enla siguiente figura, escribimos BAC o escribimos A, donde Adel ángulo. En la figura el ángulo,el ángulorepresenta el vértice BAC también se denota usando la letra griega αy NMP, se identifica con la letra griega, β ο como M.A cada ángulo se le asigna una medida, la cual se interpreta como la cantidad derotación que se genera al mover un rayo, llamado lado inicial hasta terminal en otro rayo,llamado lado final. En la figura se ilustra el A, con la rotación desde el lado inicialhasta el lado final en contra de las manecillas del reloj y el M con rotación a favor delas manecillas del reloj. Si la rotación es en contra de las manecillas del reloj se dice que23
el ángulo es positivo y si es a favor de las manecillas del reloj se dice que el ángulo esnegativo.A la rotación del ángulo se le asigna una medida por medio de un sistema que seremonta hasta los babilonios del siglo II aC. Los astrónomos babilonios escogieron elnúmero 360 para representar la rotación de un rayo que rota y regresa sobre si mismo. Sedefine entonces un grado como1parte de la circunferencia. La figura ilustra un360ángulo de 360o.Tipos de ángulosLos ángulos se clasifican y denominan de acuerdo con su medida en grados.Un ángulo que mide entre 0o y 90o se llama ángulo agudo.Un ángulo cuya medida es de 90o se llama ángulo recto.Los ángulos que miden entre 90o y 180o se llaman ángulos obtusos.Un ángulo cuya medida es de 180o se llama ángulo llano.24
Las siguientes figuras ilustran cada uno de los casos anteriores.Si la suma de dos ángulos es 90o de dice que los ángulos son complementarios ycada uno es el complemento del otro.Ejemplo: Ángulos complementarios1. 60 30 90 por lo tanto 60 y 30 son ángulos complementarios.2. 75 15 90 por lo tanto 75 y 15 son ángulos complementarios.3. 46 44 90 por lo tanto 46 y 44 son ángulos complementarios.Ejemplo: Determina si el par de ángulos son complementarios.30 y 50 50 y 40 15 y 60 0 y 90 89 y 1 NoSiNoSiSi25
Si la suma de dos ángulos es 180o de dice que los ángulos son suplementarios ycada uno es el suplemento del otro.Ejemplo: Ángulos suplementarios1. 150 30 180 por lo tanto 150 y 30 son ángulos suplementarios.2. 75 105 180 por lo tanto 75 y 105 son ángulos suplementarios.3. 120 60 180 por lo tanto 120 y 60 son ángulos suplementarios.Ejemplo: Determina si el par de ángulos son suplementarios130 y 50 50 y 40 115 y 60 100 y 90 179 y 1 SiNoNoNoSi26
Clasificación de ángulos por su posiciónLos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Usaremos lanotación m A para la medida del ángulo con vértice A, o m 1, para lamedida del ángulo 1.Ángulos entre líneas paralelas y una línea secante27
La siguiente figura ilustra las equivalencias de los ángulos entre doslíneas paralelas y una secanteResumen de las relaciones entre dos líneas paralelas y una líneasecante.1. Ángulos internos alternos: Tienen medidas iguales.m 3 m 6; m 4 m 52. Ángulos externos alternos: Tienen medidas iguales.m 1 m 8; m 2 m 73. Ángulos conjugados internos: La suma es igual a 180o.m 3 m 5 m 4 m 6 180 4. Ángulos conjugados externos: Tienen medidas iguales.m 1 m 7 m 2 m 8 180 5. Ángulos correspondientes: Tienen medidas iguales.m 1 m 5; m 4 m 8m 2 m 6; m 3 m 728
III. Ejercicios de ángulos1. Clasifica los ángulos como obtuso, agudo o recto.Respuestas:βαμλκηΘ2. Encuentra la medida del ángulo complementario.a. 750b. 600c. 500d. 450e. 350f. 780g. 360h. 430i. 480j. 5503. Encuentra la medida del ángulo suplementario.a. 1500b. 420c. 1200d. 450e. 1250f. 1650g. 1700h. 100i. 1080j. 8 9 029
Líneas perpendicularesDos líneas son perpendiculares si se intersecan (cortan) formando un ángulo de 90o.Ejemplo: Determina que pares de líneas que son paralelas o perpendiculares.Paralelasj,kPerpendicularesj, no,mk,n30
PolígonosEn muchas ocasiones habrás escuchado hablar sobre figuras geométricas comocuadrado, rectángulo, triángulo, pentágono, etc. Estos nombres están relacionados conuna familia de figuras planas llamados polígonos.Un polígono es una curva simple cerrada compuesta por segmentos consecutivosde líneas rectas. Los segmentos de línea se llaman lados y los puntos de intersección delos segmentos se llaman vértices. Los nombres de los polígonos se asignan de acuerdo alnúmero de lados de la figura. Un polígono de n lados se llama n-ágono.Ejemplos: La siguiente figura ilustra algunos ilustra algunos polígonos y sus respectivosnombres.Los vértices de los polígonos se identifican con letras mayúsculas y los lados conletras minúsculas. Los polígonos se agrupan o clasifican por familias, los polígonos detres lados se llaman trígonos y se conocen comúnmente como triángulos. Los polígonos31
de cuatro lados se llaman cuadriláteros, los de cinco lados pentágonos, los de seis ladoshexágonos y así sucesivamente.La familia de los triángulosLos triángulos se clasifican por medio de las medidas de los ángulos interiores opor el número de lados iguales. En las siguientes figuras se ilustran los tipos de triángulosy la forma de nombrarlos.Si todos los ángulos de un triángulo son agudos se le llama triángulo acutángulo, si eltriángulo tiene un ángulo recto se llama triángulo rectángulo y si tiene un ángulo obtusose llama triangulo obtusángulo. Si todos los lados de un triángulo son iguales se llamatriángulo equilátero, si tiene dos lados iguales se llama triángulo isósceles y si todoslos lados son diferentes se llama triángulo escaleno.Clasificación de los triángulos de acuerdo al número de lados iguales.Clasificación de los triángulos de acuerdo a los ángulos.32
Elementos de un triánguloLos elementos más importantes de un triángulo son los vértices, los lados y las alturas.Una altura es un segmento que se extiende desde un vértice del triángulo y que cortaperpendicularmente una línea que contiene los otros dos vértices.Alturas de un triángulo33
Suma de los ángulos internos de un triánguloLa suma de los ángulos internos de un triángulo es 180o.Ilustración:Ejemplo: Determina la medida que falta.ÁnguloFigura 1Figura 2Figura 3Figura 4Figura 5Medida50o45o77o32o33o34
La familia de los cuadriláterosLos cuadriláteros al igual que los triángulos son de los polígonos más conocidos.Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados ( tetrágono). Los cuadriláteros se nombranusando las relaciones entre sus lados, como las relaciones entre los ángulos. Lasrelaciones entre los lados puede ser la de sus medidas o puede ser la condición de que loslados sean paralelos. Por ejemplo un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus ladosopuestos paralelos.En el caso de los ángulos se refiere a la existencia de ángulos rectos. Por ejemplo elrectángulo es el cuadrilátero que tiene todos sus ángulos rectos.Ejemplo: La figura ilustra la familia de los cuadriláteros y sus nombres.Las definiciones de los cuadriláteros en las figuras anteriores son las siguientes;Cuadrado: es un cuadrilátero que tiene todos los lados iguales y todos los ángulosrectos.Rectángulo: es un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos.Paralelogramo: es un cuadrilátero con los pares de lados opuestos paralelos.Rombo: es un paralelogramo con todos sus lados iguales.Trapecio: es un cuadrilátero con un par de lados paralelos.Trapezoide: es un cuadrilátero que no tiene lados paralelos ni ángulos iguales35
Polígonos regulares e irregularesLos polígonos que tienen todos su lados iguales se llaman polígonos regulares ysi tienen algún lado diferente se llaman polígonos irregulares.Ejemplos de polígonos regulares.36
Elementos de polígonosPara un polígono se pueden definir los siguientes conceptos; vértices, lados, diagonales,ángulos internos y ángulos externos.Las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos de un polígono.Los ángulos internos de un polígono contienen dos lados consecutivos, el vérticecomún es el vértice del ángulo y el ángulo está contenido dentro del polígono.Un ángulo exterior de un polígono contiene dos lados del polígono, el vértice comúny no está contenido en el polígono.37
La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo (con ángulos menores de180o) es (n - 2)180o donde n es el número de lados del polígono. Ángulos polígonoregularEjemplo:Ejemplo: Determina la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo.Figura 1Figura 2Figura 3Figura 4Figura 5Figura 6180 o720 o360 o720 o360o540o38
La tabla 1 ilustra los nombres de algunos polígonos de acuerdo con elnúmero de lados.Tabla 1Clasificación de polígonossegún el número de ladosNombrelados Número de lados3Polígono de 3 ladostetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero 4Polígono de 4 ladospentágono5Polígono de 5 ladoshexágono6Polígono de 6 ladosheptágono7Polígono de 7 ladosoctágono8Polígono de 8 ladoseneágono9Polígono de 9 ladosdecágono10Polígono de 10 ladostrígono, triángulo39
La tabla 2 ilustra los nombres de algunos polígonos de acuerdo con elnúmero de lados.Tabla 2: Clasificación de los polígonos de acuerdo con el número de lados11endecágonoPolígono de 11 lados12dodecágonoPolígono de 12 lados13tridecágonoPolígono de 13 lados14tetra decágonoPolígono de 14 lados15pentadecágonoPolígono de 15 lados16hexadecágonoPolígono de 16 lados17heptadecágonoPolígono de 17 lados18octodecágonoPolígono de 18 lados19eneadecágonoPolígono de 19 lados20isodecágonoPolígono de 20 ladosicoságono30triacontágonoPolígono de 30 lados40tretracontágonoPolígono de 40 lados50pentacontágonoPolígono de 50 lados60hexacontágonoPolígono de 60 lados70heptacontágonoPolígono de 70 lados80octacontágonoPolígono de 80 lados90eneacontágonoPolígono de 90 lados100hectagónoPolígono de 100 lados1000chiliágonoPolígono de 1000 lados10000 miriágonoPolígono de 10000 lados40
IV. Ejercicios1. Determina el número de vértices y de lados de cada polígono.2. Identifica la figura de acuerdo al número de lados.Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7 Figura 841
Los conceptos de área y perímetro en los polígonosPerímetro de un polígonoCada polígono en un plano está compuesto por segmentos de línea a los cuales lellamamos lados. A cada lado se le puede asignar una medida de largo en alguna unidadde medida como lo puede ser la medida en pulgadas, en pies, en metros, en centímetros,en yardas, etc.El perímetro de un polígono es la suma de las medidas de sus lados.Ejemplo: Observe la siguiente figura. Identifique la unidad de medida en los ejes.Contesta las siguientes preguntas. Módulo de perímetroEl largo mide 5 cm y el ancho mide 2 cm.El perímetro mide, 5cm 2cm 5cm 2cm 14cm42
V. Ejercicio: Encuentra el perímetro de cada una de las siguientesfiguras.Figura 1Figura 2Figura 3Figura 4Figura 543
Figura 1Figura 2Figura 3Figura 444
El área de un polígonoEl concepto del área de un polígono es una medida de la cantidad del espacio queencierra el polígono. Las unidades para medir el área se definen en base al área queencierra un cuadrado cuya medida de los lados es una unidad. Decimos entonces que elárea del cuadrado cuyos lados miden uno es de una unidad cuadrada. De esta manearapodemos medir el área en base a la cantidad de unidades cuadradas contenidas dentro delpolígono. E la figura 18 se ilustra el concepto de unidad cuadrada. La unidad puede sercualquiera de las unidades de medida que usted conoce, como por ejemplo, pulgadas(in.), metros (m), yardas (yd.), centímetros (cm), milímetros (mm), etc. En muchos casoshallar el área de un polígono simple se reduce a contar cuadritos, pero para otrospolígonos la cantidad de cuadritos (unidades cuadradas) que caben dentro de la figura noes un número entero. En tal caso debemos desarrollar estrategias más sofisticadas paramedir el área.45
VI. Ejercicios de área1. Determina el área de cada una de las siguientes figuras. Use la cuadrícula paraidentificar las unidades. Módulos ÁreasFigura 1Figura 2Figura 3Figura 4Figura 546
2. Determina el área de cada una de las siguientes figuras. Use la cuadrícula paraidentificar las unidades.Figura 1Figura 2Figura 3Figura 447
Área de figuras planasÁrea de un cuadradoEl área de un cuadrado es igual al producto de la medida de dos de sus lados.A s.s s248
Área de un rectánguloEl área de un rectángulo se obtiene multiplicando el lado más largo por el lado máscorto, o sea el área es igual al largo por el ancho.Ejemplos: Resuelve los ejercicios.1. Encuentra el área de un cuadrado con medida de 9 cm por cada lado.A 81 cm22. Encuentra el área de un rectángulo con medida de 9 cm de ancho por 10 cmde largo.A 90 cm23. Encuentra el área de un rectángulo con medida de 8 cm de ancho por 12 cmde largo.A 96 cm249
El área de un triánguloEl área de un triángulo se puede deducir del área del rectángulo. Si dividimos unusando una de sus diagonales obtenemos dos triángulos iguales. El área de cadatriángulo será la mitad del área del rectángulo.El área de un triángulo es la mitad la base por la altura.A b.h2Ejemplos: Determina el área de cada triángulo.50
Área de un trapecio51
El área del trapecio es igual a la mitad del producto de la suma de las basesmultiplicada por la altura.A h ( b1 b2 )252
Ejemplo: Determina el área del trapecio.Área de un paralelogramoEl área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.A b .h53
Ejemplo: Determina el área del paralelogramo.Área y circunferencia de un círculoEl área de un circulo es pi (π ) multiplicado por el radio al cuadrado.A π r2La medida de la circunferencia de un círculo esC 2π ro C πd .La medida de la circunferencia es el equivalente al perímetro de una figurapoligonal.54
Ejercicio VII: Resuelve el ejercicio1. Determina la medida de la circunferencia y el área del círculo.Figura 1Figura 2Figura 3Figura 4ÁreaCircunferencia2. Encuentra el área de un círculo con radio de 10 cm.3. Encuentra el área de un círculo con radio de 20 cm.4. Encuentra el área de un círculo con radio de 8 cm.5. Encuentra la medida de una circunferencia con radio de 10 cm.6. Encuentra la medida de una circunferencia con radio de 6 cm.55
Figuras tridimensionalesLas figuras estudiadas hasta este momento se dibujan sobre un plano (espacio dedos dimensiones) o sobre una línea (espacio unidimensional). Para representar el mundoque nos rodea donde los objetos son sólidos necesitamos un espacio de tres dimensiones.Si miramos una caja (el término en matemáticas es un paralelepípedo rectangular) vemosque contiene varios elementos estudiados en el plano. Por ej
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Geometr a Anal tica I Tarea I 1.Demuestra las siguientes identidades trigonom etricas: a)sen2 2 1 cos 2 b)cos2 2
Geometr a Anal tica I Tarea I 1.Demuestra las siguientes identidades trigonom etricas: a)sen2 2 1 cos 2 b)cos2 2
The geometr y of the sphere and the plane are familia r; hyp erb olic ge-ometr y is the geometry of the third case. Hyp erb olic space has man y interesting featur es; some are simila r to tho se of Euclidean geometr y but some are quite di!eren t. In pa rtic-ular it ha s a very rich group of isometries, allo wing a huge variet y of
