BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG DASAR

PPPPTK MatematikaKode Dok: F-PRO-002Revisi:0BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANGMATEMATIKA SMA JENJANG DASAROleh :Drs. Setiawan, M.Pd.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONALDIREKTORAT PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKANPUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGAKEPENDIDIKAN MATEMATIKA2010

DAFTAR ISIPengantar iDaftar Isi .iiPeta Kompetensi ivSkenario Pembelajaran .vPendahuluan 1A. Latar Belakang .1B. Tujuan Penulisan . 2C. Sasaran 2D. Ruang Lingkup Penulisan .2E. Pedoman Penggunaan Modul 3LIMIT FUNGSI .5A. Latar Belakang 3B. Limit Fungsi Aljabar .3C. Limit Fungsi Trigonometri 10D. Limit Fungsi Eksponensial 12E. Kontinuitas . 18Bab IBab IIBab IIITURUNAN SUATU FUNGSI . 18A. Turunan Fungsi Aljabar . 18B. Turunan Fungsi Trigonometri .22C. Turunan Fungsi Tersusun (Fungsi Komposit) . 23D. Turunan Fungsi Logaritma 25E. Turunan Fungsi Eksponen sial .26F. Turunan Fungsi Implisit 26G. Turunan Jenis Lebih Tinggi . 27Bab IVPERILAKU FUNGSI .30A. Kemonotonan Suatu Fungsi .30B. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi .31C. Titik Belok . 33D. Beberapa Contoh Aplikasi Maksimum dan Minimum . 35Bab VE. Menggambar Grafik Fungsi .iii36

F. Penerapan Turunan dalam Penyelesaian Limit Fungsi . 39Bab VIG. Nilai-nilai Tak Tentu Fungsi .42KALKULUS INTEGRAL .49A. Integral Tak Tentu .49B. Integral Tentu .64Daftar Pustaka iv74

PETA KOMPETENSIKALKULUS DASAR1.KompetensiMemiliki kemampuan untuk mengembangkan kompetensi siswa dalammenggunakan konsep-konsep limit fungsi, turunan dan integral, sertamenggunakannya dalam pemecahan masalah.2.Sub Kompetensi Mampu mengembangkan keterampilan siswa dalam menentukan limitsuatu fungsi dengan pendekatan intuitif dan menggunakannya dalampemecahan masalah. Mampu mengembangakan ketrampilan siswa dalam menentukanturunan suatu fungsi, maksimum dan minimumdan memecahkanpersoalan maksimum dan minimum Mampu mengembangakan ketrampilan siswa dalam menentukanintegral tentu dan tak tentu dan menggunakannya dalam pemecahanmasalah3.Lingkup Materi Limit fungsi baik secara intuitif maupun formal Fungsi turunan, perilaku fungsi, maksimum dan minimum Integral baik integral tentu maupun integral tak tentuv

SKENARIO PEMBELAJARANPendahuluan danPenyampaianApersepsiKonsep LimitMelanjutkan limitfungsi trigonometri ,eksponen danlogaritma, danevaluasi dirimengenai limitFungsi Tujuan Ruang Lingkup Pengetahuanprasyarat nilai-nilaitak tentu Memahami limitfungsi secara intuitif Berdiskusi Berdiskusi melacakpemecahanlimit fungsi yangmasalah tentangdahasilkan darilimit fungsi-fungsipendekatan intuitifaljabar,dengan pendekatantrigonometri,formaleksponen dan Merefleksi diriInformasi diskusieksplorasideferensial danperilaku fungsi,nilai maksimumdan minimum danevaluasi diri Setelah berhasildengan refleksiLatihan 3 Diskusi perilakufungsi, sepertifungsi naik, turun,stasioner Refleksi diridengan Latihan 4logaritmadengan Latihan 1 Refleksi dirilatihan 2dengan Latihan 3Informasi, diskusidan eksplorasitentang Integral,diawali konsepdasarnya, integraltak tentu danintegral tentu danrefleksi diriPenutup Kesimpulaan Penugasanvi

BAB IPENDAHULUANA. Latar Belakang.Mengacu pada Permendiknas no 22 tahun 2006 tentang Standar Isi, disebutkanbahawa mata pelajaran Matematika bertujuan agar peserta didik memilikikemampuan sebagai berikut.1. Memahami konsep Matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep danmengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat,dalam pemecahan masalah2. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematikadalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan danpernyataan matematika3. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancangmodel matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh.4. Mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lainuntuk memperjelas keadaan atau masalah5. Menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingintahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet danpercaya diri dalam pemecahan masalahMemperhatikan butir-butir tujuan di atas, maka kedudukan kalkulus dalam Standar IsiMata Pelajaran Matematika, akan menjadi cukup sentral, sehingga materi ini harusmendapatkan perhatian yang cukup serius menyangkut masalah penguasaan materi,pemilihan metoda pembelajaran yang pas dan penentuan strategi serta teknikmengajar yang serasi.Namun demikian melihat kenyataan di lapangan baik lewat monitoring dan evaluasibagi para alumnus penataran di P4TK Matematika maupun diskusi-diskusi di MGMP,ternyata materi ini kadang-kadang masih dijumpai kendala di lapangan. Oleh karenaitu pembahasan mengenai materi kalkulus ini perlu mendapatkan porsi yang memadaipada penataran-penataran guru matematika, terutama yang diselengggarakan olehP4TK Matematika Yogyakarta.Di samping itu kalkulus merupakan salah satu materi yang memiliki cakupan aplikasiyang sangat luas, baik dalam tubuh matematika itu sendiri, maupun dalam cabangcabang lmu-ilmu yang lain, seperti dalam bidang sains, teknologi, ekonomi dansebagainya. Oleh karena itu para siswa terlebih-lebih guru matematika SMA harusmendapat bekal materi kalkulus ini sebaik-baiknya.B. Tujuan PenulisanTulisan ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuanberupa wawasan kepada guru matematika SMA dengan harapan :1

1.2.3.lebih memahami materi kalkulus untuk SMA dan beberapa pengembangannya,terutama masalah limit fungsi, integral dengan substitusi dan integral parsialyang ternyata nasih banyak dijumpai kendala di lapangan.dapat digunakan sebagai salah satu referensi masalah-masalah pengajaranmatematika SMA pada pertemuan-pertemuan MGMP Matematika SMA didaerah.memperluas wawasan keilmuan dalam matematika, dan khusunya masalahkalkulus SMA, sehingga guru dapat memilih strategi pembelajaran yang sesuaidengan kondisi di lapangan, sehingga mudah diterima oleh siswa.C. SasaranTulisan ini disusun untuk menjadikan bahan penambah wawasan :a. para peserta penataran diklat guru-guru pengembang matematika SMA, olehP4TK Matematika Yogyakarta.b. para rekan guru matematika SMA pada umunya dan juga para pemerhatipengajaran matematika.D. Ruang Lingkup Penulisan.Ruang lingkup bahan penataran ini meliputia. limit fungsi dan kontinuitas.b. kalkulus diferensial.c. kalkulus integralE. Pedoman Penggunaan.Bahan penataran ini merupakan salah satu acuan dalam memahami materi tentangkalkulus, untuk memahami isi paket ini dengan baik hendaknya terlebih duludicermati uraian materi beserta contoh-contohnya dengan seksama, kemudian barumencoba soal-soal latihan yang telah disediakan, sesuai dengan topik yang tengahdipelajarinya.2

BAB IILIMIT FUNGSIA. Latar BelakangKalkulus adalah salah satu cabang dari matematika yang sangat penting danbanyak diterapkan secara luas pada cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain,misalnya pada cabang sains dan teknologi, pertanian, kedokteran, perekonomian dansebagainya. Pada makalah ini akan dibahas tiga pokok bahasan, pokok utama darikalkulus yakni limit fungsi, diferensial fungsi dan integral fungsi. Sebenarnya ada duacabang dalam kalkulus itu sendiri, yakni kalkulus diferensial dan kalkulus integral,dan jika diperhatikan inti dari pelajaran kalkulus adalah memakai dan menentukanlimit suatu fungsi. Bahkan secara ekstrim kalkulus dapat didefinisikan sebagaipengkajian tentang limit. Oleh karena itu pemahaman tentang konsep dan macammacam fungsi diberbagai cabang ilmu pengetahuan serta sifat-sifat dan operasi limitsuatu fungsi merupakan syarat mutlak untuk memahami kalkulus diferensial dankalkulus integral.B. Limit Fungsi Aljabar1. Limit Fungsi secara Intuitif.Perhatikan contoh di bawah iniPandanglah fungsix2 4f(x) dengan domainx 2Df {x x R, x 2} untuk x 2, jikadicari nilai fungsi0f(2) tidak tentu .0Kita cari nilai-nilai f(x) untuk x mendekati2.Kita dapat memperhatikan nilai fungsi f(x)di sekitar x 2 seperti tampak pada tabel.yo2f(x) x 4x 22 -20x2Gb.1.1berikut :x1,90f(x) 3,901,993,991,9993,9991,9993,999 2? 2,0014,0012,014,012,14,1Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik dari kirimaupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4, dan dari sini dikatakanbahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 4, dan ditulisx2 4lim f ( x ) lim 4.n 2x 2 x 2Dari pengertian inilah yang disebut pengertian limit secara intuitif, sehingga :3

Definisi limit secara intuitif, bahwa lim f(x) L artinya bahwa bilamana xn cdekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.2. Limit Fungsi Secara FormalSecara matematis dapat dimaklumi bahwa banyak yang berkeberatan dengan definisilimit secara intuitif di atas, yaitu penggunaan istilah “dekat”. Apa sebenarnya maknadekat itu ?. Seberapa dekat itu dapat dikatakan “dekat” ?.Untuk mengatasi masalah di atas Augustin-Louis Cauchy berhasil menyusun definisitentang limit seperti di bawah ini yang masih kita gunakan sampai sekarang.Pengertian limit secara intuitif di atas jika diberi definisi formal adalah sebagaiberikut.Definisi :Dikatakan lim f ( x) L , adalah bahwa untuk setiap 0 yang diberikanx cberapapun kecilya, terdapat 0 yang berpadanan sedemikian hingga f(x) – L untuk setiap 0 x – c .Dengan menggunakan definisi limit di atas dapat dibuktikan teorema-teorema pokoktentang limit suatu fungsi sebagai berikut :1. lim k k , jika k suatu konstanta.x c2.3.4.5.lim (ax b) ac bx clim k f(x) k lim f(x)x cx clim f ( x) g( x) lim f ( x ) lim g(x )x cx cx clim f ( x).g( x) lim f ( x). lim g(x)x cx cx c6. Hukum substitusi :Jika lim g(x) L dan lim f(x) f(L), maka lim f(g(x)) f(L)x cx cx c117. lim jika lim g(x) L dan L 0.x c g(x) Lx clim f(x)f(x) x c8. lim , jika lim g(x) 0.lim g(x)x c g(x)x cx c9. Teorema Apit :Misalkan f(x) g(x) h(x) pada setiap interval yang memuat c dan dipenuhi :lim f(x) lim h(x) L maka lim g(x) L.x cx cx c4

Di bawah ini diberikan contoh dua bukti limit fungsi secara formal, sedang rumusrumus limit yang lain upayakan untuk dapat membuktikan sendiri :1. Buktikan lim k k.k cBukti : Untuk setiap bilangan positip 0 berapapun kecilnya akan didapat 0sedemikian untuk setiap x pada x – c dipenuhi k – k . Dari k – k 0, maka berapapun nilai 0 yang diambil yang menyebabkan x – c akan berakibat k – k .2. Buktikan lim (ax b) ac b.x cBukti :Untuk membuktikan teorema ini, berarti jika diberikan suatu 0 betapapunkecilnya, akan ditemukan 0 sedemikian hingga 0 x – c (ax b) –(ac b) .Sekarang dari (ax b) – (ac b) ax – ac a(x – x) a x – c . Kelihatan bahwa akan memenuhi persyaratan di atas. a Sehingga jika diberikan 0 betapapun kecilnya dan dipilih maka a 0 x – c menunjukkan : (ax b) – (ac – b) ax – ac a(x – c) a x – c a a Dengan demikian terbuktilah teoremanya.Untuk sifat-sifat yang lain, upayakan untuk membuktikan dengan definisi limitsecara formal sendiri-sendiri!Contoh 1.Hitung lim ( x 2 3x 8)x 2Jawab : Dengan menggunakan teorema substitusilim ( x 2 3x 8) 2 2 3.2 8 6x 2Contoh 2.x 2 x 12Tentukan limx 4x 4Jawab : Faktorkan dulu sebab jika disubstitusikan langsung diperoleh500.

x 2 x 12( x 4)( x 3) limkarena x - 4 maka pecahan dapat disederhan a x 4x 4x 4( x 4) lim x - 3kan.limx 4 4 3 7Contoh 3.Tentukan nilai limx 2x 4x 2Penyelesaian :x 4( x )2 22lim limx 4 x 2 x 44 2( x 2)( x 2)x 4x 2 limkaren x 2 lim ( x 2)x 4 4 2 4Cara ii, misalkan x y x y2untuk x 4 maka y 2, sehingga soal di atas menjadix 4y2 4lim limx 4 x 2 y 2 y 2( y 2)( y 2) limy 2( y 2) 2 2 4Contoh 4 :Tentukan nilai dari limx 22 x 2xx 2Penyelesaian :2 x 2x( 2 x 2x ) ( 2 x 2xlim lim.x 2x 2x 2( x 2)( 2 x 2x )(2 x ) (2x ) limx 2 ( x 2)( 2 x 2 x )2 x limx 2 ( x 2)( 2 x 2 x ) 1 limx 2 2 x 2x 11 44 46